学年新教材高中数学第五章三角函数511任意角学案新人教A版必修第一册.docx
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学年新教材高中数学第五章三角函数511任意角学案新人教A版必修第一册
5．1.1 任意角
1．了解任意角的概念及角的分类．
2．理解象限角的概念．
3．理解终边相同的角的概念，并能熟练写出终边相同的角的集合表示．
1．任意角
（1）角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（2）角的表示
如图，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，射线OA，OP分别是角α的始边和终边．
“角α”或“∠α”可以简记成“α”．
（3）角的分类
（4）相等角与相反角
①设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
③设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.
④角的减法可以转化为角的加法．
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
温馨提示：
对终边相同的角的理解
（1）α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
（2）k·360°与α中间用“＋”连接，如k·360°－α可理解成k·360°＋（－α）．
1．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？
[答案] 不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°
2．初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？
[答案] 不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角
3．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）当角的始边和终边确定后，这个角就确定了．（ ）
（2）－30°是第四象限角．（ ）
（3）钝角是第二象限的角．（ ）
（4）终边相同的角一定相等．（ ）
（5）第一象限的角是锐角．（ ）
[答案]
（1）×
（2）√ （3）√ （4）× （5）×
题型一任意角的概念
【典例1】 下列命题正确的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[思路导引] 对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小．
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．
[答案] C
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：
判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
[针对训练]
1．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．
[解析] 由题意可知，时针按逆时针方向转了10×
＝5°，分针按逆时针方向转了10×
＝60°.
[答案] 5° 60°
题型二终边相同的角的表示
【典例2】 已知角α＝2020°.
（1）把α改写成k·360°＋β（k∈Z,0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
[思路导引] 解题关键是理解与角α终边相同的角的表示形式．
[解]
（1）由2020°除以360°，得商为5，余数为220°.
∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.
又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．
（2）与2020°终边相同的角为
k·360°＋2020°（k∈Z）．
令－360°≤k·360°＋2020°<720°（k∈Z），
解得－6
≤k<－3
（k∈Z）．
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°.
（1）求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法
先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
（2）求终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在0°～360°范围内相应的角；
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁．
[针对训练]
2．如图所示，求终边落在直线y＝
x上的角的集合．
[解] 终边落在射线y＝
x（x>0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝
x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边落在直线y＝
x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.
题型三象限角的判断
【典例3】 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
（1）－75°；
（2）855°；（3）－510°.
[思路导引] 作出图形，根据象限角的定义确定．
[解] 作出各角，其对应的终边如图所示．
（1）由图①可知－75°是第四象限角．
（2）由图②可知855°是第二象限角．
（3）由图③可知－510°是第三象限角．
象限角的判断方法
（1）根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角；
（2）根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．
[针对训练]
3．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
[解析] 由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°（k∈Z），则180°－（180°＋k·360°）<180°－α<180°－（90°＋k·360°）（k∈Z），即－k·360°<180°－α<90°－k·360°（k∈Z），所以180°－α是第一象限的角．
[答案] 一
题型四角
，nα（n∈N*）所在象限的确定
【典例4】 若α是第二象限角，则
是第几象限的角？
[思路导引] 已知角α是第几象限角，判断
所在象限，主要方法是解不等式并对k进行分类讨论，考查角的终边位置．
[解] ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°（k∈Z），
∴45°＋k·180°<
<90°＋k·180°（k∈Z）．
解法一：
①当k＝2n（n∈Z）时，
45°＋n·360°<
<90°＋n·360°（n∈Z），即
是第一象限角；
②当k＝2n＋1（n∈Z）时，225°＋n·360°<
<270°＋n·360°（n∈Z），即
是第三象限角．
故
是第一或第三象限角．
解法二：
∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°（k∈Z）表示终边为y轴的角，
∴45°＋k·180°<
<90°＋k·180°（k∈Z）表示如图中阴影部分图形．即
是第一或第三象限角．
[变式]
（1）若本例条件不变，求角2α的终边的位置．
（2）若本例中的α改为第一象限角，则2α，
分别是第几象限角？
[解]
（1）∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
（2）因为α是第一象限角，
所以k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z.
所以2k·360°<2α<180°＋2k·360°，k∈Z.
所以2α是第一或第二象限角，或是终边落在y轴的正半轴上的角．
同理，k·180°<
<45°＋k·180°，k∈Z.
当k为偶数时，
为第一象限角，
当k为奇数时，
为第三象限角．
分角、倍角所在象限的判定思路
（1）已知角α终边所在的象限，确定
终边所在的象限用分类讨论法，要对k的取值分以下几种情况进行讨论：
k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．
（2）已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．
[针对训练]
4．已知α是第一象限角，则角
的终边可能落在________．（填写所有正确的序号）
①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限
[解析] ∵α是第一象限角，
∴k·360°<α∴
·360°<
<
·360°＋30°，k∈Z.
当k＝3m，m∈Z时，m·360°<
∴角
的终边落在第一象限．
当k＝3m＋1，m∈Z时，m·360°＋120°<
∴角
的终边落在第二象限．
当k＝3m＋2，m∈Z时，m·360°＋240°<
∴角
的终边落在第三象限，故选①②③.
