数学分类教学设计.docx

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数学分类教学设计

第10章数学知识的分类教学设计

根据现代认知心理学的观点，知识是主体通过与其环境相互作用而获得的信息及其组织，是客观事物的特征与联系在人脑中的能动反映，是客观事物的主观表征。

储存于人的大脑的是个体知识，储存于人的大脑之外的是人类的知识。

信息加工心理学家安德森从知识获得的心理加工的角度，将个体的知识可分为两类，一类称为陈述性知识（declarativeknowledge），主要用来回答“是什么”的问题；另一类称为程序性知识（procedualknowledge），主要用来回答“怎么办”、“如何做”等问题。

可见，这里的知识概念是广义的，既包括我们日常所说的知识、技能，也包括方法、法则、策略。

数学知识是客观世界的数量关系与空间形式方面的特征在人脑中的能动反映。

经过筛选用来进行教育的数学知识素材，一般包括以下几方面要素：

（１）表达数学事实的陈述性知识，包括数学概念、数学命题（包括公式、性质、定理）等；

（２）表示操作或运演的程序性知识，包括运算法则、步骤、数学方法、认知策略以及各种数学技能等；

（３）两类知识中蕴含的数学思想以及揭示知识内在联系的逻辑方法；

（４）形成基本技能、形成数学能力的数学题；

本章重点剖析数学概念、数学命题、数学问题等三个要素的内容与教学设计.

§10.1数学概念及其教学

人们通过感觉和知觉认识周围个别事物的各种属性，在此基础上，通过分析、比较，抽象概括出反映一类事物的本质属性而形成概念，然后用词加以命名，达到对客观事物的概括的、间接的认识。

所以说，概念是反映事物本质属性的一种思维形式，而数学概念则反映了事物在数量关系、结构关系、空间形式方面的本质属性。

10.1.1数学概念的逻辑知识

任何一个概念都涉及四方面的内容：

概念的属性、例证、名称、定义。

为了更清楚地把握概念，下面分别讨论与此有关的数学概念的逻辑知识。

１、概念的内涵与外延

在逻辑学上，把概念所反映的事物本质属性的总和，叫做这个概念的内涵，概念的内涵是从质的方面来刻画概念的。

例如，“平行四边形”这个概念的内涵，包括对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线相互平分等本质属性。

凡是适合某概念的对象的全体叫做这个概念的外延，外延是从量的方面来反映概念的。

例如，平行四边形的纸片，画在黑板上的平行四边形的图形等，这些特殊的具有平行四边形形状的事物都属于该概念的外延。

如果某对象属于该概念的外延集合，那么，这对象就叫做该概念的肯定例证（positiveinstances）；不属于某概念外延集合的事物，叫做该概念的否定例证（negativeinstances）。

可见，概念的内涵与外延与概念的属性、例证密切相关。

概念的内涵与外延是相互联系、相互制约的。

如果概念的外延确定了，那么外延集合中所有元素的共同属性便是这个概念的内涵；反之，如果已知概念的内涵，那么概念的外延也随之确定.设X是某概念，φ（ｘ）表示个体变元ｘ所具有的本质属性，M（X）表示概念X的外延集合,那么内涵与外延的统一关系，可用数学符号表示为

M（X）=｛x|φ（x）｝。

在一般情况下，如果内涵性质增加，则相应的外延集合缩小，反之亦然。

这种内涵与外延的关系，常被称为“反比规律”.例如，令φ（x）表示“x是平行四边形”的语句，θ（x）表示“ｘ的对角线相等”的语句，那么｛x|φ（x）且θ（x）｝

｛x|φ（x）｝。

这表明“矩形”这个概念的外延集合被“平行四边形”这个概念的外延集合所包含，当然，“矩形”的内涵要比“平行四边形”的内涵丰富。

2、数学概念的分类

按照不同的标准可以对数学概念进行分类。

以数学概念所反映的属性的类别为标准，数学概念可分为以下三类：

（1）反映数学基本元素的概念。

这类概念反映不同层次的数、式、方程、函数、图形等基本的数学元素.比如,整数、有理数、绝对值、分式、根式、一元一次方程、幂函数、三角形、棱柱、椭圆等等。

数学中多数概念均属此类，它们是数学学科中的基本单元,是进行数学思维的细胞。

（2）反映关系的概念。

这类概念反映两个或两个以上数学对象之间的某种联系.比如,互为相反数、全等、相似、整除、平行、垂直、互为反函数、等价、包含等等。

（3）反映对象特性的概念。

这类概念反映数学元素所具有的某种性质。

比如，对称、周期性、单调性、奇偶性、连续性、可导性等等。

后两类概念在更深的层次上揭示了数学基本元素的本质属性和相互关系.

