考研数三真题及解析Word格式.docx
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xu2
00
lim
arctan（1t）dtdu
三、（本题满分
x—0x（1-cosx）
7分）
求极限
四、（本题满分
设函数u=f（x,y,z）有连续偏导数，且z-z（x,y）由方程xex—yey=zez所确定，求du.
五、（本题满分6分）
、2xVx
设f（sinx）,求f（x）dx.
sinx-x
六、（本题满分7分）
设D1是由抛物线y=2x2和直线x=a,x=2及y=0所围成的平面区域；
D?
是由抛物
2
线y=2x和直线y=0,x=a所围成的平面区域，其中0：
：
a：
2.
（1）试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V；
D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V；
（2）问当a为何值时，V1V2取得最大值？
试求此最大值
七、（本题满分7分）
⑴验证函数
y（xf
36
xx
.++
6!
931
XX|
+—创4-—,tll（
9!
3!
:
x<
:
满足微分方程
x3n
⑵利用⑴的结果求幕级数的和函数.
^o（3n）!
八、（本题满分6分）
设函数f（x）,g（x）在［a,b］上连续，且g（x）0.利用闭区间上连续函数性质，证明存
bb
在一点匚-［a,b］，使&
f（x）g（x）dx=f（）ag（x）dx.
九、（本题满分8分）设齐次线性方程组
'
a%+bx2+bx3+"
|+bx^=0,
+ax2+bx3+川"
焉=0,
|lllIIIIIIIII
bx2bx3川a^=0,
其中a=0,b=0,n_2，试讨论a,b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？
在有无穷
多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解
十、（本题满分8分）
设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2，2A=0，已知A的秩r（A）=2
（1）求A的全部特征值
（2）当k为何值时，矩阵AkE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵.
十一、（本题满分8分）
假设随机变量U在区间1-2,21上服从均匀分布，随机变量
"
若U-1丫」若以
1,若U-1;
1,若U1;
试求：
（1）X和Y的联合概率分布；
（2）D（XY）.
十二、（本题满分8分）
假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间E（X）
2小时便关机.试
为5小时•设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作
求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
（1）
【答案】
1-2a
【详解】“ln”里面为“T”型,通过凑成重要极限形式来求极限,
limln
n‘：
n（1-2a）
啊n1占
n（1J2a）
n（1-2a）1
1_2a
—In1
=lim1,
nY1—2a[n（1—2a）_
11
Ine二
1-2a1-2a
x
（2）
【答案】0dxx2f（x,y）dy
【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域D1与D2，将它们的并集记为D.
1厂1丄
于是『dy『f（x,y）dx+『dy『f（x,y）dx="
f（x,y）d^.
4D
12
再将后者根据积分定义化为如下形式，即x从0,y从x—■x，所以
⑶【答案】-1
【详解】
Aa=〔2
3
-2¥
a）（
21
4丿I1」
（两个非零向量线性相关，则对应分量成比例），所以有
=|2a+3
（3a+4.，
a
2a+3
3a+4
得2a+3=3a
或Ad=kot,（kH0）（两个非零向量线性相关，
（a、
a=ka
即
2a+3
=k
，得丿
2a+3=k，得
®
+4
<
1丿
3a+4=k
■-
4,a--1
a=-1.K=1）
由于A与〉线性相关,
⑷【答案】-0.02.
则其中一个可以由另一个线性表出
2222
【详解】X、丫和XY都是0-1分布，而0-1分布的期望值恰为取1时的概率p.
