一元二次方程根与系数关系中考难题突破Word文档格式.docx

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＋3（9＋4

－4－8

）＝32

解法3由已知得：

α＋β＝－2αβ＝－7

∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18令α2＋3β2＋4β＝Aβ2＋3α2＋4α＝B

∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×

18＋4×

（－2）＝64①

A－B＝2（β2－α2）＋4（β－α）＝2（β＋α）（β－α）＋4（β－α）＝0②

①＋②得：

2A＝64∴A＝32

请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题

（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。

x13＋7x22＋3x2－66的值。

解∵x1、x2是方程x2－x－9＝0的两根

∴x1＋x2＝1且x12－x1－9＝0x22－x2－9＝0

即x12＝x1＋9x22＝x2＋9

∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1（x1＋9）＋7（x2＋9）＋3x2－66

＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10（x1＋x2）＋6＝16

例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．

分析：

显然已知二式具有共同的形式：

x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．

解：

由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．

由韦达定理，得a＋b＝－1，a·

b＝－1．

故ab＋a＋b＝－2．

二、先恒等变形，再应用韦达定理

若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·

b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．

例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：

x＝y．

证明：

将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．

由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋（z2＋9）＝0的两个根．

∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．

则z2≤0，又∵z为实数，

∴z2＝0，即△＝0．

于是，方程u2－6u＋（z2＋9）＝0有等根，故x＝y．

由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理

三、已知一元二次方程两根的关系（或系数关系）求系数关系（或求两根的关系），可考虑用韦达定理

例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．

设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有

a＋2a＝－P，①

a·

2a＝q，②

P2－4q＝1．③

把①、②代入③，得（－3a）2－4×

2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±

1．

∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．

解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．

例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：

p＝q或p＋q＝－4．

设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．

由题意知α－β＝α＇－β＇，

故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．

从而有（α＋β）2－4αβ＝（α＇＋β＇）2－4α＇β＇．①

把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即（p＋q）（p－q）＋4（p－q）＝0，即（p－q）（p＋q＋4）＝0．

故p－q＝0或p＋q＋4＝0，

即p＝q或p＋q＝－4．

四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理

例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－（m－1）＝0有一个公共根？

并求出这个公共根．

设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；

x2－4x－（m－1）＝0的两根为α、4－α．

由韦达定理，得α（m＋α）＝3，①

α（4－α）＝－（m－1）．②

由②得m＝1－4α＋α2，③

把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，

即（α－3）（α2＋1）＝0．

∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．

把α＝3代入③，得m＝－2．

故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．

课堂练习：

1.已知关于x的方程4x2＋4bx＋7b＝0有两个相等的实数根，y1、y2是关于y的方程y2＋（2－b）y＋4＝0的两个根。

求以

、

为根的一元二次方程。

2.已知关于x的方程x2－

x＋k＝0有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围

（2）化简|－k－2|＋

3.已知关于x的方程（a2－1）x2＋2（a＋2）x＋1＝0有实数根。

求a的取值范围。

（提示：

分a2－1＝0，a2－1≠0讨论）

4.已知关于x的方程x2－2（k＋1）x＋k2＋2k－1＝0①

（1）求证，对任意实数k的方程①总有两个不相等的实数根。

（2）如果a是关于y的方程y2－（x1＋x2－2k）y＋（x1－k）（x2－k）＝0②的根。

其中x1、x2是方程①的两根求代数式（

－

）÷

·

的值。

课后巩固

（一）基础练习

1.已知方程2x2－2ax＋

（a＋4）a＝0的两实根分别为x1、x2且满足（x1－1）（x2－1）＝

，求a的值。

2.关于x的方程x2－（5k＋1）x＋k2－2＝0是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4，若存在，求出满足条件的k的值，若不存在，请说明理由。

3.设α、β是方程x2＋

x＋2＝0的两根，不解方程，求

＋

4.已知关于x的方程k2x2＋（2k－1）x＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2。

（1）求k的取值范围。

（2）是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？

如果存在求出k的值。

如果不存在，请说明理由。

（1）根据题意，得Δ＝（2k－1）2－4k2>

0的解得k<

.

∴当k<

时，方程有两个不相等的实数根。

（2）存在如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1＋x2＝－

＝0①

解得k＝

经检验k＝

是方程①的解。

∴当k＝

时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。

读了上面的解答过程，请判断是否错误，如果有指出错误之处，并直接写出正确答案。

5.如图已知△ABC中，∠ACB＝90°

CD⊥AB于D，若AD、BD的长是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，且tgA－tgB＝2，CD＝1，求p、q的值，并解此二次方程。

（二）能力提升题

1.关于x的方程x2－（2a－1）x＋（a－3）＝0.

（1）求证：

无论a为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根。

（2）以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为

，求实数a的值。

2.已知方程5a2＋2002a＋9＝0及9b2＋2002b＋5＝0且ab≠1，求

3.已在△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5。

（1）k为何值时，△ABC是以BD为斜边的直角三角形。

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。

（三）思维拓展题

已知

是一元二次方程

的两个实数根。

（1）是否存在实数

，使

成立？

若存在，求出

的值；

若不存在，请说明理由。

（2）求使

的值为整数的实数

的整数值。

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家长签字：