前苏联心理学家维果斯基以概念形成的不同心理过程为标准，将概念分为两类：

日常概念与科学概念。

日常概念又称为前科学概念，它是人们在日常生活中，通过辨别不同事物，逐渐积累经验而形成的概念。

比如，学前儿童通过与外部世界的接触，形成“动物”、“学校”“三角形”、“苹果”“可爱”等概念。

而科学概念与此不同，它是通过下定义的方式揭示概念的内涵或外延而形成的概念。

3、概念间的逻辑关系

概念一般是有层次结构的。

为了了解概念的层次结构，我们运用它们的外延集合来比较两个概念X1、X2之间的关系。

为方便起见,设这两个概念的外延集合分别为M（X1）、M（X2），且M（X1）≠φ,M（X2）≠φ，则两个概念X1、X2之间的关系有下列几种：

（1）M（X1）

M（X2）。

即一个概念的外延集合为另一个概念的外延集合的真子集，那么这两个概念间的关系叫做属种关系，其中，X2叫做X1的属概念（或称为上位概念），X1叫做X2的种概念（或称为下位概念）。

例如，矩形是平行四边形的种概念，平行四边形是矩形的属概念。

一个概念的所有属概念中，如果它们的外延集合一个包含一个，那么，外延最小的叫做它的

最邻近的属概念。

例如，由于M（正方形）

M（菱形）

M（平行四边形），所以，“菱形”是“正方形”的最邻近的属概念。

必须注意，最邻近的属概念不一定是唯一的。

由于M（正方形）

M（矩形）

（平行四边形），所以，矩形也是正方形的最邻近的属概念。

（3）M（X1）∩M（X2）≠φ且不相互包含。

此时称这两个概念具有交叉关系。

例如，“质数”与“偶数”，“正实数”与“整数”之间的关系是交叉关系

（4）M（X1）∩M（X2）=φ。

.即两个概念的外延完全不同，那么这两个概念的关系称为不相容的关系.不相容关系有两种，如果两个概念的外延集合的并集是某一属概念的外延集合的真子集时，这两个概念间的关系（相对于这一属概念来说）称为反对关系，这两个概念叫做反对概念；如果两概念的外延集合的并集等于某一属概念的外延集合时，这两个概念间的关系（相对于这一属概念）称为矛盾关系，这两个概念叫做矛盾概念.例如，“正实数”与“负实数”相对于“实数”是两个反对概念；“有理数”与“无理数”相对于“实数”来说，是两个矛盾概念。

4、概念的名称（符号）和定义

概念是看不见摸不着的思维产物，要表达、传递概念，必须借助于有声有形的语言.。

概念的定义和名称（符号），就是概念与语言紧密相连的主要体现，是表述概念的物质外壳。

在数学中,我们常见到这样的表述：

“满足…的…叫做×××,记为×××”,其中“叫做×××”即为概念的名称,“记为×××”就是相应的数学符号.

概念的名称（符号）是表示概念的语词，概念的名称一旦确定，便成为概念的代名词,可使思维过程简缩,有时也可唤起概念.当我们掌握了平行四边形概念之后,一旦听到、看到它的名称或符号后,便会立即回忆起它的所有属性.

