金融的数学模型与方法试题A评分标准文档格式.docx
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St
3.在相反方向交易
D
份额的原生资产
S
，使得构成的投资组合
Õ
：
V
DS
4.
dr
（b
ar）dt
s
dBl
dB
ldt,
其中
a,
b,s
为正常数，
B（t）
表示标准的
Brown
运动，
l
为风险的市场价格。
二、计算题（30
1、（15
分）设今日为
月
日，现股价为
70
元，无风险利率为
4%，若在三个月
期间，每一个月股价有两种可能：
或上升
5%或下降
5%.
若购买一张
31
日到期的
敲定价为
元的看跌期权，如按合约规定，第
2
个月月底持有人有权提前实施期权，
问期权金为多少？
解：
依题意得，
1
12
p
= =
0.53,
0.47
d
令
Sa
S0u
n n-a
n
a
Van
（Sa
tn
）
（0
£
n
3,
0
n）
……………………5
分
试卷第
页
共
6
页
Va
max
í
é
ë
pVa
（1-
p）Va
3+1
ù
û
（K
ý
（n
2,
a £
2）
3
Va3
+,
3）
ì
1 ü
î
r þ
é
2+1
1,
1）
1
V00
r
ë
û
pV01
p）V11
经计算可得，V00
2.35
2、（15
分）若随机过程
X
t
Yt
分别适合随机微分方程：
……………………10
dX
m1dt
s1dWt
dYt
m2dt
2dWt
其中，
m1,
m2
表示相应的期望回报率，s1,s
表示相应的波动率，
dWt
表示标准的
Brown
运动。
求
（
X
t
Yt
）
?
ˆ
由
Ito
公式可得，
- 2t
dYt
- 2
+ 3t
（dYt
）
2
Yt
……………………8
1 Xss X
ts 22
Y
dYt X
ts 22
-s 1s 2Yt
= dX
- 1
dt
+
= t + dt
Yt2
Yt3
dt
……………………7
三、证明题（共
30
分）证明欧式看跌期权的价格
是敲定价格
的凸函数，即设
K1
>
K2
Kl
l）K2
1）
，则有
（Kl
（K1）
l）
（K2
。
证：
在
t（t
<
T
时刻构造两个投资组合
F1
p（K1）
p（K2
）,
F2
p（Kl
在期权的到期日
VT
（F1）
l（K1
ST
）+
l）（K2
（F2
）+
当
³
时，VT
0;
；
……………………8
时，
VT
，
即VT
因此在
而
prob{VT
）}=
prob{K2
K1}>
0.
由无套利原理立得，Vt
Vt
……………………7
a
分）设
cN
-h
（r,
q,
是利率为
，红利率为
q
，敲定价为
的欧式看涨期权
1a 1a
价格，这里
（N
h）Dt
h
N
）,
S0u
-h-a
h）
证明：
r2
时，
（r
（r2
记
r1
Dt,
r2Dt,
1r
r 2r 2
h
1-
p1
= ,
p2
= ,1-
-
-
ca
（r1,
N N
p1caN
p1）caN+1（r1,
）ù
a 1
-1（r
r1
aa û
p1cN
p1）cN+1（r2
ê
h -r
h N
cN
+ 1 ca
+1（r2
）ú
1 d u 1 ù
ú
d ú
ú
a 1a
-1（r2
ç
÷
dc
uca
1 æ
1
ö
ø
a 2
+1
Kd
Ku）ù
N
+1 N
+1
è
r 2
u
r2
N
N
>
，又根据看涨期权关于敲定价格递减，可知
由于
，则
1
aa 1aa 1a 1a
cN+1
（S
N++1,
Ku）
，即
……………………10
假设当
m
-m
成立，则当
+1时，
-m-1（r
a 1a - 1 û
p1）cN+1m
aa - û
h N
-m
cN+1m
-m-1（r2
dca
-
a - û
ucN+1m
-m+1
a 1a -a 1 û
N+-m+1,
cN+1m+1（S
即由归纳法，可证命题成立。
……………………5
4
四、综合题（共
28
1、（12
分）若股票
不付红利，对于美式看跌股票期权，试说明股价下跌到
一定程度，提前实施是必要的原因？
答：
若在时刻
，
St
e-r（T
那么持有人必须提前实施。
……………………4
因为持有人在期权到期日的收益在任何情况下一定不会超过
但若在
时刻
提前实施，当时获益
把这个收益存入银行，
它在的总收入将超过
因此此时提前实施是必要的。
2、（16
分）叙述认股权证的定义以及与欧式看涨期权的异同点，并建立认股权证
的数学模型。
认股权证的定义：
持有人在确定的时间，按确定的价格按规定的股数买入一
特定公司的股票。
与欧式看涨期权的异同点：
共同点：
两者均保证持有人有权在未来确定时刻购买股票
不同点：
（1）认股权证所买入的股票是上市公司所发行的新股票，而欧式看涨期权所
购买的股票不一定是新发行的；
（2）认股权证有效期一般为几年，而看涨期权有效期一般为几个月
……………………6
认股权证的数学模型：
基本假定：
（1）假定公司有
股普通股股票和
份已发行的认股权证
W；
（2）认股权证的有效期为
，且每份认股权证授权持有者以
E
元购买一股股
票；
（3）假定公司资产价值过程Vt
演化服从几何
运动，
5
dVt
aVt
sVt
dBt
这里，a
表示期望收益率
s
表示波动率，
Bt
为标准的
运动过程
认股权证W
（V
t）
¥
数学模型：
（1）当
时，由于执行认股权证，公司总价值为V
nE
，股票的数量为
每份股票的价值为
V
nE
n
，因此当
³
时，W
T
，而当
，即当
÷
.
æ
+
（2）当
时刻，构造投资组合
P
W
DV
，选取适当的
使得在
（t,
dt）
内，
是无风
险的。
公式，可知选取
方程为
¶
W
¶
V
使得
是无风险的，并推得W
满足的偏微分
1 2 2
2W
+
rV
rW
因此W
在定解区域
上所满足的定解问题为
+s 2V
W 1 ¶
2W ¶
ï
V ¶
æ
+
0,
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