《线性代数》知识点归纳整理.docx
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《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅
学生编
01、余子式与代数余子式.............................................................................................................................................-2-
02、主对角线.................................................................................................................................................................-2-
03、转置行列式.............................................................................................................................................................-2-
04、行列式的性质.........................................................................................................................................................-3-
05、计算行列式.............................................................................................................................................................-3-
06、矩阵中未写出的元素.............................................................................................................................................-4-
07、几类特殊的方阵.....................................................................................................................................................-4-
08、矩阵的运算规则.....................................................................................................................................................-4-
09、矩阵多项式.............................................................................................................................................................-6-
10、对称矩阵.................................................................................................................................................................-6-
11、矩阵的分块.............................................................................................................................................................-6-
12、矩阵的初等变换.....................................................................................................................................................-6-
13、矩阵等价.................................................................................................................................................................-6-
14、初等矩阵.................................................................................................................................................................-7-
15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵.........................................................................................................................-7-
16、逆矩阵.....................................................................................................................................................................-7-
17、充分性与必要性的证明题.....................................................................................................................................-8-
18、伴随矩阵.................................................................................................................................................................-8-
19、矩阵的标准形：
.....................................................................................................................................................-9-
20、矩阵的秩：
.............................................................................................................................................................-9-
21、矩阵的秩的一些定理、推论.................................................................................................................................-9-
22、线性方程组概念...................................................................................................................................................-10-
23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................-10-
24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念.......................................................................................................-11-
25、线性方程组的向量形式.......................................................................................................................................-11-
26、线性相关与线性无关的概念.........................................................................................................................-12-
27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关..............................................................................................-12-
28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题......................................-12-
29、线性表示与线性组合的概念.........................................................................................................................-12-
30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题..........................................................-12-
31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理.......................................................................................................-12-
32、最大线性无关组与向量组的秩...........................................................................................................................-12-
33、线性方程组解的结构...........................................................................................................................................-12-
-1-
01、余子式与代数余子式
a
11
a
12
a
13
（1）设三阶行列式D＝
a
21
a
22
a
23
，则
a
31
a
32
a
33
①元素
a，
11
a，
12
a的余子式分别为：
M11＝
13
a
a
22
32
a
a
23
33
，M12＝
a
a
21
31
a
23
a
33
，M13＝
a
21
a
31
a
22
a
32
对M11的解释：
划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式
a
22
a
32
a
a
23
33
，这个
行列式即元素
a的余子式M11。
其他元素的余子式以此类推。
11
②元素
a，
11
a，
12
a的代数余子式分别为：
A11＝（－1）
13
1＋1M11，A12＝（－1）1＋2M12，
A13＝（－1）
1＋3M13.对Aij的解释（i表示第i行，j表示第j列）：
Aij＝（－1）
i＋jMij.
（N阶行列式以此类推）
（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。
比如说，作业P1第1题：
M31＝
0
0
4
3
3+1
，A31＝（-1）
0
0
4
3
（3）例题：
课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题
02、主对角线
一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1,2,3,n，即从左上到右下
的一条斜线。
与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。
03、转置行列式
即元素aij与元素
a的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，
ji
a与
12
a的位置对
21
调、a35与
a的位置对调。
53
-2-
04、行列式的性质
详见课本P5-8（性质1.1.1~1.1.7）
其中，性质1.1.7可以归纳为这个：
aiA＋
1k1
aiA＋,＋
2k2
ainA
kn
＝
A
0
，
，i
i＝
k，
k
（i表示第i行，k表示第k列）
熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。
例题：
作业P1第2题
05、计算行列式
（1）计算二阶行列式
a
11
a
21
a
12
a
22
：
①方法（首选）：
a
11
a
21
a
12
a
22
＝
a11a－aa（即，左上角×右下角－右上角×左下角）
221221
②方法：
a
11
a
21
a
12
a
22
＝
a11A＋aA＝
111212
a11a－aa
221221
例题：
课本P14
a
11
a
12
a
13
（2）计算三阶行列式
a
21
aa
2223
：
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
＝
a11A＋aA＋aA＝
1112121313
a（－1）
11
1＋1M11＋
a（－1）
12
1＋2M12＋
a（－1）
13
1＋3M13
a
31
a
32
a
33
N阶行列式的计算以此类推。
通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时
方便计算.（r是row，即行。
c是column，即列）
例题：
课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题
（3）n阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n阶下三角行列式（0元素全在右上角）：
D＝
a11a,
22
a（主对角线上元素的乘积）
nn
例题：
课本P10、作业P3第4小题
有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式
例题：
课本P11
-3-
（4）范德蒙行列式：
详见课本P12-13
（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到
元素全为1的一行，方便化简行列式。
例题：
作业P2第1小题、作业P2第2小题
06、矩阵中未写出的元素
课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为0
07、几类特殊的方阵
详见课本P30-32
（1）上（下）三角矩阵：
类似上（下）三角行列式
（2）对角矩阵：
除了主对角线上的元素外，其他元素都为0
（3）数量矩阵：
主对角线上的元素都相同
（4）零矩阵：
所有元素都为0，记作O
（5）单位矩阵：
主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En（其行列式的值为1）
08、矩阵的运算规则
（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同；
矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同）：
①课本P32“A＋B”、“A－B”
②加法交换律：
A＋B＝B＋A
③加法结合律：
A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C
（2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：
①数与矩阵的乘法：
I.课本P33“kA”
II.kA＝knA（因为kA只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式）
②同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：
a
11
a
21
a
12
a
22
×
b
11
b
21
b
12
b
22
＝
ab
1111
ab
2111
ab
1221
ab
2221
ab
1112
a
b
2112
ab
1222
a
b
2222
描述：
令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为
A
C
B
D
，则
-4-
A的值为：
①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。
即A＝a11×b11＋a12×b21
B的值为：
①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。
即B＝a11×b12＋a12×b22
C的值为：
①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。
即C＝a21×b11＋a22×b21
D的值为：
①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。
即D＝a21×b12＋a22×b22.
a
11
a
12
a
13
b
11
b
12
b
13
ab
1111
ab
1221
ab
1331
ab
1112
ab
1222
ab
1332
ab
1113
ab
1223
ab
1333
a
21
a
22
a
23
×
b
21
b
22
b
23
＝
ab
2111
ab
2221
ab
2331
ab
2112
ab
2222
ab
2332
ab
2113
ab
2223
ab
2333
a
31
a
32
a
33
b
31
b
32
b
33
ab
3111
ab
3221
ab
3331
ab
3112
ab
3222
ab
3332
ab
3113
ab
3223
ab
3333
ABC
描述：
令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为D
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