随着概念的形成,人们常常把名称（符号）与概念本身紧密地联系在一起,有时误认为名称（符号）就是概念本身。

事实上,概念是思维产物,而用语词表达的名称（符号），是看得见、听得到的物理对象。

概念是名称的思想内容，名称（符号）是概念的表述形式。

名称之所以能够表示某概念,是因为人们头脑中已有了相应的概念。

例如,“函数”这个名称对初三学生来说是有意义的,但对幼儿园小朋友而言,他们不知“函数”所指何物。

在数学中,可以用不同的名称、符号标记同一个概念。

比如“5”,“五”,“five”都表示同一个数。

另一方面，表示概念的名称、符号应具有无歧义性,即表示的对象唯一。

例如，算术根的符号仅适用于a为非负实数的情况。

因此，复数开平方运算就不能再用这个符号,把i的两个平方根记为“

”是不恰当的。

定义是揭示概念内涵（或外延）的逻辑方法。

通过给概念下定义，可以把我们对事物的认识概括、总结、记载、传递下来。

在科学理论体系中，定义是构成理论体系的重要组成部分。

在数学中，常见的定义形式有下列几种：



（1）属加种差定义。

这种方法是先确定被定义概念的最邻近的属概念，然后寻找这个属概念中诸种概念彼此间的本质差别（即“种差”）。

例如，“平行四边形”最邻近的属概念是“四边形”，平行四边形区别于其它四边形的本质属性是“对边平行”，于是得到平行四边形的定义：

对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。

“属加种差”的定义可用公式表示为：



被定义概念=最邻近的属概念+种差.

（2）关系定义。

这种定义是以被定义概念与其它事物的关系作为种差的定义。

例如，“整除”的定义是“如果存在整数c,使得b=ac，则称a能整除b”，这就是关系定义。

类似地，“质数”的定义也是一种关系定义。

（3）外延定义。

这是一种运用种概念给属概念下定义的方式,即指出属概念中所有的种概念。

例如,“有理数与无理数统称为实数”，“椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线”，等等。

（4）发生定义。

这种定义是通过被定义概念形成过程来揭示概念内涵的。

例如，在立体几何中,各种旋转体的定义就采用了发生定义的方法，圆锥曲线的第一定义也是发生定义。

（5）递归定义。

如果被定义概念与自然数性质有关或者是构造性的，常采用递归定义的方式。

例如,实数a的n次幂（n是自然数）的递归定义为：

（6）约定式定义。

为了数学的某种需要，可以通过约定的方式下定义。

这种定义方法,通常是利用意义已明确的表达式，去规定新引入的表达式的意义。

例如，在自然数指数幂基础上,约定

=1,

，

给出零指数幂、负指数幂、分数指数幂的定义。

这样的约定式定义，保证了原来的自然数指数幂的运算法则

对于有理指数幂依然成立，所以这种约定式定义是合理的。

（7）形式定义。

在代数中，有一类概念是通过其形式结构下定义的，故称为形式定义。

比如“形如

、

、

等的式子叫做二次根式”,“形如

（

≠0）的方程叫做一元二次方程”等都是形式定义。

可以看出，与式有关的概念常用形式定义。

（8）公理化定义。

在近代数学中，常给出若干性质（称之为公理），只要满足这些性质，这一概念便定义了，这就是公理化定义。

例如，自然数的皮亚诺公理系统给出了自然数的定义.。

“群”“线性空间”概念的定义也是公理化定义。

公理化定义是对概念本质属性的更严谨更抽象的规定。

在给概念下定义时,一般应注意以下几点：

（1）定义必须相称。

比如，如果把无理数定义为“有理数的不尽方根数”，就犯了定义过窄的错误，而把无理数定义为“无限小数”，则犯了定义过宽的错误。

（2）定义不能循环。

也就是说，如果用甲概念来定义乙概念，那么在同一个理论体系中就不能再用乙概念来定义甲概念。

例如,用“两直线垂直相交所成的角叫做直角”来定义“直角”,再用“如果两直线所成的角为直角,那么这两条直线相互垂直”来定义“垂直”，这就犯了循环定义的错误。

为了避免循环定义的错误，在一个理论体系中，必须用已定义过的概念来定义新概念，如此追溯上去，总有一些概念不能用其它概念来定义。

这些不加定义的概念叫做原始概念，比如，集合、点、线、面、介于等。

原始概念没有严格定义,常用描述、举例的方法说明它的本质属性，所以有时也称为描述性概念。

（3）定义的方式可以不唯一。

这里有两层含义，其一，定义的方式不唯一。

例如,“质数”这个概念，可定义为“除了1与自身没有其它因数的自然数”，也可定义为“由ｐ|ab能推出p|a或p|b的大于1的自然数p”。

当然，同一个概念的不同定义应是相互等价的。

其二,定义的语言表达形式不唯一。

常见的形式有“×××就是×××”,“×××叫做×××”,“所谓×××指的是×××”,“当且仅当有×××时,才有×××”等。

由此可见，任何定义都是充分必要的。

例如，方程的解的定义“使方程f（x）=0成立的未知数的值”,既包括“如果α是方程f（x）=0的解,则f（α）=0”，又包括“如果f（α）=0，则α是方程f（x）=0的解”

