江苏省中考数学试题研究第一部分考点研究第三章函数第14课时二次函数的应用试题5年真题.docx

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江苏省中考数学试题研究第一部分考点研究第三章函数第14课时二次函数的应用试题5年真题

函数

第14课时二次函数的应用

江苏近5年中考真题精选（2013～2017）

命题点1二次函数的实际应用（盐城1考，淮安1考，宿迁1考）

考向一　最大利润问题

1.（2016徐州26题8分）某宾馆拥有客房100间，经营中发现：

每天入住的客房数y（间）与房价x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如下表：

x（元）

180

260

280

300

y（间）

100

60

50

40

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用60元．当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？

求出最大利润．（宾馆当日利润＝当日房费收入－当日支出）

2.（2013盐城25题10分）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．

（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？

（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．

①求y与x之间的函数关系式；

②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？

最大利润是多少？

（利润＝销售收入－进货金额）

第2题图

3.（2017扬州27题12分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格x（元/千克）

30

35

40

45

50

日销售量p（千克）

600

450

300

150

0

（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值．（日获利＝日销售利润－日支出费用）

考向二　费用问题

4.（2016宿迁24题8分）某景点试开放期间，团队收费方案如下：

不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）景点工作人员发现：

当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．

考向三　几何图形面积问题

5.（2014淮安25题10分）用长为32m的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为xm，面积为ym2.

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60m2?

（3）能否围成面积为70m2的养鸡场？

如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．

6.（2013连云港23题10分）小林准备进行如下操作实验：

把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：

“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？

请说明理由．

命题点2　二次函数的综合应用（盐城必考，淮安2考，宿迁必考）

7.（2016淮安27题12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－

x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（－4，0）．

（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；

（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.

①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

第7题图

8.（2013南京26题9分）已知二次函数y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m为常数，且a≠0）．

（1）求证：

不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.

①当△ABC的面积等于1时，求a的值；

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

9.（2016宿迁26题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝x2－1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.

（1）求N的函数表达式；

（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2＋PB2的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．

第9题图

10.（2013宿迁27题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（－3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.动直线y＝t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q.

（1）求a和b的值；

（2）求t的取值范围；

（3）若∠PCQ＝90°，求t的值．

第10题图

答案

1.解：

（1）设y＝kx＋b，将（180，100），（260，60）代入得：

，

解得

，（2分）

∴y与x之间的函数表达式为

y＝－

x＋190（180≤x≤300）；（4分）

（2）设利润为w，

w＝y·x－100y－60（100－y）

＝x（－

x＋190）－100（－

x＋190）－60[100－（－

x＋190）]

＝－

x2＋210x－13600

＝－

（x－210）2＋8450，

∵180<210<300，

（6分）

∴当x＝210时，w最大＝8450（元），

答：

当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．（8分）

2.解：

（1）设现在实际购进这种水果每千克a元，则原来购进这种水果每千克（a＋2）元，根据题意，得

80（a＋2）＝88a，

解得a＝20.

答：

现在实际购进这种水果每千克20元；

（2）①设y与x之间的函数关系式为

y＝kx＋b，

将（25，165），（35，55）代入，

得

，

解得

，

故y与x之间的函数关系式为

y＝－11x＋440；

②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，

则w＝（x－20）y

＝（x－20）（－11x＋440）

＝－11x2＋660x－8800

＝－11（x－30）2＋1100，

∵a＝－11＜0，

∴当x＝30时，w有最大值1100.