由离散型随机变量X和Y的联合概率分布表可得X2的可能取值为0和1,且Y2的可
能取值也为0和1,且X和Y的边缘分布为
PlX=0X0.070.180.15=0.4；
P「X=1=0.080.320.20=0.6；
P〈Y二-1=0.070.08=0.15；
P「Y=0心0.180.32=0.5；
p{Y=1}=0.15十0.20=0.35；
-101
故有
Y
X
01
0.40.6
0.150.50.35
P〈X2=0,Y2=0、P〈X=0,^^=0.18,
P〈x2=0,Y2=1=P\X=0,Y=-1P\X=0,Y=1=0.070.15=0.22,
P〈X2=1Y2=01=P；
.X=1Y=0=0.32,
PlX2=1,Y2=1；
=PlX=1,Y=「门P「X=1Y=1；
=0.080.20=0.28,
而边缘分布律：
plx2=0；
=p]x=0；
=0.4,plx2"
；
=P「X"
=0.6,
p〈Y2=0｝二p^Y=0亠0.5,
p〈Y2=1=py=_1P〈Y=1=0.150.35=0.5
22
所以，（X,Y）的联合分布及其边缘分布为
0.18
0.22
0.40
0.32
0.28
0.60
0.50
由上表同理可求得X2Y2的分布律为
x2y2
p
0.72
所以由0-1分布的期望值恰为取1时的概率p得到：
E（X2）=0.5,E（Y2）=0.60,E（X2Y2）=0.28
cov（X2，Y2）E（X2Y2）-E（X2）E（Y2）=0.28-0.60.5一0.02
（5）
【答案】X-1.
【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只
需要用样本一阶原点矩（样本均值）来估计总体的一阶原点矩（期望）
期望
E（X）=_xf（x）dx=xe^x^dx"
1
样本均值
1n
X」xi
nid
用样本均值估计期望有EX二X,即二•1Xi,
ni£
1n_解得未知参数二的矩估计量为乡=1=X-1.
二、选择题
f（x）在开区间（a,b）内可导，所以f（x）在（a,b）内连续,
⑴【答案】
【详解】方法1:
论证法•由题设
，必有IJmf（x）=f（）.即有]im[f（x）-f（）]=0.故
因此，对于（a,b）内的任意一点
选（B）.
方法2:
排除法.
乂匸⑻切，有f（a）=_1,f（b1fafb40c
x=a
n
（A）的反例：
f（x）=
1-1
（XX^（—1,1]f（_"
=f
（1），但f&
）=1（当
但f（x）在（a,b）内无零点.
（C）与（D）的反例，f（X）
\_X=_1
（-1,1）），不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论.故选（B）.
⑵【答案】
（D）
A是mn矩阵，B是nm矩阵，贝UAB是m阶方阵，因
r（AB）空min（r（A）,r（B））.
当m•n时，有r（AB）乞min（r（A）,r（B））乞n：
m.（系数矩阵的秩小于未知数的
个数）方程组ABx=0必有非零解，故应选（D）.
方法2：
B是nm矩阵，当m・n时,，则r（B）二n,（系数矩阵的秩小于未知数的个数）方
程组Bx=0必有非零解，即存在x0=0,使得Bx0=0，两边左乘A，得ABx0=0,
即ABx=0有非零解，故选（D）.
⑶【答案】
由题设根据特征值和特征向量的定义，A〉=•:
A是n阶实对称矩阵，
T1T
故AT=A.设PAP二B，贝U
B二PtAtP，T二PtAP『二PtA（Pt），
T-1t
上式左乘pt，右乘pT，得
titt1Tt1tt丄t
（P厂BP=（P厂PA（P厂P，即A=P"
BP,
所以A:
=（PT丄BPT）:
=■:
两边左乘pt，得（pTpJbP）：
•二•得b（pI）=■pt：
1t
根据特征值和特征向量的定义，知B=（PAP）的对应于特征值■的特征向量为
PT:
•，即应选（B）.
逐个验算（A）,（B）,（C）,（D）中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定
义，A,-■,A是n阶实对称矩阵，故AT-A.设PJAP丁属于特征值■的特征
向量为•，即P」AP丁「，其中PAAP7=PTATPJT=PTAPY
对（A），即令■=pJ-，代入ptapjT（pj：
-PJ：
对（B）,PtAP”（Pt：
）=PTA（P耳PT）；
=PtA[（Pt）」Pt）]j=pta：
=（pt：
）
成立.故应选（B）.
⑷【答案】C
【分析】
（i）2变量的典型模式是：
2=X；
•X；
•|1|•X：
，其中Xi要求满足：
Xi相互
独立，XiLN（0,1）•称2为参数为n的2变量.