（4）定义是对被定义概念内涵或外延的一种规定，所以对概念的定义只能解释,不能证明。

10.1.2数学概念学习的认知分析

数学概念学习包括概念的获得、概念的应用、建立概念体系三个阶段。

1、概念的获得

所谓概念的获得，就是理解、掌握一类事物的共同的、本质的属性。

也就是说，能够用符号、词汇表示一类事物而不是个别的、特殊的事物。

心理学研究成果表明，概念获得的形式有两种基本形式——概念的形成与概念的同化。

（1）概念的形成

概念形成是儿童在日常生活中获得概念的典型方式。

例如，学前儿童理解“三角形”这个概念，最初是听妈妈指着不同形状的物体说“这是三角形”，然后逐渐积累了区别不同事物形状的经验。

随着时间的推移，他的认知结构中逐渐形成“三角形”“四边形”的概念，一旦看到某个物体，就能说出其形状特征，并能将之与“四边形”等其它形状的物体区别开来，这就是概念形成的过程。

可见，所谓概念的形成，就是从大量的实例出发，通过个体的感知、辨别、比较、归类，以归纳的方式概括出一类事物的共同属性，从而获得某概念的方式。

以概念的形成的方式获得概念，其主要特征是能区分该概念的肯定例证或否定例证。

比如，儿童一旦形成“猫”“狗”等小动物的概念，就能够从外部特征区分出哪个小动物是“猫”，哪个小动物是“狗”，尽管他不能用语言描述“猫”“狗”的本质属性。

在概念形成的过程中，有以下一些关键要素：

✧观察一定数量的、形式变异的事实材料；

✧分化每一个事实材料的属性；

✧概括出这些事实材料的共性；

✧辨析变式材料，确认关键属性。

（2）概念的同化

根据美国的心理学家奥苏贝尔的意义学习理论，所谓同化，就是新知识与学习者原有认知结构中的某些观念建立有机的、非人为的实质性的联系，通过新旧知识的作用，新知识被纳入原有的认知结构之中，原有的认知结构得到充实。

因此，在教学条件下，学生获得数学概念的另一个基本方式，就是在学生原在知识经验基础上，以定义的方式直接揭示概念的关键特征，由学生通过与已有认知结构中相关概念建立联系来理解、掌握新概念，这就是概念的同化。

比如，“等差数列”概念的学习，必须在学生掌握了“数列”“项”“两数之差”“常数”等概念的基础上，给出等差数列的定义：

“后项与前项之差为常数”，将等差数列与其它数列区别开来。

通过概念的形成获得概念更加准确，并能形成概念体系。

在概念同化过程中，有以下一些关键要素：

✧学习新概念的已有知识经验；

✧运用定义给出概念的本质属性、名称、符号。

✧运用定义辨认概念的肯定例证与否定例证；

✧把新概念纳入到相应的概念体系中，与已有概念建立有机的联系，形成一个概念体系。

在概念教学过程中，可以针对学生的年龄特征与数学概念的特点，综合运用上述两种概念获得的形式。

一般地，先通过观察、分析适量的、具体的、形式变异的事实材料，让学生自行概括出这类事物的共同的本质属性，尝试着给概念下定义，在这基础上再给出科学定义，通过定义进一步明确概念的内涵与外延。

