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学号2014110367

2015年1月

矩阵分解及其简单应用

摘要：

本文主要归纳和总结了代数学中的矩阵分解理论及理论应用。

根据本学期所学知识，本文把矩阵分解分为三角分解、正交三角分解、奇异值分解和满秩分解。

在论文中对相关理论进行了简要的说明与描述，并在应用方面，展示了矩阵分解在一些常见领域的重要以及广泛的应用。

关键词：

矩阵分解，应用，三角分解，满秩分解，奇异值分解。

一、引言

在有限维线性空间中，线性变换问题可以转化为矩阵问题进行讨论。

因此，将一个矩阵分解为若干个特殊矩阵的乘积意味着将一个线性变换分解为若干个特殊线性变换的乘积。

矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解及奇异值分解是将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积，这些分解式能够明显的反映出原矩阵的许多数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等。

另一方面，构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供理论依据。

矩阵的分解给予了我们将线性变换转化成矩阵问题讨论的方法，将以往复杂而且性质不“好”的矩阵分解成为大家所熟知并且性质“好”的常用矩阵的乘积。

通过对常用矩阵的分析获取复杂矩阵的相关性质，这在实际的应用中也具有很大的意义。

二、矩阵分解简介

1.矩阵的三角分解

如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU，则称A可作三角分解。

矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0，即.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。

矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU的分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。

矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle分解和Crout分解，它们用待定系数法来解求A的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。

1）矩阵的三角分解

可以用来解线性方程组Ax=b。

由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LUx=b，即有如下方程组：

先由依次递推求得,,……，，再由方程依次递推求得，，……，.

必须指出的是，当可逆矩阵A不满足时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有：

这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。

2.矩阵的QR分解

矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。

QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。

下面介绍一下比较经典的Givens方法与Householder方法。

1）Givens方法的QR分解

Givens方法求QR分解是利用旋转初等矩阵，即Givens矩阵来得到的，是正交矩阵，并且。

的第i行第i列和第j行第j列为，第i行第j列和第j行第i列分别为和，其他的都为0.任何n阶实非奇异矩阵A可通过左连乘矩阵（乘积为T）化为上三角矩阵R，另Q=T-，就有A=QR。

2）Householder方法的QR分解

Householder方法分解矩阵是利用反射矩阵，即Householder矩阵，其中u是单位列向量，H是正交矩阵，。

可以证明，两个H矩阵的乘积就是Givens矩阵，并且任何实非奇异矩阵A可通过连乘Householder矩阵（乘积为S）化为上三角矩阵R，则A=QR。

这种方法首要的就是寻找合适的单位列向量去构成矩阵H，过程和Givens方法基本相似，但是计算量要小一些。

3.满秩分解

满秩分解也称最大秩分解，前面的QR分解是面对n阶矩阵的，而满秩分解可以处理长方阵。

满秩分解是指，把秩为r的矩阵A分解成A=FG，其中F是秩为r的阶矩阵，G是秩为r的阶矩阵。

满秩矩阵的解求可以通过初等变换法，但是必须经过多次求逆，所以就利用Hermite行标准形来完成。

把矩阵A经过变换成为Hermite行标准形B，B的列为单位矩阵的前r列，另A的第列为矩阵F，B的前r行为矩阵G，则有A=FG。

4.奇异值分解

矩阵的奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在最优化问题、特征值问题、最小二乘问题和广义逆问题及统计学问题中都有重要的应用。

对秩为r的阶矩阵A进行奇异值分解的步骤是：

1）.求得的特征值，及对应的特征向量并正交单位化，得矩阵V，使得；

2）.将V的前r列作为，令，再扩张成m阶的矩阵U；

3）.那么。

从计算过程中可以看出，矩阵的奇异值分解解求是由矩阵的特征值开始的，因此这种分解自然和特征值的问题有莫大联系的。

三、矩阵分解主要应用

矩阵的分解还有很多的应用，比如可以用来求矩阵的秩，对于阶数偏大的矩阵，即使用初等变换的方法，也是计算量很大的，而把矩阵分解后可以使计算简单。

再如，在线性代数中求矩阵的n次幂是很常见的，若是一板一眼的进行矩阵相乘，当n较大时计算量可想而知，况且，当n逐渐增大或是非纯数据间的运算的情况下，根本就没有计算的可能，此时，矩阵分解方法的应用可以令问题变得简单而易懂。

判断矩阵的正定性需要不断的计算行列式，计算量大而复杂，矩阵分解可以使之更简单直接。

在广义逆问题中，矩阵的奇异值分解的作用一样不可代替。

在证明的存在性时，首先就需要用奇异分解来得到一个结论：

，由此得到的可以由表示，再去证明应该满足的条件就方便得多了。

同时，在广义逆中，满秩分解有很多的应用。

在证明A｛1｝的存在性时就需要用到Hermite行标准形来得到“对于任一的矩阵，总是存在非奇异矩阵Q和置换矩阵P，使”，之后才能构造来证明是存在的。

用矩阵的满秩分解还能构造A+，若矩阵A有满秩分解，即，则可以证明有。

矩阵的QR分解可以用来解决线性最小二乘法的问题，也可以用来降低矩阵求逆的代价。

矩阵的求逆是件不小的工程，尤其是当矩阵阶数慢慢变大的情况时，而用先把矩阵QR分解成正交矩阵和上三角矩阵，就容易多了，况且正交矩阵的转置就是逆，这一点是其他的矩阵分解无法比拟的。

在解求线性方程组中，如果系数矩阵的阶数比较大，可以利用QR分解来使计算简单化。

另外，QR分解考虑的是n阶矩阵，其他的矩阵是不能用这种方法进行分解，由于QR分解的这一前提条件，使得下面提到的满秩矩阵分解和奇异值分解就有了其特殊的意义。

四、总结

矩阵的分解作用很广泛，在不同的领域都发挥着其独特的作用，只要应用得好，肯定可以使原有的问题简单而易于理解。

我们知道，矩阵理论就其理论来说，对于除了数学本专业的人而言，意义是不大的。

纯理论的学习是枯燥而乏味的，只有和是具体问题的结合才会显出它的强大生命力。

单看一个定理还是推论，我们会觉得它是简单而几乎没有意义的，甚至不知道怎么去理解它以及其存在的意义，当运用到实际的领域，一方面我们可以更好的了解相关的知识，重要的是解决了具体的问题。

这应该就是学习的乐趣所在。

在测量平差的秩亏网平差中，解求未知数的估计值时候和奇异值分解结合起来，不仅可以使得运算更加简单化，并且得到的结果更利于理解，算法也更容易在实际应用中实现。

参考文献：

[1].王岩,王爱青.矩阵分解的应用[J].青岛建筑工程学院学报,2005,26

（2）:

90-93.

[2].屈立新.关于矩阵的分解形式[J].邵阳学院学报（自然科学版）,2005,2（3）:

4-5.

[3].程云鹏，张凯院，徐仲.矩阵论（第3版）西北工业大学出版社，2005.5.