（ii）F变量的典型模式是：
F，其中X,Y要求满足：
X与Y相互独立，
Y/n2
xL2（口）,丫」2（匕），称F为参数为的F变量.
【详解】方法1：
根据题设条件，X和Y均服从N（0,1）.故X2和Y2都服从2
（1）分布，
答案应选（C）.
题设条件只有X和Y服从N（0,1），没有X与Y的相互独立条件.因此，X2与Y2
的独立条件不存在，选（B）、（D）项均不正确.
题中条件既没有X与Y独立，也没有（X,Y）正态，这样就不能推出XY服从正
态分布的选项（A）•根据排除法，正确选项必为（C）.
三【详解】
xu2xu2
（1t）dtdu
00arctan（1t）dtdu00arctan
lim等lim-
xJx（1-cosx）p
洛lim
x_0
x2
oarctan（1t）dt
arctan（1x）2x洛lim
x）0
3x
四【详解】方法1:
用一阶微分形式不变性求全微分.du=£
dx•f2dy•f3dz
二z（x,y）由xex-yey=zez所确定，两边求全微分，有
xyzxyz
d（xe-ye）=d（ze）二d（xe）_d（ye）=d（ze）
=■xexdxexdx-yeydy-eydy二zezdzezdz,
解出
dz^xgJy1）dy,（设zip.
ez（z1）
所以
durdxf2dyf3ex（xU1）dy
…f3铝取F
ey（yez（z
出
ex
f3兰出
excy
（根据多元函数偏导数的链式法则）
F面通过隐函数求导得到—
工.由
■y
xex-yey=zez两边对x求偏导数，有
-xx
zxee
得
z0z
xzee
，（设z•1=0）•类似可得,
y.■y
「z_匹厂弓，代入二
zezez:
表达式
-X丄X
xee、f1f3（zz）,
zxzee
-：
u
・y"
f3（
y.y
yee）
zz），zee
口0
再代入du-dxUdy中，得
汝cy
du=
ez（z・1；
dx」
-dxf2
©
（yT）〕dy.
五【详解】首先要从f（sin2x）—求出f（x）.
arcsin、u
.（通过换元
“u
sinx
命u二sin2x，则有sinx二、u,x=arcsin■,u，于是f（u）二
arcsin仮,
dxdx
求出函数的表达式）
JxVxiarcsin\/x
十—f（x）dx-an
1-X1-X<
x
•衣超nt
=一2sintcostdt（换元积分法）'
cost
=?
tsintdt=2-tcostsint1C（分部积分法）
=2
六【分析】旋转体的体积公式：
设有连续曲线
】：
y=f（x）（a_x_b）,f（x）_0与直线
b2
X二a,x=b及x轴围成平面图形绕x轴旋转一周产生旋转体的体积V=f（x）dx.
224応
（1）和（2x2）dx=^（32-a5）
a5
2a224
V2Fa2|j2a2-■:
xdy=二a0：
2.
4兀54
（2）V-V1V2（32-a5）二a4
根据一元函数最值的求法要求驻点，令
理二4二a3（1-a）=0,
da
pl\/pl\/
得a=1•当0：
1时——0，当1：
a2时——：
0，因此a=1是V的唯一极值点且
dada
是极大值点，所以是V的最大值点，maxV二
129二
3693n二3n
七【解】
（1）y（x）=1----+川=1x~
3!
6!
9!
（3n）!
n#（3n）!
由收敛半径的求法知收敛半径为：
，故由幕级数在收敛区间上逐项可导公式得
同理得
从而
--3n
y（x）=d、品）
na（3n）!
x3n
y鳥（3^
y（x）y（x）y（x）
od
nz!
3n_2x
oO
=（n^（3n-2）!
3nJ
£
3nx
n丄（3n”
x3n-i
x_n4（3n-1）!
x3n」
）幕时
）—而）
=1八「1（由ex的麦克劳林展开式）n4n!
这说明，y（x）•是微分方程讨讨讨二e的解，并且满足初始条件
n三（3n）!
y（0）"
'
和n壬（3n）!