答：

将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．

3.解：

（1）p与x之间满足一次函数关系p＝kx＋b（k≠0），

因为点（50，0），（30，600）在图象上，

所以

，

解得

，

∴p与x之间的函数表达式为

p＝－30x＋1500（30≤x≤50）；

（2）设日销售价格为x元/千克，日销售利润为w元，依题意得

w＝（－30x＋1500）（x－30）

＝－30x2＋2400x－45000（30≤x≤50），

∵a＝－30<0，

∴w有最大值，

当x＝－

＝40（元/千克）时，w有最大值，即最大值为

w最大＝

＝3000（元）；

答：

销售价格为40元/千克时，日销售利润最大；

（3）∵w＝p（x－30－a）＝－30x2＋（2400＋30a）x－（1500a＋45000），

对称轴为x＝－

＝40＋

a，

①若a>10，当x＝45时取最大值，（45－30－a）×150＝2250－150a<2430（舍去），

②若a<10，当x＝40＋

a时取最大值，将x＝40＋

a代入，得

w＝30（

a2－10a＋100），

令w＝2430，则30（

a2－10a＋100）＝2430，

解得a＝2或a＝38（舍去）．

综上所述，a＝2.

4.解：

（1）由题意得，

y＝

；（4分）

（2）由

（1）知当0＜x≤30或m＜x≤100时，

函数值都是随着x的增大而增大，

当30＜x≤m时，

y＝x[120－（x－30）]

＝x（150－x）

＝－x2＋150x

＝－（x2－150x＋752－752）

＝－（x－75）2＋752，

∴当30＜m≤75时，收取的总费用随着团队中人数的增加而增加．（8分）

5.解：

（1）已知围成的矩形一边长为xm，则矩形的邻边长为（32÷2－x）m．依题意得：

y＝x（32÷2－x）＝－x2＋16x，

∴y关于x的函数关系式是

y＝－x2＋16x；（3分）

（2）由

（1）知y＝－x2＋16x，

当y＝60时，－x2＋16x＝60，

即（x－6）（x－10）＝0，

解得x1＝6，x2＝10，

即当x是6m或10m时，围成的养鸡场面积为60m2；（5分）

（3）不能围成面积为70m2的养鸡场．（6分）

理由如下：

由

（1）知，y＝－x2＋16x，

当y＝70时，－x2＋16x＝70，

即x2－16x＋70＝0，（8分）

∵b2－4ac＝（－16）2－4×1×70

＝－24＜0，

∴该方程无解；

即不能围成面积为70m2的养鸡场．（10分）

6.解：

（1）设剪成的较短的一段为xcm，较长的一段就为（40－x）cm，由题意得：

2＋（

）2＝58，

解得x1＝12，x2＝28，

当x＝12时，较长的为40－12＝28cm，

当x＝28时，较长的为40－28＝12＜28（舍去），

∴较短的一段为12cm，较长的一段为28cm；

（2）设剪成的较短的一段为mcm，较长的一段就为（40－m）cm，由题意得：

（

）2＋（

）2＝48，

变形为：

m2－40m＋416＝0，

∵b2－4ac＝（－40）2－4×416

＝－64＜0，

∴原方程无实数根，

∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.

7.解：

（1）∵二次函数y＝－

x2＋bx＋c过A（0，8）、B（－4，0）两点，

∴

，

解得

，

∴二次函数的解析式为

y＝－

x2＋x＋8，

当y＝0时，解得x1＝－4，x2＝8，

∴C点坐标为（8，0）；

（2）①如解图，连接DF、OF，设F（m，－

m2＋m＋8），

　第7题解图

∵S四边形OCFD＝S△CDF＋S△OCD＝S△ODF＋S△OCF，

∴S△CDF＝S△ODF＋S△OCF－S△OCD，

＝

×4×m＋

×8×（－

m2＋m＋8）－

×8×4

＝2m－m2＋4m＋32－16

＝－m2＋6m＋16

＝－（m－3）2＋25，

∴当m＝3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，

∵四边形CDEF为平行四边形，

∴S四边形CDEF＝2S△CDF＝50，

∴S的最大值为50；

②18.

【解法提示】∵四边形CDEF为平行四边形，

∴CD∥EF，CD＝EF，

∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，

∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（m－8，－

m2＋m＋12），

∵E（m－8，－

m2＋m＋12）在抛物线上，

∴－

（m－8）2＋（m－8）＋8

＝－

m2＋m＋12，

解得m＝7，

当m＝7时，S△CDF＝－（7－3）2＋25＝9，

∴此时S四边形CDEF＝2S△CDF＝18.