2、概念的应用

数学概念是数学抽象的产物，并且具有“对象”与“过程”的双重属性。

所谓过程，就是具备了可操作性的程序，所谓对象，则指数学中的特定的结构关系。

比如，函数既是一种特殊的对应过程，也是一种特定的关系结构；极限既是一种变化趋势，又是一个结果，等等。

在学习时，有时需要把概念当作有操作步骤的过程，有时又需要将它看作一个整体性的静态的对象。

因此，在获得概念之后，还要通过数学的应用，使学生更深刻地理解概念的这些属性。

概念应用的数学活动，一般可分为以下两种类型：

（1）辨别与判断。

比如，学习了无理数之后，能够辨别某一个具体的数是无理数还是有理数。

掌握了“奇偶性”的概念，能运用其定义“对于定义域中某一区间中任意x，都有f（—x）=f（x）或f（－x）=－f（x）”来证明某一函数是否在其区间上具有奇偶性。

这一过程体现了概念的过程性特征，概念应用的结果是形成某一技能（比如，会辨别函数的奇偶性），同时加深了对概念的理解。

（2）概念的泛化。

即将概念的性质应用于各种具体的问题情境之中。

比如，学习了“独立事件与非独立事件”概念之后，在相关概率问题中，必须首先判别该问题属于独立事件，还是非独立事件，然后才可以运用相应的概率计算公式。

例已知已知长方形的四个顶点

和

，一质点从

的中点沿与

交角为

的方向射到

上的点

后，依次反射到

和

上的点

和

（入射角等于反射角）。

设

的坐标为

。

若

，则

取值范围是（）。

（2003年江苏数学高考试题）

分析：

问题涉及到的主要概念有：

长方形、中点、反射、坐标、正切。

解题者必须将这些概念的属性综合起来考虑，并运用恰当的技巧方能解决。

3、建立概念体系

数学概念是数学教学内容的知识单元,概念之间的联系则形成了教学内容体系的框架结构。

在数学课程中,概念之间的各种关系是教材编写者计划安排好的，而对教材的分析者（教师或学生）来说，概念体系隐没在知识内容之中，分析者要通过自己的整理使之明朗化。

概括起来，中学数学教材中概念间的联系有以下几种情形：

（1）具有属种关系的概念群。

具有属种关系的概念，可用一种逻辑链将它们连结起来，因此形成的概念体系一般成线状结构。

比如，

四边形→平行四边形→矩形→正方形；

算术数→有理数→实数→复数；

集合→关系→函数→多项式函数→一元二次函数，等等。

线状概念结构在教材中的展现，有的是从一般到特殊，有的是从特殊到一般。

其逻辑

链可长可短，链上的概念可疏可密。

因此，有的逻辑链出现于某一章（如四边形到正方形），有的则跨越整学段，甚至于更长（如从算术数到复数，从集合到一元二次函数）。

（2）具有并列关系的概念群。

有些概念之间并不具有种属关系，但它们具有某种潜在的联系,并从属于某个概括程度更高的概念，我们称这类概念具有并列关系。

在中学教材中,并列关系也有多种形态：

①概念扩张过程中产生的概念群。

比如，正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、有理指数幂的相继出现，使指数幂的意义不断深化与充实。

②属概念某一特征变化产生的概念群。

比如，抛物线、椭圆、双曲线；柱体、锥体、台体；等差数列、等比数列；奇函数、偶函数；二次三项式、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式；等等。

③同一现象或过程的互逆概念。

比如，指数函数与对数函数，加法与减法，微分与积分，等等。

（3）成群组关系的概念群。

成群组关系的概念群，其中有一个是核心概念，其它概念从不同角度解释和烘托这核心概念。

例如，围绕“对数”的附属概念有“真数”、“底数”；与“椭圆”有关的概念有“长轴”、“短轴”、“焦距”、“离心率”、“准线”等。

明确了概念间的各种联系,我们就可以用“网络图”将教材中隐性的概念体系结构显性化。

概念体系的网络图可以直观地展现概念间的相互联系，从而为建立良好的知识结构打下基础。

10．1．3数学概念的教学

1、概念的引入

引入概念是概念教学的第一步。

根据概念获得的不同形式，概念的引入一般有以下几种途径:

：

（1）列举生活实例，提供现实原型。

中学数学中的许多概念来源于现实世界，对于这类概念,要由学生所熟悉的日常生活或生产实际中常见的事例引入。

比如，通过说明现实生活中存在着大量的具有相反意义的量，引入正、负数概念。

在提供日常生活中具有各种对应关系的实例基础上引入“函数”的概念。

几何变换与许多实际问题有较为密切的联系，可通过列举蝴蝶、人脸、花朵、窗户的排列、镜面反射和某些陶器的设计,提供对称图形的现实原型。

这种联系现实世界引入概念的方式,有助于学生将客观现实材料和数学知识的现实溶于一体,实现“概念性的数学化”。

（2）在已知概念的基础上引入。

从新概念的形成背景看，有的数学概念具有清晰的现实原型或直观模型，有的则产生于已知的相对初级的抽象概念。

对于后者，常根据新旧概念的关系,采用恰当的引入方式。

当新概念是已知旧概念的种概念时，常给出一组反映已知概念的事例（其中部分事例具有新概念的本质属性），让学生观察、对比、辨析,发现这部分事例所具有的与其它事例不同的共性（即种差），从而引入新概念。