=1，y（o）八
nA
（3n-1）!
-0.
（2）微分方程目yy=e对应的齐次线性方程为y'
y'
y=0，其特征方程为
■2：
■•；
「•汕1=0，其特征根为
所以其通解为
-3-
cos
G
e
另外，该非齐次方程的特解形式为
y二ce,代入原非齐次方程得cecece=e,
所以cj.故微分方程
-3-2
1-3
+
-3^2
・s
-ex
2[0]co^-3xC2sin3x]e2[-C13sin3x3C2cosx]
22222
e2（C2—2G-^）sin乜x—1e^（G—2C2乜）cos-^x〕ex
222223
由初始条件y（0）=1,y（0）=0得
J3.73io1
1=e[Cicos—汉0+C?
sin—汉0]+—e=Ci+—2233
△cos二0〕e。
223
2J3J31-
0e2（C2-2G）sin0e2（C-2C2
2222
31
23
解得
iC1宁1
「2C1¥
C2宁0
于是得到惟一的一组解：
C1,C2二0.从而得到满足微分方程y；
yy二ex及初始
条件y（0）=1,y（0）=0的解，只有一个，为
y厶札os2隽
323
唱x3n
另一方面，由
（1）已知y（x）也是微分方程yy，y=e及初始条件
心（3n）!
y（0）=1,y（0）=0的解，由微分方程解的唯一性，知
O0
n£
（3n）!
=-e
x-：
-）.
八【详解】方法1:
因为f（x）与g（x）在la,b1上连续，所以存在x1x2使得
f（xj=M=maxf（x），f（x2）=m=minf（x），
x爭a,b]x爭a,b]
满足m乞f（x）乞M.又g（x）0,故根据不等式的性质
mg（x）乞f（x）g（x）^Mg（x）
根据定积分的不等式性质有
bbb
mfg（x）dx兰Jf（x）g（x）dx兰Mfg（x）dx,
aaa
b
（f（x）g（x）dx
所以m岂旦齐M.
ag（x）dx
由连续函数的介值定理知，存在■[a,b]，使f（af（x）g（x）dx
ag（x）dx
即有
Lf（x）g（x）dx=f（OJag（x）dx•
因为
f（x）与g（x）在la,b1上连续，且g（x）.0，故
ff（x）g（x）cX与［g（x）dx都
aa
存在，且
g（x）dx•0.
f（x）g（x）dx
记—h,
g（x）dx
qpHf£
于是f
^a
（x）g（x）dx=h&
g（x）dx二ahg（x）dx,即
a（f（x）-h）g（x）dx=0
因此必存在一（a,b）使f「）二h•不然，则在（a,b）内由连续函数的零点定理知要么
f（x）-h恒为正，从而根据积分的基本性质得.（f（x）-h）g（x）dx0;
要么f（x）-h
a
{（f（x）-
恒为负，同理得（f（x）-h）g（x）dx：
0，均与
ba
h）g（x）dx=0不符•由此推
知存在―（a,b）使f「）=h，从而
b.b
f（x）g（x）dx=f（）g（x）dx•aa
九【详解】方法1：
对系数矩阵记为
川"
2行J行
3行4行
HI
III
b、
IIIb
n行4行
b-a
a-b
T
■
r
■1
IIIaj
lb—a
d
a—b』
A作初等行变换
A-
ra=1,AX-0的同解方程组为
当a=b（=0）时,
x1x^Ix^0,基础解
系中含有n-1个（未知数的个数-系数矩阵的秩）线性无关的解向量，取X2,X3,...,Xn为自
由未知量，分别取x2=1,x3=0,...,xn=0,X2=0,X3=1,...,xn=0,-
X2=0,X3=0,...,Xn=1得方程组n-1个线性无关的解
1」1,1,0,川0「，2-丨-1,0,1,0,川,0「川1,n「1,0」1|,0,订,
为基础解系，方程组AX=0的全部解为X=k1rk22山•人_心,其中
k（i=1,2,||（n-1）是任意常数.
2行/（a_b）
3行/（a_b）
-a
a—b
n行/（a_b）
■I
卜
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