第十一章三角形.docx

第十一章三角形.docx

《第十一章三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十一章三角形.docx（36页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

第十一章三角形

第十一章三角形

教材内容

本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。

三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。

教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。

接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。

这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。

最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.

教学目标

1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；

2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；

3、会证明三角形内角和等于180°，了解三角形外角的性质。

4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。

5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。

过程与方法

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；

2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。

情感、态度与价值观

1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；

3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。

重点难点三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于180°的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。

课时分配

11.1与三角形有关的线段5课时

11.2与三角形有关的角3课时

11.3多边形及其内角和3课时

本章小结2课时

第一课时：

第1课三角形的概念及分类

授课时间：

教学目标：

1.三角形的定义，认识三角形的边，内角，顶点，能用符号表示三角形.

2.能从不同角度对三角形进行分类.

教学重点：

三角形的分类

教学难点：

三角形的个数的确定

教学方法：

师友互助、合作探究

教学用具：

多媒体课件

教学设计：

一、探究学习：

探究一、三角形的定义及表示：

1.阅读课本第2-3页内容，并回答下列问题：

由的三条线段相接所组成的图形，叫做三角形.

2.试作一个三角形ABC，则点A、点B、点C是三个，三条边分别是.三个内角分别是，可把三角形ABC记作读作.

3.在△ABC中，∠A所对的边是,可用小写字母表示；∠B所对的边是,可用小写字母表示；∠C所对的边是,可用小写字母表示.

探究二、数三角形的个数：

1.分别说出下列各图形中线段的条数：

有条线段有条线段有条线段有条线段

方法：

若一条直线上有n个点，则在这条直线上就存在条线段.

2.分别说出下列各图形中三角形的个数：

方法：

经过直线外一点向直线引线段，直线上有n个点，则就存在个三角形.

随堂练习：

1.图中有个三角形，分别是.

2.以AB为边的三角有.

3.以E为顶点的三角有.

4.以∠D为内角的三角形有.

5.ΔBCD的三个角分别是.

6.ΔABC的三边分别是.

探究三、三角形的分类

1.三角形按照角的大小可分为，，.如下图：

写出名称.

2.回答下列问题:

（1）等腰三角形的概念：

①ΔABC中有条边相等，即=，像这样的三角形叫三角形；

其中相等的两边叫做等腰三角形的，另一边叫.

两腰的夹角叫做，腰与底边的夹角叫做.

②等腰ΔABC的底边AB和腰BC相等，那么等腰ΔABC就成为三角形.即的等腰三角形叫等边三角形,或者的三角形叫做等边三角形.

注意：

等边三角形是特殊的三角形.等边三角形又叫正三角形.

由此可知：

等腰三角形可分为等腰三角形和三角形.

（2）一般三角形的概念

如图：

ΔDEF中边相等（填“有”“无”），像这样的三角形叫三角形.

结论：

三角形按照“边是否相等”可分为，.

总结：

三角形分类有两种方法：

（1）

按角分类

（2）按边分类

二、随堂练习：

1.锐角三角形三个角都是；直角三角形有且只有个直角，其他两个角是角；直角所对的边叫边，另外两边叫边；钝角三角形有且只有个钝角，其他两个角是角.

2.下列判断：

①一个三角形的三个内角中最多有一个直角；

一个三角形的三个内角中至少有两个锐角；

一个三角形中至少有一个钝角.其中正确的有个

3.如右图，图中一共有个三角形.

三、课堂小结：

本节课你有什么收获？

四、作业布置：

用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长是底边的2倍，那么各边的长各是多少？

板书设计三角形的边

1、三角形的定义

2、三角形的分类

教学反思

第2课时：

三角形的三边之间的关系

授课时间：

教学目标：

掌握三角形三边的不等关系，并能运用三角形三边的不等关系解决生活实际问题.

教学重点：

掌握三角形三边之间的数量关系

教学难点：

熟练应用三角形三边之间的数量关系进行计算

教学方法：

师友互助、合作探究

教学用具：

多媒体课件

教学设计：

一、回顾思考：

三角形的分类有几种方法

二、探究新知：

探究一、三角形的三边之间的关系

1.如图，蚂蚁从A到B的路线有条，分别是，，其中走路线最近.理由是.即AC+BCAB（用“=”“＜”“＞”填空）

从A到C走路线最近.即AB+BCAC；

从B到C走路线最近.即AC+ABBC.

由上可得：

在三角形中，任意两边之和第三边.

2.用刻度尺量出AB，AC,BC的长,然后计算：

可得AB-ACBC，AB-ACBC，BC-ACAB（用“=”“＜”“＞”填空）

由上可得：

在三角形中，任意两边之差第三边.

