高考总复习数列第七章 72Word文件下载.docx

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所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，

而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，

所以BD1∥平面ACE.

题组三　易错自纠

4．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是（　　）

A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2

C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α

答案　A

解析　对于A，由m∥l1，m⊂α，l1⊄α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．

5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.

6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：

①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；

②α∥γ，β∥γ；

③α⊥γ，β⊥γ；

④a⊥α，b⊥β，a∥b.

其中能推出α∥β的条件是______．（填上所有正确的序号）

答案　②④

解析　在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；

由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；

在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足.

直线与平面平行的判定与性质

命题点1　直线与平面平行的判定

例1　（2019·

四川省名校联盟模拟）如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求证：

BF∥平面CDE.

证明　方法一　∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，

∵AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE；

又AF∥ED，∵AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE，

∴AF∥平面CDE；

∵AF∩AB＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，

∴平面ABF∥平面CDE，

又BF⊂平面ABF，∴BF∥平面CDE.

方法二　如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连结NC，NF，

∵AF∥DN，且AF＝DN，

∴四边形ADNF为平行四边形，

∴AD∥FN，且AD＝FN，

又四边形ABCD为矩形，AD∥BC且AD＝BC，∴FN∥BC，且FN＝BC，

∴四边形BCNF为平行四边形，

∴BF∥NC，∵BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE，

∴BF∥平面CDE.

命题点2　直线与平面平行的性质

例2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：

PA∥GH.

证明　如图所示，连结AC交BD于点O，连结MO，

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以O是AC的中点，

又M是PC的中点，所以AP∥OM.

又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，

所以PA∥平面BMD.

又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，

且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH.

思维升华　判断或证明线面平行的常用方法

（1）利用线面平行的定义（无公共点）．

（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）．

（3）利用面面平行的性质（α∥β，a⊂α⇒a∥β）．

（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．

跟踪训练1　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.

（1）证明：

EF∥平面PDC；

（2）求点F到平面PDC的距离．

（1）证明　取PC的中点M，连结DM，MF，

∵M，F分别是PC，PB的中点，

∴MF∥CB，MF＝

CB，

∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，

∴DE∥CB，DE＝

∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，

∴EF∥DM，

∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，

∴EF∥平面PDC.

（2）解　∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，

在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝

，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

又CD⊥AD且PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，

∴S△PCD＝

×

1＝

，连结EP，EC，

∵VE－PDC＝VC－PDE，

设E到平面PCD的距离为h，

则

h×

＝

1×

1，

∴h＝

，∴F到平面PDC的距离为

.

平面与平面平行的判定与性质

例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

证明　

（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，

∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

（2）∵E，F分别是AB，AC的中点，

∴EF∥BC.

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB，

∴A1G∥EB，A1G＝EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.

又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求

的值．

解　连结A1B，AB1，交于点O，连结OD1.

由平面BC1D∥平面AB1D1，

且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，

所以BC1∥D1O，则

＝1.

同理，AD1∥C1D，

又AD∥C1D1，

所以四边形ADC1D1是平行四边形，

所以AD＝D1C1，又AC＝A1C1，

所以

，所以

＝1，即

思维升华　证明面面平行的方法

（1）面面平行的定义．

（2）面面平行的判定定理．

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．

（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

跟踪训练2　（2019·

南昌模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°

，∠BAC＝∠CAD＝60°

，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．

（1）求证：

平面CMN∥平面PAB；

（2）求三棱锥P－ABM的体积．

（1）证明　∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，

又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴MN∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°

，CN＝AN，

∴∠ACN＝60°

又∠BAC＝60°

，∴CN∥AB.

∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.

又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，

∴平面CMN∥平面PAB.

（2）解　由

（1）知，平面CMN∥平面PAB，

∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．

∵AB＝1，∠ABC＝90°

，∠BAC＝60°

，∴BC＝

∴三棱锥P－ABM的体积V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝

2＝

平行关系的综合应用

例4　如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；

（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．

（1）证明　∵四边形EFGH为平行四边形，

∴EF∥HG.

∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，

∴EF∥平面ABD.

又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，

∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.

（2）解　设EF＝x（0<

x<

4），

∵EF∥AB，FG∥CD，∴

＝1－

，∴FG＝6－

x.

∵四边形EFGH为平行四边形，

∴四边形EFGH的周长l＝2

＝12－x.

又∵0<

4，∴8<

l<

12，

即四边形EFGH周长的取值范围是（8,12）．

思维升华　利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．

跟踪训练3　如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.

EF∥平面β；

（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°

，求EF的长．

（1）证明　①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，知AC∥BD.

∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.

又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.

②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝DH，且线段DH＝AC.

∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，

∴四边形ACDH是平行四边形．

在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连结EG，FG，BH，则AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH.

∴GF∥HD，EG∥BH.

又EG，GF⊄平面β，BH，HD⊂平面β，

∴EG∥平面β，GF∥平面β，

又EG∩GF＝G，EG，GF⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面β.

又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.