比如，在数列的基础上引入等差数列,就可以采用这种方式。

另一种引入方式是在概括程度较高的已知概念基础上，添加新的属性,通过逻辑推演，直接引入新概念，平面几何中的概念多数属于这种情况。

比如,在平行四边形的基础上增加“有一个内角是直角”的属性，便得到“矩形”的概念。

如果在相对具体的概念基础上形成较高层次的概念,那么引入概念的常见形式是提供一些具体的、特殊的、直观的观察材料,让学生分析其共性，抽象概括出新的概念。

例如,通过观察y=x3、y=x、y=2x（x∈R）等函数图象的特征，引入单调递增函数的概念。

观察、分析已知连续曲线在定义域内一点M（x0，y0）的切线斜率、距离函数S=f（t）在t=t0时的即时速度、以及非均匀杆的线密度，从中抽象概括出包摄性更高的导数的概念。

当新旧概念之间具有某种相似性时，新概念的引入常运用类比或对比的方法。

例如,分式的有关概念通过分数的相应概念引入,立体几何中有关概念通过类比平面几何中有关概念引入，等比数列的概念的引入可通过与等差数列的对比来进行。

从这里可以看出，在已知概念基础上引入新概念的方式，取决于新、旧概念之间具有的逻辑联系。

（3）运用数学问题引入。

通过数学问题引入概念，可以充分说明学习新概念的必要性，有助于产生认识需求,明确认识任务。

这里的数学问题，一般来自于生活实践，或者是数学本身发展的需要。

例如，求单位正方形对角线之长的问题在有理数范围内无解，从而引入实数概念。

当m>n时,

那么，当m=n时，

等于什么呢？

为了解决这个问题，给出“零指数幂”概念。

通过解决平面上到一定点与一定直线等距的点的轨迹的问题,引出抛物线的概念，等等。

2、明确内涵，廓清外延

引入阶段提供的生活实例或观察材料是形成概念的毛坯，接下来便是去粗存精、由表及里的思维加工阶段，其主要任务是通过抽象化、形式化来掌握概念的内涵,、廓清概念的外延，这一步是概念学习思维活动过程中最关键的一步。

明确概念的内涵、廓清概念的外延，就是能够从理性层面上掌握一类事物的本质属性，并能够辨别哪一个对象属于该概念，哪个对象不属于该概念。

数学教学常通过下列环节达到对概念内涵的把握与外延的界定。

（1）给出、剖析概念的定义。

大量的实验和教学经验表明，概念的关键特征越明显，学习越容易,而无关特征越多、越明显,则概念学习越难①。

用词语和符号表述前一阶段的认识结果,即给出概念的定义，就是扩大概念关键特征的有效途径.。

学生理解概念的定义的逻辑意义时常经历两个过程：

一是知觉表达定义的语句的语法结构，二是把词义与知识结构中已知概念建立联系，把个别、孤立的词义综合起来以获得整体定义的意义。

在中学阶段，有一些概念的定义简单、明了，这两个过程常融合在一起。

例如,“两边相等的三角形是等腰三角形”这样的定义，语法结构简单,“两边相等”、“三角形”的概念在学生原有知识结构中明确、清晰，因此学生知觉它的句法和语词后，便立刻理解了它的数学意义。

但是，对于“周期函数”之类的抽象度较高的数学概念，在第二阶段必须要逐词逐句地剖析其数学意义，特别是对一些关键词的解释，比如，对于周期函数来说，可结合图象说明定义“存在一个正数，对于定义域中任一个数，都有f（x+T）=f（x）”中的“存在”、“任一个”“f（x+T）=f（x）”的含义是什么？

（2）运用变式材料。

所谓变式材料，是指概念的肯定例证在无关特征方面的变化。

一般情况下