人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线《51相交线》同步练习一课一练4课时含答案.docx

人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线《51相交线》同步练习一课一练4课时含答案.docx

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人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线《51相交线》同步练习一课一练4课时含答案

人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线《5.1相交线》同步练习（4课时含答案）

第五章　相交线与平行线

5．1　相交线

5.1.1　相交线

关键问答

①邻补角的特征是什么？

②对顶角的特征是什么？

③在两直线相交的图中，常用的求角的推理依据是什么？

1．①下列选项中，∠1与∠2是邻补角的是（　　）

图5－1－1

2．②下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）

图5－1－2

3．③如图5－1－3，直线AB与CD相交于点O，∠AOC∶∠AOD＝1∶2.求∠BOD的

度数．

图5－1－3

命题点1　邻补角的识别与计算　[热度：

86%]

4．④如图5－1－4所示，∠1的邻补角是（　　）

图5－1－4

A．∠BOCB．∠BOE或∠AOF

C．∠AOFD．∠BOE或∠AOF或∠DOF＋∠BOC

易错警示

④邻补角是有一定位置关系和数量关系的两个角．

5．⑤下列说法正确的是（　　）

A．直角没有邻补角

B．互补的两个角一定是邻补角

C．一个角的邻补角大于这个角

D．一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角

易错警示

⑤互为邻补角的两个角一定互补，而互补的两个角不一定是邻补角．

6．⑥若∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB比∠BOC大18°，则∠AOB的度数是（　　）

A．54°B．81°

C．99°D．162°

方法点拨

⑥本题可以通过列一元一次方程解决．

7.如图5－1－5，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝

∠2，则∠2＝________°.

图5－1－5

命题点2　对顶角的识别与计算　[热度：

88%]

8.⑦如图5－1－6，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（　　）

图5－1－6

A．90°B．150°

C．180°D．210°

解题突破

⑦本题利用“对顶角相等”把三个角的和转化成一个平角．

9．⑧如图5－1－7，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝3x°，∠BOC＝2x°＋40°，则∠BOC＝________°.

图5－1－7

易错警示

⑧解出x后，还需求2x＋40.

10．图5－1－8是一个对顶角量角器，用它测量角的原理是______________．

图5－1－8

命题点3　邻补角与对顶角的综合　[热度：

90%]

11.⑨如图5－1－9，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOC＝130°，

∠BOF＝140°，则∠EOF的度数为（　　）

图5－1－9

A．95°B．65°

C．50°D．40°

解题突破

⑨求∠EOF的度数可以转化成求两个角的和或差，再利用对顶角相等或邻补角互补进行求解.

12．如图5－1－10，∠AOC和∠BOC互为邻补角，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，则∠DOE＝________°.

图5－1－10

13.⑩如图5－1－11，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.若∠AOC＝28°，则∠EOF＝__________°.

图5－1－11

模型建立

⑩互为邻补角的两个角的平分线的夹角是直角.

14．如图5－1－12，直线AB，CD相交于点O，∠EOB＝90°，OC平分∠AOF，∠AOF＝40°，求∠EOD的度数．

图5－1－12

15.⑪已知：

如图5－1－13，直线AB，CD相交于点O，∠1＝40°，∠BOE与∠BOC互补，OM平分∠BOE，且∠CON∶∠NOM＝2∶3.求∠COM和∠NOE的度数．

图5－1－13

方法点拨

⑪求角时，常用到：

1．将未知角转化成两个已知角的和或差；

2．对顶角相等或邻补角互补；

3．等角（或同角）的余角（或补角）相等；

4．角平分线的性质；

5．有关比例问题常用方程解决.

16．图5－1－14是某墙角的示意图，为了测量底面内角∠ABC的大小，采用了在院外画线，测量后得到其大小的方法．请你设计两种测量方案．

图5－1－14

17.⑫观察图5－1－15中的图形，寻找对顶角（不含平角）：

（1）两条直线相交（如图①），图中共有________对对顶角；

（2）三条直线相交于一点（如图②），图中共有________对对顶角；

（3）四条直线相交于一点（如图③），图中共有________对对顶角；

（4）研究

（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可构成________对对顶角；

（5）若有2019条直线相交于一点，则可构成________对对顶角．

图5－1－15

解题突破

⑫本题可通过平移的方法，把n条直线相交于一点构成的对顶角问题转化为n条直线相交最多有多少个交点的问题（即n条直线两两相交）．因为每个交点处有两对对顶角，所以对顶角的对数是交点个数的2倍.