（2）解　如图所示，连结AD，取AD的中点M，连结ME，MF.

∵E，F分别为AB，CD的中点，

∴ME∥BD，MF∥AC，

且ME＝

BD＝3，MF＝

AC＝2.

∴∠EMF或其补角为AC与BD所成的角，

∴∠EMF＝60°

或120°

∴在△EFM中，由余弦定理得

EF＝

即EF＝

或EF＝

1．下列命题中正确的是（　　）

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

解析　A中，a可以在过b的平面内；

B中，a与α内的直线也可能异面；

C中，两平面可相交；

D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．

2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

解析　A项，α，β可能相交，故错误；

B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；

C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；

D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．

3．（2019·

合肥质检）已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）

A．若a∥b，b⊂α，则a∥α

B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β

C．若α∥β，a∥α，则a∥β

D．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c

解析　若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确；

若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确；

若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确；

如图，由a∥b可得b∥α，又b⊂γ，α∩γ＝c，所以b∥c，故D正确．

4．（2020·

宿迁模拟）如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是（　　）

A．异面B．平行

C．相交D．以上均有可能

答案　B

解析　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.

∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，

∴A1B1∥平面ABC.

∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，

∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.

5.（2019·

福州检测）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是（　　）

A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFG

C．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG

解析　过点E，F，G的截面如图所示（H，I分别为AA1，BC的中点），

∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，

∴A1B∥平面EFG.故选B.

6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）

解析　A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.

∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，

∴直线AB与平面MNQ相交；

B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，

∴AB∥MQ，

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；

C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，

D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，

∴AB∥NQ，

又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，

∴AB∥平面MNQ.

故选A.

7．（多选）下列四个命题中正确的是（　　）

A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行

B．过直线外一点有无数个平面与这条直线平行

C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行

D．过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行

答案　BC

解析　A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，故A错误；

B．过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，

过这条直线有无数个平面与已知直线平行，故B正确；

C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线在同一平面内，故C正确；

D．过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行，当此点在其中一条直线上时平面最多只能与另一条平行，

故D错误．

故选BC.

8．（多选）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是（　　）

A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面BC1D1

C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D1

答案　AC

解析　∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，

∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，

∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；

∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，

∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；

∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，

∴FG∥平面BC1D1，故C正确；

∵EF与平面BC1D1相交，

∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．

故选AC.

9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

答案　

解析　由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其面积为

（

＋2

）×

10.如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______

时，就有MN∥平面B1BDD1.（注：

请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

答案　点M在线段FH上（或点M与点H重合）

解析　连结HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，

∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，

则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.

11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：

（1）BF∥HD1；

（2）EG∥平面BB1D1D；

（3）平面BDF∥平面B1D1H.

证明　

（1）如图所示，取BB1的中点M，连结MH，MC1，

易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.

又易证得MC1∥BF，∴BF∥HD1.

（2）取BD的中点O，连结EO，D1O，

则OE∥DC，且OE＝

DC，

又D1G∥DC且D1G＝

DC，∴OE∥D1G且OE＝D1G，

∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.

又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，

∴EG∥平面BB1D1D.

（3）由

（1）知BF∥HD1，

∵BF⊄平面B1D1H，HD1⊂平面B1D1H，

∴BF∥平面B1D1H，

又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1H，

又BD∩BF＝B，BD，BF⊂平面BDF，

∴平面BDF∥平面B1D1H.

12.（2020·

烟台模拟）如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°

平面BCE∥平面ADF；

（2）若平面ABCD⊥平面AEBF，AF＝1，BC＝2，求三棱锥A－CEF的体积．

（1）证明　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，

又BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF.

∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°

∴∠BAF＝∠ABE＝45°

，∴AF∥BE，

又BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF，

∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，

∴平面BCE∥平面ADF.

（2）解　∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC⊂平面ABCD，

平面ABCD∩平面AEBF＝AB，

∴BC⊥平面AEBF，

在等腰Rt△ABF中，∵AF＝1，∴AB＝

∴AE＝AB＝

∴S△AEF＝

AF·

AE·

sin135°

∴V三棱锥A－CEF＝V三棱锥C－AEF＝

S△AEF·

BC＝

13.（2019·

安阳模拟）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，B1S＝

，则AT＝________.

解析　设AT＝x，则A1T＝1－x，

由面面平行的性质可知PO∥SR，TO∥QR，TS∥PQ，

∴△DOP∽△B1RS，

∵DP＝OD＝1，∴B1S＝B1R＝

∴A1S＝C1R＝

由△ATO∽△C1QR，可得

，

即

，故C1Q＝

由△A1TS∽△CQP，可得

，解得x＝

14.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．

平面BDM∥平面EFC；

（2）若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．

（1）证明　如图，设AC与BD交于点N，

则N为AC的中点，连结MN，

又M为棱AE的中点，∴MN∥EC.

∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，

∴MN∥平面EFC.

∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF∥DE且BF＝DE，

∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.

∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC.

又MN∩BD＝N，MN，BD⊂平面BDM，