【总结】三角形三边关系定理：

在三角形中，任意两边之和第三边，任意两边之差第三边.

【灵活应用】

用“和”去判断时，一般只需将最短边与较短边的和与最长边进行比较即可；

用“差”去判断时，一般只需将最长边与较长边的差与最短边进行比较即可.

探究二、三角形的三边关系的运用

（一）判断任意三条线段能否构成三角形

7.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.4cm，10cm，5cm；B.1cm，2cm，3cm；C.15cm，8cm，2cm；D.7cm，8cm，9cm.

8.下列长度的各组线段能否组成一个三角形？

9.

（1）15cm、10cm、7cm（）

（2）4cm、7cm、10cm（）

（3）3cm、8cm、5cm（）（4）4cm、5cm、6cm（）

（5）4cm、5cm、7cm（）（6）4cm、5cm、9cm（）

（7）4cm、5cm、9.1cm（）（8）4cm、5cm、1cm（）

（二）已知三角形的两边，确定第三边的取值范围

思考：

有两条长度分别为5cm和7cm的线段，要组成一个三角形.

（1）下列线段能否和上面的两条已知线段组成一个三角形？

（“能”的打“√”，“不能”的打“×”）

1cm（）；2cm（）；3cm（）；4cm（）；5cm（）；

6cm（）；7cm（）；8cm（）；12cm（）；13cm（）.

（2）第三条边a的长度的取值范围是:

＜a＜

三、随堂练习：

1.五条线段的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm.以其中三条线段为边长可以构成_____个三角形，分别是以边的三角形.

2.已知三角形的两边长分别为3

和8

，则此三角形的第三边的长可能是（）

A.4

B.5

C.6

D.13

3.一个三角形的三边长分别为

，2，3，那么

的取值范围

4．如果等腰三角形的一边长4cm，另一边长9cm，则此等腰三角形的周长为______cm.

5．如果等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm,则这个等腰三角形的周长为______.

6．已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这三角形的周长为

7．长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根组成一个三角形，有种选法，分别是：

8．一个等腰三角形的周长为18cm，如果一边长等于4cm.求:

另外两边的长.

四、课堂小结：

本节课你有什么收获？

五、作业布置：

1.课堂作业:

一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长为6cm，求其它两边的长.

板书设计三角形的三边之间的关系

1、三角形的三边关系

2、三角形三边关系的应用

教学反思

第3课三角形的中线及三角形的稳定性

授课时间：

教学目标：

1.理解三角形的中线的概念及性质；

2.会作出三角形的中线；

3.利用三角形的中线的性质进行合理的计算.

教学重点：

三角形中线性质的理解；

教学难点：

三角形性质的应用.

教学方法：

师友互助、合作探究

教学用具：

多媒体课件

教学设计：

一、概念理解：

三角形中线的概念：

在三角形中连接一个与它对边的线段，叫做这个三角形这边的中线.

如图，已知点D就是AB边上的中点，那么CD就是△ABC的AB边上的中线.

几何语言表述：

∵AD是△ABC的AB边上的中线

∴

【注意】①三角形的中线是一条线段；②三角形的中线是对于某一个三角形而言的，而不能说成是某一条边的中线，例如：

CD是△ABC的中线，而不是AB的中线.

二、探究新知：

探究一：

三角形的中线的相关概念：

（一）三角形中线的作业：

如图，已知CD是△ABC的AB边上的中线，CF为AB边上的高，则△ADC和△BDC的面积分别该如何表示？

这两个三角形的面积有什么关系？

【三角形中线的作用】三角形的一条中线能将原来的三角形分成两个的三角形.

也可以说成是：

的三角形面积相等.

尝试解决：

1.已知CD是△ABC的AB边上的中线，若S△ADC=10cm2，则S△ABC=

2.如右图，张大爷有一块三角形试验田，旁边是水渠.现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，并且能够方便灌溉，请你帮助张大爷设计出划分方案，画图说明（利用刻度尺）.

（二）三角形的中线的性质：

现在分别有一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，请分别作出每个三角形的三条中线，并回答问题：

【发现】任何一种三角形的三条中线都会交于点.这个点叫做三角形的重心.

探究二：

三角形的稳定性

1.用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

2.用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

3.在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，形状会改变吗？

【议一议】从上面实验过程你能得出什么结论？

与同伴交流.

三角形木架形状改变，四边形木架形状改变.

这就是说，三角形具有，四边形没有稳定性.

三、例题解析：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，△ABC的周长是32cm，△ABD的周长比△BDC的周长多4cm，求AB的长.

变式练习：

在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，BD将△ABC的周长分成15cm和12cm的两部分，求AB的长.（注意：

分两种情况讨论）

四、课堂小结：

本节课你有什么收获？

五、作业布置：

1、当堂作业：

已知如图，CD是△ABC的中线，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，且∠ACB=90°，求△DBC和△DAC的周长的差以及S△ABC.