18.⑬两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（如图5－1－16）．现在平面上有若干条直线，它们两两相交并且“夹角”只能是30°，60°或90°，问：

平面上最多有多少条直线？

当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是多少？

图5－1－16

解题突破

⑬将若干条直线两两相交的图形先转化成若干条直线交于一点的图形，按“夹角”定义看能画出多少条直线.

典题讲评与答案详析

1．D　2.C

3．解：

由邻补角的性质，得∠AOC＋∠AOD＝180°.

由∠AOC∶∠AOD＝1∶2，得∠AOD＝2∠AOC，∠AOC＋2∠AOC＝180°，解得∠AOC＝60°.由对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝60°.

4．B　[解析]∠1是直线AB，EF相交于点O形成的角，所以它的邻补角与直线CD无关，即它的邻补角是∠BOE或∠AOF.

5．D　[解析]把直角的一边反向延长，可得这个直角的邻补角．互补的两个角不一定是邻补角，但邻补角一定互补．若一个角是锐角，则它的邻补角是钝角且大于这个锐角；若一个角是直角，则它的邻补角等于它本身；若一个角是钝角，则它的邻补角是锐角且小于这个钝角．

6．C　[解析]设∠AOB＝x°，则∠BOC＝180°－x°.又因为∠AOB比∠BOC大18°，所以∠AOB－∠BOC＝18°，即x°－（180°－x°）＝18°，解得x＝99.

7．140　[解析]由题意，得∠2＋

∠2＝180°，解得∠2＝140°.

8．C　[解析]由对顶角相等，可知∠1＋∠2＋∠3正好是一个平角的度数．

9．120　[解析]由对顶角相等，可得2x＋40＝3x，解得x＝40，所以∠BOC＝120°.

10．对顶角相等

11．B　[解析]因为∠BOF＝140°，所以∠AOF＝180°－140°＝40°.

因为∠BOC＝130°，所以∠AOC＝50°.

因为OE是∠AOC的平分线，

所以∠AOE＝∠EOC＝25°，

所以∠EOF＝∠AOE＋∠AOF＝65°.

12．90　[解析]因为OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，所以∠COD＝

∠AOC，∠COE＝

∠BOC.因为∠BOC＋∠AOC＝180°，所以∠COE＋∠COD＝

（∠BOC＋∠AOC）＝90°.

13．62　[解析]由∠AOE＋∠BOE＝180°，OF平分∠AOE，∠DOE＝∠BOD，可得∠DOF＝∠COF＝90°.又因为∠AOC＝28°，所以∠BOD＝∠DOE＝∠AOC＝28°，所以∠EOF＝∠AOF＝62°.

14．解：

因为OC平分∠AOF，∠AOF＝40°，

所以∠AOC＝

∠AOF＝20°，所以∠BOD＝90°.

因为∠EOB＝90°，所以∠EOD＝∠EOB－∠BOD＝70°.

15．解：

如图，

因为∠1＝40°，所以∠6＝40°.

因为∠6＋∠BOC＝180°，∠BOE与∠BOC互补，

所以∠6＝∠BOE＝40°，

所以∠BOC＝140°，

所以∠COE＝100°.

因为OM平分∠BOE，所以∠2＝∠3＝20°，

所以∠COM＝120°.

因为∠CON∶∠NOM＝2∶3，

所以∠NOM＝120°×

＝72°，

所以∠NOE＝72°－20°＝52°.

16．解：

方案一：

如图①所示，延长AB，量出∠CBD的度数．由邻补角的定义，可得∠ABC＝180°－∠CBD（也可延长CB）．

方案二：

如图②所示，分别延长AB，CB，量出∠DBE的度数，由对顶角相等，可得∠ABC＝∠DBE.