[答案] ①②③
课堂归纳小结
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．把任意角化为α＋k·360°（k∈Z，且0°≤α<360°）的形
式，关键是确定k，可以用观察法（α的绝对值较小），也可以用除法．
3．已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的一个角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求.
1．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边与始边重合的角是零角
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
[解析] A错，若一内角为90°，则不属于任何象限；B错，钝角一定是第二象限角；C错，若角的终边作了旋转，则不是零角；D对．
[答案] D
2．－215°是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
[解析] 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，故－215°也是第二象限角，选B.
[答案] B
3．已知α为第三象限角，则
所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
[解析] 由于k·360°＋180°<α得
·360°＋90°<
<
·360°＋135°，k∈Z.
当k为偶数时，
为第二象限角；
当k为奇数时，
为第四象限角．
[答案] D
4．将－885°化为α＋k·360°（0°≤α<360°，k∈Z）的形式是________．
[解析] 因为－885°÷360°＝－3…195°，且0°≤α<360°，所以k＝－3，α＝195°，故－885°＝195°＋（－3）·360°.
[答案] 195°＋（－3）·360°
5．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，
（1）有几种终边不相同的角？
（2）若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？
[解]
（1）在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．
（2）令－360°.
又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，
∴满足条件的角共有8个．
课后作业（三十七）
复习巩固
一、选择题
1．下列是第三象限角的是（ ）
A．－110°B．－210°
C．80°D．－13°
[解析] －110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A.
[答案] A
2．与600°角终边相同的角可表示为（ ）
A．k·360°＋220°（k∈Z）
B．k·360°＋240°（k∈Z）
C．k·360°＋60°（k∈Z）
D．k·360°＋260°（k∈Z）
[解析] 与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝（n＋1）·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.
[答案] B
3．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有（ ）
A．BCAB．BAC
C．D（A∩C）D．C∩D＝B
[解析] 显然第一象限角不是都小于90°，且小于90°的角不都在第一象限，故A，B错；0°不属于任何象限，故C错；锐角为小于90°而大于0°的角，∴C∩D＝B，选D.
[答案] D
4．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是（ ）
A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
[解析] 因为直线y＝－x为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k·360°－45°＝2k·180°－45°，k∈Z；终边落到第二象限可表示为k·360°－180°－45°＝（2k－1）·180°－45°，k∈Z，综上可得终边在直线y＝－x上的所有角的集合为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．
[答案] D
5．给出下列四个命题：
①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] ①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°，因为115°为第二象限角，所以475°也为第二象限角，正确；④中－315°＝－360°＋45°，因为45°为第一象限角，所以－315°也为第一象限角，正确．
[答案] D
二、填空题
6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
[解析] 顺时针方向旋转3周转了－（3×360°）＝－1080°，
又50°＋（－1080°）＝－1030°，故所得的角为－1030°.
[答案] －1030°
7．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是________．
[解析] 设与角α终边相同的角为β，
则β＝－3000°＋k·360°，k∈Z，
又因为β为最小正角，故取k＝9，
则β＝－3000°＋360°×9＝240°.
[答案] 240°
8．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是______________________．
[解析] 因为α与β的终边在一条直线上，所以α与β相差180°的整数倍．
[答案] α＝β＋k·180°，k∈Z
三、解答题
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
（1）－120°；
（2）660°；（3）－950°08′.
[解]
（1）∵－120°＝240°－360°，
∴在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角．
（2）∵660°＝300°＋360°，
∴在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限的角．
（3）∵－950°08′＝129°52′－3×360°，
∴在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角．
10．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
（1）终边落在射线OB上；
（2）终边落在直线OA上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
[解]
（1）终边落在射线OB上的角的集合为
S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
（2）终边落在直线OA上的角的集合为
S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．
（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为
S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．
综合运用
11．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在（ ）
A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴
C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴
[解析] ∵角α，β终边相同，∴α＝k·360°＋β（k∈Z），∴α－β＝k·360°（k∈Z），故α－β的终边在x轴的非负半轴上．
[答案] A
12．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是（ ）
A．第一象限角B．第一、二象限角
C．第一、三象限角D．第一、四角限角
[解析] 由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°（k∈Z），故k·180°<α<90°＋k·180°（k∈Z），按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n（n∈Z）时，n·360°<α<90°＋n·360°（n∈Z），∴α在第一象限；当k＝2n＋1（n∈Z）时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°（n∈Z），∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．
[答案] C
13．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称，则角α＝____________________.
[解析] －690°＝－720°＋30°，则角α的终边与30°角的终边关于y轴对称，而与30°角的终边关于y轴对称的角可取150°，故α＝k·360°＋150°，k∈Z.
[答案] k·360°＋150°，k∈Z
14．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.
[解析] ∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.
又∵－990°<α<－630°，
∴－990°即－1110°当k＝－3时，α＝（－3）·360°＋120°＝－960°.
[答案] －960°
15．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
[解] 由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴
，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
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