2、预习作业：

①在练习本上分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出每个三角形的三条高；②在练习本上分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形并分别作出每个三角形的三条角平分线.通过作图，你有什么发现？

板书设计三角形的中线及三角形的稳定性

1、三角形的中线

2、三角形的中线的性质：

教学反思

第4课三角形的高线

授课时间：

教学目标：

1.理解三角形的高线的概念，并能用三角板作出三角形的高线；

2.利用三角形的高线的性质进行合理的计算.

教学重点：

三角形的高线的性质

教学难点：

正确作一个三角形的高线

教学方法：

师友互助、合作探究

教学用具：

多媒体课件

教学设计：

一、回顾复习：

一、三角形中线的概念：

1.在三角形中连接一个与它对边的线段，叫做这个三角形这边的中线.

2.如图，已知点D就是AB边上的中点，那么CD就是△ABC的AB边上的中线.

3.三角形的三条中线交于一点.

4.三角形的一条中线可以把它分成相等的两个三角形.如上图，CD是△ABC的AB边上的中线，S△ABC=12cm2，则S△ABD=；若S△ACD=26cm2，则S△ABC=.

二、概念理解：

三角形的高线：

从三角形的一个顶点向它的对边所在的作垂线，和之间的线段，叫做三角形的高线.

几何语言表述：

∵AD是△ABC的BC边上的高线.∴⊥（或者∠ADB=∠ADC=）

【注意】与三角形的中线一样：

①三角形的高线是线段；②三角形的高线是对于某一个三角形而言的，而不能说成是某一条边的高线，可以说成是三角形一条边上的高.

三、探究新知：

探究：

三角形的高线的性质：

现在分别有一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，请分别作出这几个三角形的三条高线，并回答问题：

【发现】

锐角三角形的三条高线会交于三角形的一点；

直角三角形的三条高线会交于三角形的；

钝角三角形的三条高线的延长线会交于三角形的一点.

四、例题解析：

如图，在△ABC中，AE⊥BC与E,CD⊥AB与D，AB=6cm,CD=4cm,BC=5cm.求AE的长.

变式练习：

如图所示，CD、AE分别是△ABC的边AB和BC上的高，

AB=27，BC=15.求AE:

CD的值.

五、巩固练习：

1.三角形的三条高在（）

A.三角形的内部；B.三角形的外部；

C.三角形的边上；D.三角形的内部、外部或边上

2.在△ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的高，已知AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，求：

CD的长.

3.如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，BC=16，AD=3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC的周长吗？

六、课堂小结：

本节课你有什么收获？

七、作业布置：

1.当堂作业：

如图，AD，AE分别是△ABC的高线和中线，已知AD=6cm，CE=3cm，求△ABE和△ABC的面积.

板书设计三角形的高线

1、三角形的高线

2、三角形的高线的性质：

教学反思

第5课三角形的角平分线

授课时间：

教学目标：

1.理解三角形的角平分线的概念；

2.会用尺规作图作出三角形的角平分线；

3．利用三角形的角平分线的性质进行合理的计算.

教学重点：

利用三角形的角平分线的性质进行合理的计算

教学难点：

利用三角形的角平分线的性质进行合理的计算

教学方法：

师友互助、合作探究

教学用具：

多媒体课件

教学设计：

一、回顾复习：

1.三角形的高线：

从三角形的一个顶点向它的对边所在的作垂线,和之间的线段，叫做三角形的高线.

几何语言表述：

∵AD是△ABC的BC边上的高线.

∴⊥（或者∠ADB=∠ADC=°）

二、概念理解：

三角形的角平分线：

三角形一个内角的与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线.

几何语言表述：

∵AD是△ABC的角平分线

∴∠=∠=

∠（或∠=2∠=2∠）

注意：

①三角形的中线、高线和角平分线都是线段；

②三角形的中线、高线是对于某一个三角形而言的，而不能说成是某一条边的中线、高线；三角形的角平分线也不能说成是某一个角的角平分线（因为角的平分线是一条射线而非线段）.

三、探究学习：

三角形的角平分线的作法及性质：

现在分别有一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，请分别作出这几个三角形的三条角平分线，并回答问题：

发现：

任何一种三角形的三条角平分线都会交于三角形的一点.这个点叫做三角形的内心.

尝试解决：

课本9页第9题

四、例题解析：

已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠BAC=102°，∠B=55°，求：

∠BAD、∠DAC的度数.

五、巩固练习：

1.下列说法正确的是.

①三角形内角的平分线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线，角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线.