8.

（1）证明：

y＝a（x－m）2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am.

∵当a≠0时，[－（2am＋a）]2－4a（am2＋am）＝a2>0.

∴方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根，

∴不论a与m为何值且a≠0时，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（3分）

（2）解：

①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－

）2－

，

∴点C的坐标为（

，－

）．

当y＝0时，a（x－m）2－a（x－m）＝0，解得x1＝m，x2＝m＋1，

∴AB＝1.

当△ABC的面积等于1时，有

×1×|－

|＝1，

∴

×1×（－

）＝1，或

×1×

＝1，

∴a＝－8或a＝8；（6分）

②当x＝0时，y＝am2＋am，所以点D的坐标为（0，am2＋am），

当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，

×1×|－

|＝

×1×|am2＋am|；

即|

|＝|am2＋am|，

∵a≠0，

∴

＝|m2＋m|，

∴m2＋m＝±

，

即m2＋m＋

＝0或m2＋m－

＝0，

∴m＝－

或m＝

或m＝

.（9分）

9.解：

（1）由题意得N的函数表达式为y＝－（x－2）2＋9；（3分）

（2）∵点P的坐标为（m，n），点A为（－1，0），点B为（1，0），

∴PA2＋PB2＝（m＋1）2＋（n－0）2＋（m－1）2＋（n－0）2＝m2＋2m＋1＋n2＋m2－2m＋1＋n2＝2m2＋2n2＋2＝2（m2＋n2）＋2＝2OP2＋2，

∴当PA2＋PB2最大时，要满足OP最大，即满足直线OP经过点C，（5分）

又∵点P（m,n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，

∴CP＝1，

∵OC＝

＝

，

∴OP＝

＋1，

∴PA2＋PB2＝2OP2＋2＝2（

＋1）2＋2＝38＋4

；（7分）

（3）由

得两二次函数交点坐标为（－1，0），（3，8）．

两曲线围成的封闭图形如解图所示，

第9题解图

纵坐标的取值范围为：

－1≤y≤9，横坐标的取值范围－1≤x≤3，

∴M与N所围成封闭图形内（包括边界）的整点有：

（－1，0），（0，－1），（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（0，5），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，8）共25个．（10分）

10.解：

（1）将点A（－3，0）、点B（1，0）坐标代入y＝ax2＋bx－3中可得：

，

解得

；

（2）由

（1）知抛物线的解析式为

y＝x2＋2x－3，动直线y＝t，联立两个解析式可得：

x2＋2x－3＝t，即x2＋2x－（3＋t）＝0.

∵动直线y＝t（t为常数）与抛物线交于不同的两点，

∴b2－4ac＝4＋4（3＋t）＞0，

解得t＞－4；

（3）∵y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，

当x＝0时，y＝－3，

∴C（0，－3）．

设点Q的坐标为（m，t），则点P的坐标为（－2－m，t），

如解图，设PQ与y轴交于点D，

第10题解图

则CD＝t＋3，DQ＝m，DP＝m＋2，

∵∠PCQ＝∠PCD＋∠QCD＝90°，

∠DPC＋∠PCD＝90°，

∴∠QCD＝∠DPC，

又∵∠PDC＝∠QDC＝90°，

∴△QCD∽△CPD，

∴

＝

，

即

＝

，

整理得：

t2＋6t＋9＝m2＋2m，

∵Q＝（m，t）在抛物线上，

∴t＝m2＋2m－3，

∴m2＋2m＝t＋3，

∴t2＋6t＋9＝t＋3，

化简得t2＋5t＋6＝0，

解得t＝－2或t＝－3，

当t＝－3时，动直线y＝t经过点C，故不合题意，舍去，∴t＝－2.