17．

（1）2　

（2）6　（3）12　（4）n（n－1）　（5）4074342

[解析]图①中有两条直线，共有2对对顶角；图②中有三条直线，我们可以把直线通过平移，得到右图，三条直线相交最多有3个交点，故共有6对对顶角；以此类推，图③中有四条直线相交，最多有

＝6（个）交点，故共有12对对顶角……n条直线相交，最多有

个交点，故共有n（n－1）对对顶角．故若有2019条直线相交于一点，则可构成2019×2018＝4074342（对）对顶角．

18．解：

因为“夹角”只能是30°，60°或90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证每两条直线的“夹角”为30°的倍数，即为30°，60°或90°.

因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现两条直线平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转了5次，5×30°＝150°，若再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°＝180°，这样第7条直线就与第1条直线平行或重合．如图：

所以平面上最多有六条直线．

第2条至第6条直线与第1条直线的“夹角”的和是30°＋60°＋90°＋60°＋30°＝270°，

第3条至第6条直线与第2条直线的“夹角”的和是270°－30°＝240°；

第4条至第6条直线与第3条直线的“夹角”的和是270°－30°－60°＝180°；

第5条和第6条直线与第4条直线的“夹角”的和是60°＋30°＝90°；

第6条直线与第5条直线的“夹角”的和是30°，则270°＋240°＋180°＋90°＋30°＝810°.

即当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是810°.

【关键问答】

①

（1）有公共顶点；

（2）其中一边为公共边，另一边互为反向延长线；（3）两个邻补角的和为180°.

②

（1）有公共顶点；

（2）角的两边分别互为反向延长线；（3）对顶角相等．

③

（1）互为邻补角的两个角的和为180°；

（2）对顶角相等．

5.1.2　垂线

第1课时　垂线

关键问答

①垂直的定义的作用是什么？

②一条直线有多少条垂线？

同一平面内，经过一点画已知直线的垂线，可以画几条？

③利用三角板画已知直线的垂线的步骤是什么？

1．①如图5－1－17，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是（　　）

图5－1－17

A．∠AOD＝90°B．∠AOC＝∠BOC

C．∠BOC＋∠BOD＝180°D．∠AOC＋∠BOD＝180°

2．②如图5－1－18，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是（　　）

图5－1－18

A．两点确定一条直线

B．经过一点有一条直线与已知直线垂直

C．过一点只能作一条直线

D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

3．③已知直线l1和l2，点P在直线l2上，过点P画l1的垂线CD，用三角板画图，下列操作正确的是（　　）

图5－1－19

命题点1垂直的定义[热度：

88%]

4.④下列语句正确的是（　　）

A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直

B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线垂直

C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线垂直

D．两条直线相交成四个角，如果有四对角互补，那么这两条直线垂直

方法点拨

④判定两直线垂直的方法是说明两直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，若未直接给出直角，则需把已知条件进行转化．

5．⑤如图5－1－20所示，直线AB⊥CD于点O，下列说法正确的有（　　）

图5－1－20

①∠AOD＋∠BOC＝180°；②∠AOC＝∠BOD；

③∠AOC＝90°；④∠AOD＝∠AOC.

A．1个B．2个

C．3个D．4个

模型建立

⑤两直线垂直，所得的四个角相等，都等于90°

命题点2　与垂直相关的角的计算　[热度：

94%]

6.⑥如图5－1－21，直线a与b相交于点O，MO⊥a，垂足为O，若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　）

图5－1－21

A．75°B．65°C．60°D．55°

方法点拨

⑥对于求有公共顶点的角的问题，常利用垂直得90°这一条件，通过角平分线的性质、对顶角相等、邻补角的和为180°等，结合已知条件，由已知角来求未知角.

7．如图5－1－22，直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，则∠AOG的度数为（　　）

图5－1－22

A．56°B．59°C．60°D．62°

8.⑦2018·武昌区期末如图5－1－23，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC∶∠COE＝3∶2，则∠AOD＝________°.

图5－1－23

方法点拨

⑦有关比例问题，往往设每份为x，然后建立方程求解.

9．如图5－1－24，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF＝2∠BOE，则∠BOD＝__________°.

图5－1－24

10．如图5－1－25，已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线OF⊥CD于点O，且∠AOF＝25°.求∠BOC与∠EOF的度数．

图5－1－25

命题点3　画垂线　[热度：

90%]

11.⑧过线段外一点画这条线段的垂线，垂足在（　　）

A．这条线段上　B．这条线段的端点上

C．这条线段的延长线上　D．以上都有可能

方法点拨

⑧过一点画线段或射线的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足不一定在线段或射线上，可能在线段的延长线或射线的反向延长线上.