2.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质（）

A.是边BB′上的中线B.是边BB′上的高

C.是∠BAB′的角平分线D.以上三种性质合一

3.如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC，且∠C=68°，

∠B=40°，求∠DAE的度数.

六、课堂小结：

本节课你有什么收获？

七、作业布置：

1、当堂作业：

如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠C=31°，∠B=55°.求∠DAE.

2、预习作业：

（1）在三角形ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝50°，那么∠C的度数是．

（2）已知∠A=

∠B=3∠C，则∠A=．

（3）如果一个三角形的三个内角之比为2：

3：

4，则与之对应的三个内角度数分别为.

板书设计三角形的角平分线

1、三角形的角平分线

2、三角形的角平分线的性质：

教学反思

第6课三角形的内角和

授课时间：

教学目标：

1.经历观察学习的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理；

2.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.

教学重点：

经历观察学习的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理.

教学难点：

能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.

教学方法：

师友互助、合作探究

教学用具：

多媒体课件

教学设计：

一、探究新知:

三角形的内角和

猜想：

一个三角形的三个内角的和是多少度？

（口答）.

如图，已知△ABC，则∠A+∠B+∠C=.

如图用量角器量出△ABC三个内角的度数，

则得到∠A+∠B+∠C=.

你还能通过其它度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于180°吗？

由此可知：

三角形三个内角的和等于.

（1）以上的思路过程还可以用几何推理来说明它们的正确性.

已知：

△ABC（如图）

求证：

∠A+∠B+∠ACB=180°

证明：

过点C作CM∥AB,延长BC

则∠2=∠B,∠1=∠A（你能说明理由吗？

）

∵∠3+∠1+∠2=180°

∴∠ACB+∠A+∠B=180°

（2）我们还可以用另外一种方法来证明：

证明：

过点A作DE//BC（请你写出证明过程）

（3）如图在AB上取一点D，过D分别作DE∥AC,DF∥BC,试着说明∠A+∠B+∠C=180°.

三角形内角和定理：

_________________________。

方法总结：

为了证明三个角的和为180°转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.

二、达标练习：

1.在△ABC中，∠A=800、∠B=60°则∠C=　.

2.如果三角形的三个内角的度数比是2:

3:

4,则它是（）三角形.

3.已知△ABC中,∠A=2（∠B+∠C）,则∠A的度数为.

4.在△ABC中,∠A=

∠B=

∠C,则此三角形是三角形.

5.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.

※6.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

三、课堂小结：

这节课你收获了什么？

四、作业：

1.当堂作业：

课本13页练习题第1题，第2题.

2.预习作业：

如图，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？

为什么？

板书设计三角形的内角和

1、三角形的内角和

2、三角形的内角和定理

教学反思

第7课直角三角形内角的性质

授课时间：

教学目标：

1.经历观察学习的过程，得出直角三角形两锐角之间的关系，并能应用这一结论解决一些简单的实际问题.

2.应用两锐角互余这一结论准确判断一个三角形是直角三角形.

教学重点：

根据直角三角形两锐角之间的关系或两锐角互余判断一个三角形是直角三角形，这两个结论解决一些简单的实际问题.

教学难点：

根据直角三角形两锐角之间的关系或两锐角互余判断一个三角形是直角三角形，这两个结论解决一些简单的实际问题.

教学方法：

师友互助、合作探究

教学用具：

多媒体课件

教学设计：

一、复习旧知：

1.在△ABC中，∠A=500、∠B=60°则∠C=　.

2.在△ABC中,已知∠B-∠A=35°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.

二、感悟新知:

直角三角形的内角的性质

（一）猜想：

直角三角形的两锐角有何关系？

如图，在直角△ABC中，∠C=90°.∠A+∠B=？

说明你的理由.

结论：

直角三角形的两锐角.

注意：

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.

例题：

如图，∠E=∠F=90°，∠A=60°，EC//FB.求：

∠FDB的度数.

（二）思考：

直角三角形的两锐角互余，反之，两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？

如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°.猜想△ABC的形状，并说明理由.

结论：

有两个锐角互余的三角形是.

三、达标练习：

1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.∠ACD与∠B有什么关系？

为什么？

2.如图∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？

为什么？

四、课堂小结：

这节课你收获了什么？

五、作业布置：

1.当堂作业：

课本16页习题11.2第4题.

2.预习作业:

说出下列图形中∠1和∠2的度数.

板书设计直角三角形内角的性质

1、直角三角形内角的性质

2、例题

教学反思

第8课三角形的外角

授课时间：

教学目标：

1.使学生探索并掌握三角形外角的定义及其性质；

2.能利用三角形外角的性质解决实际计算问题

教学重点：

三角形外角的定义及其性质；

教学难点：

利用三角形外角的性质解决实际计算问题

教学方