中考数学必刷题 491.docx

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中考数学必刷题491

2021中考数学必刷题491

第Ⅰ卷（选择题　共36分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）

A．4B．5C．6D．7

2．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（）

A．20°B．30°C．40°D．50°

3．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是（）

A．6＜L＜15B．6＜L＜16

C．11＜L＜13D．10＜L＜16

4．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）

A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DAC

C．∠BCA＝∠DCAD．∠B＝∠D＝90°

5．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）

A．0.2mB．0.3mC．0.4mD．0.5m

6．如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（）

A．6B．8C．10D．12

7．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（）

A．5

B．10

C．10

D．15

8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）

A.

B.

－1C．2－

D.

9．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）

A.

B.

C.

D.

10．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（）

A．6B．8C．10D．12

11．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H.若

＝2，则

的值为（）

A.

B.

C.

D.

12.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于F点，连接CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：

①四边形AECF为平行四边形；

②∠PBA＝∠APQ；

③△FPC为等腰三角形；

④△APB≌△EPC.

其中正确结论的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

第Ⅱ卷（非选择题　共84分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

13．下列命题是真命题的序号为______．

①对角线相等的四边形是矩形；

②对角线互相垂直的四边形是菱形；

③任意多边形的内角和为360°；

④三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

14．如图，某景区的两个景点A，B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A，B间的距离为__________________米（结果保留根号）．

15.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：

“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？

”其意思为“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？

”该问题的答案是________步．

16．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为________．

17．如图，直线y＝－x＋1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn－1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，Tn－1，用S1，S2，S3，…，Sn－1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn－1Pn－2Pn－1的面积，则S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝________．

三、解答题（本大题共7个小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本题满分7分）

如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.

（1）求证：

△ABC≌△DEF；

（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．

19．（本题满分7分）

如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.

（1）求证：

△ADE∽△ABC；

（2）若AD＝3，AB＝5，求

的值．

20．（本题满分8分）

随着航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻．如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？

（参考数据：

≈1.414，

≈1.732，结果精确到1海里）．

21．（本题满分9分）

如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.

（1）求证：

▱ABCD是菱形；

（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．

22．（本题满分10分）

如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．

（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；

（2）求斜坡CD的长度．

23．（本题满分11分）

如图，在△ABC中，BC＞AC，点E在BC上，CE＝CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.

（1）如图1，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F.

①求证：

FA＝DE；

②请猜想三条线段DE，AD，CH之间的数量关系，直接写出结论；

（2）如图2，当∠ACB＝120°时，三条线段DE，AD，CH之间存在怎样的数量关系？

请证明你的结论．

24．（本题满分12分）

如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.

（1）证明与推断：

①求证：

四边形CEGF是正方形；

②推断：

的值为________；

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝2

，则BC＝________．

参考答案

1.C　2.C　3.D　4.C　5.C　6.C　7.B　8.A　9.B　10.D　11.B　12.B

13．④　14.100＋100

　15.

　16.

或3

17.

－

18．

（1）证明：

∵AC＝AD＋DC，DF＝DC＋CF，且AD＝CF，

∴AC＝DF.

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SSS）．

（2）解：

由

（1）可知∠F＝∠ACB.

∵∠A＝55°，∠B＝88°，

∴∠ACB＝180°－（∠A＋∠B）＝180°－（55°＋88°）＝37°，

∴∠F＝∠ACB＝37°.

19．

（1）证明：

∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°.

∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB.

∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC.

（2）解：

由

（1）可知△ADE∽△ABC，∴

＝

＝

.

∵∠AFE＝∠AGC＝90°，∠EAF＝∠GAC，

∴△EAF∽△CAG，∴

＝

，∴

＝

.

20．解：

在△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝45°，则AC＝PC.

∵AP＝400海里，

∴由勾股定理知AP2＝AC2＋PC2＝2PC2，即4002＝2PC2，

∴PC＝200

海里．

又∵在直角△BPC中，∠PCB＝90°，∠BPC＝60°，

∴PB＝

＝2PC＝400

≈566（海里）．

答：

此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里．

21．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.

∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.

∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD，

∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．

（2）解：

如图，连接BD交AC于点O.

∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，

∴AC⊥BD，

AO＝OC＝

AC＝

×6＝3.

∵AB＝5，AO＝3，

∴BO＝

＝

＝4，

∴BD＝2BO＝8，

∴S平行四边形ABCD＝

AC·BD＝24.

22．解：

（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，

则AC＝

＝

＝20

（米）．

答：

坡底C点到大楼距离AC的值是20

米．

（2）如图，过点D作DF⊥AB于点F.

设CD＝2x，则DE＝x，CE＝

x.

在Rt△BDF中，

∵∠BDF＝45°，

∴BF＝DF，

∴60－x＝20

＋

x，

∴x＝40

－60，

答：

CD的长为（80

－120）米．

23．

（1）①证明：

∵CF⊥CD，∴∠FCD＝90°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCE，

∴∠FCA＝∠DCE.

∵∠FAC＝90°＋∠B，∠CED＝90°＋∠B，

∴∠FAC＝∠CED.

∵AC＝EC，∴△AFC≌△EDC，

∴FA＝DE.

②解：

DE＋AD＝2CH.

（2）解：

AD＋DE＝2

CH.理由如下：

如图，连接CD，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于点F.

∵∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，

∴∠FCA＝∠BCD.

∵∠EDA＝60°，

∴∠EDB＝120°.

∵∠FAC＝120°＋∠B，∠DEC＝120°＋∠B，

∴∠FAC＝∠DEC.

∵AC＝EC，∴△FAC≌△DEC，

∴AF＝DE，FC＝DC.

∵CH⊥FD，

∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°.

在Rt△CHD中，tan60°＝

，

∴DH＝

CH.

∵AD＋DE＝AD＋AF＝2DH＝2

CH，

即AD＋DE＝2

CH.

24．

（1）①证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.

∵GE⊥BC，GF⊥CD，

∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，

∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，

∴EG＝EC，

∴四边形CEGF是正方形．

②解：

提示：

由①知四边形CEGF是正方形，

∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，

∴

＝

，GE∥AB，

∴

＝

＝

.

（2）解：

AG＝

BE.理由如下：

如图，连接CG，

由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α.

在Rt△CEG和Rt△CBA中，

＝cos45°＝

，

＝cos45°＝

，

∴

＝

＝

，∴△ACG∽△BCE，

∴

＝

＝

，

∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝

BE.

（3）解：

3

提示：

∵∠CEF＝45°，点B，E，F三点共线，

∴∠BEC＝135°.

∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，

∴∠AGH＝∠CAH＝45°.

∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，

∴

＝

＝

.

设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝

a，

则由

＝

得

＝

，

∴AH＝

a，

则DH＝AD－AH＝

a，CH＝

＝

a，

∴

＝

得

＝

，

解得a＝3

，即BC＝3

.