12.⑨已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（　　）

图5－1－26

易错警示

⑨同一题目中，同一字母只能表示同一个点.

13.⑩点P与∠A的位置关系如图5－1－27所示．

图5－1－27

（1）在图①、图②、图③中，以P为顶点作出∠P（0°＜∠P＜180°），使∠P的两边所在的直线分别和∠A的两边垂直．

（2）量一量∠P和∠A的度数，分别写出∠P与∠A的数量关系：

在图①中，∠P＝__________；

在图②中，∠P＝__________；

在图③中，∠P＝__________．

模型建立

⑩一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，则这两个角的数量关系是相等或互补.

14.⑪如图5－1－28，已知O为直线AB上的一点，CD⊥AB于点O，PO⊥OE于点O，OM平分∠COE，点F在OE的反向延长线上．

（1）当OP在∠BOC内，OE在∠BOD内时，如图①所示，直接写出∠POM和∠COF之间的数量关系；

（2）当OP在∠AOC内且OE在∠BOC内时，如图②所示，试问

（1）中∠POM和∠COF之间的数量关系是否发生变化？

并说明理由．

图5－1－28

方法点拨

⑪当OP和OE的位置发生改变后，∠COF和∠BOP的相等关系保持不变，OM平分∠BOP保持不变，所以∠POM和∠COF之间的数量关系也保持不变.

典题讲评与答案详析

1．C　2.D　3.D

4．C　[解析]A项，两条直线相交成四个角，相等的两个角可能是对顶角，这两条直线不一定垂直，故A项错误；

B项，两条直线相交成四个角，相等的两对角可能是对顶角，这两条直线不一定垂直，故B项错误；

C项，两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，可得一对邻补角相等，则必有一角等于90°，所以这两条直线垂直，故C项正确；

D项，两条直线相交成四个角，形成四对邻补角，这两条直线不一定垂直，故D项

错误．

5．D

6．D　[解析]由垂直的定义和平角的定义，可得∠1与∠2互余．

7．B　[解析]由对顶角相等及∠FOD＝28°，可求得∠COE＝28°.由垂直可得∠AOC＝90°，所以∠AOE＝118°.由OG平分∠AOE，可得∠AOG＝59°.

8．126　[解析]因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°.因为∠AOC∶∠COE＝3∶2，所以设∠AOC＝3x，∠COE＝2x，则3x＋2x＝90°，解得x＝18°，故∠AOC＝54°，则∠AOD＝180°－54°＝126°.

9．75　[解析]由垂直的定义，可得∠EOF＝90°.由∠BOF＝2∠BOE，可得∠BOE＝30°.又由∠AOE与∠BOE互为邻补角，可得∠AOE＝150°.由OC平分∠AOE可得∠AOC＝75°.

又由对顶角相等，可得∠BOD＝∠AOC＝75°.

10．解：

因为OF⊥CD，所以∠DOF＝90°.

因为∠AOC＋∠AOF＋∠DOF＝180°，

∠AOF＝25°，所以∠AOC＝65°.

因为∠AOC＋∠BOC＝180°，

所以∠BOC＝115°.

因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，

所以∠AOF＋∠EOF＝90°.

因为∠AOF＝25°，所以∠EOF＝65°.

11．D　12.C

13．解：

（1）如图．

（2）∠A或180°－∠A　∠A或180°－∠A

∠A或180°－∠A

14．解：

（1）∠POM＝

∠COF.

（2）不发生变化．理由：

因为CD⊥AB于点O，

所以∠AOP＋∠COP＝90°.

因为PO⊥OE于点O，

所以∠AOP＋∠AOF＝90°，

所以∠COP＝∠AOF.

又因为∠AOC＝∠COB＝90°，

所以∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，

即∠BOP＝∠COF.

因为∠AOF＝∠BOE，所以∠COP＝∠BOE.

因为OM平分∠COE，所以∠COM＝∠MOE，

所以∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，

所以∠POM＝

∠BOP，

所以∠POM＝

∠COF.

【关键问答】

①既可以判定两直线垂直，又可以得到两直线的夹角是直角．

②一条直线有无数条垂线；同一平面内，经过一点可以画一条已知直线的垂线．

③首先把三角板的一条直角边与已知直线重合，其次沿着已知直线推动三角板，使其另一条直角边经过已知点，最后过这条直角边画直线．

第2课时垂线段最短

关键问答

①将直线外一点与直线上各点连接，所得线段中最短的线段一定是什么线段？

②点到直线的距离是一个几何图形，还是一个正数？

它与垂线段有什么区别？

1．①如图5－1－29，P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是（　　）

图5－1－29

A．PAB．PB

C．PCD．PD

2．②如图5－1－30，OA⊥AB于点A，点O到直线AB的距离是（　　）

图5－1－30

A．线段OAB．线段OA的长度

C．线段OB的长度D．线段AB的长度

命题点1　垂线段最短　[热度：

92%]

3．如图5－1－31，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是（　　）

图5－1－31

A．两点之间线段最短B．点到直线的距离

C．两点确定一条直线D．垂线段最短

4.③如图5－1－32，在铁路旁有一村庄，现要建一火车站，为了使村庄里的人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　）

图5－1－32

A．A点B．B点

C．C点D．D点

解题突破

③选一点建火车站可以转化为确定垂线段的垂足.

5．2018·秦皇岛月考如图5－1－33，已知A，B，C，D是某公园内的四个凉亭，图中的连线是甬道，且∠D＝90°，∠BAC＝90°，若AC＝100米，则下列判断中不正确的是（　　）

图5－1－33

A．甬道AD可能为100米B．甬道CD可能为60米

C．甬道AD可能为80米D．甬道BC可能为140米

6.④如图5－1－34，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E.若DE＝9，AB＝12，不考虑点与点重合的情况，则线段BD的长度的取值范围是____________．

图5－1－34

解题突破

④BD的长既是点B到AC的距离，又是点D到直线BC上一点B的距离．

7．⑤如图5－1－35，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．

图5－1－35

（1）从火车站到码头怎样走最近？

画图并说明理由；

（2）从码头到铁路怎样走最近？

画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近？

画图并说明理由．

方法点拨

⑤最短路线问题往往转化为点与点的距离或点到直线的距离问题.

命题点2　点到直线的距离　[热度：

90%]

8．⑥如图5－1－36，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（　　）

图5－1－36

A．2条　　　B．3条

C．4条　　　D．5条

方法点拨

⑥直角三角形的直角边长能表示点到直线的距离．

9.⑦P为直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA＝5cm，PB＝3cm，PC＝4cm，则点P到直线l的距离（　　）

A．等于4cm　　　B．等于3cm

C．小于3cm　　　D．不大于3cm

模型建立

⑦点到直线的距离小于或等于点与直线上各点所连线段的长.

10．到直线l的距离等于2cm的点有（　　）

A．0个B．1个C．无数个D．无法确定

11．下列说法正确的是（　　）

A．在同一平面内，过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条

B．连接直线外一点和直线上任一点，使这条线段垂直于已知直线

C．作出点P到直线的距离

D．连接直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离

12．⑧如图5－1－37是李晓松同学在运动会跳远比赛中最好的一跳，M，P为双脚留下的痕迹，甲、乙、丙三名同学分别测得PA＝5.52米，PB＝5.37米，MA＝5.60米，那么他的跳远成绩应该为________米．

图5－1－37

解题突破

⑧跳远成绩指的是两个脚印中，离踏板较近的脚的后脚跟到踏板所在直线的距离记录．

13.⑨如图5－1－38，关于如何量出点C到线段AB所在直线的距离，三名同学有不同的做法．

图5－1－38

甲同学：

只要量出线段BC的长度即可；

乙同学：

过点C无法向直线AB作垂线，所以无法量出点C到直线AB的距离；

丙同学：

过点C作直线AB的垂线，垂线和直线AB不相交，所以不能量出点C到直线AB的距离．

你同意以上三名同学的做法吗？

若不同意，请你写出正确的做法．

解题突破

⑨过点C作AB的垂线，垂足落在线段AB的延长线上.

14.⑩如图5－1－39，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

图5－1－39

（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；

（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？

画图并说明理由．

模型建立

⑩到四个点A，B，C，D的距离之和最小的点，是分别连接AD和BC所得的交点，可以用两点之间线段最短