学年人教版初二数学下册第一次月考测试题及答案.docx
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学年人教版初二数学下册第一次月考测试题及答案
2017-2018学年八年级（下）第一次月考数学试卷（1-2章）
一、选择题（本大题共6小题，共18分）
1．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为（ ）
A．45°B．55°C．65D．70°
2．若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5B．
＜
C．a+5＞b+6D．﹣a＞﹣b
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个
B．不等式x＞﹣5的负整数解集有限个
C．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
4．不等式ax+b＞0（a＜0）的解集是（ ）
A．x＞﹣
B．x＜﹣
C．x＞
D．x＜
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
6．如图是一次函数y=kx+b的图象，当y＜﹣2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x＞3C．x＜﹣1D．x＞﹣1
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是 ．
8．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 ．
9．如图所示的不等式的解集是 ．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是 ．
11．当代数式
﹣3x的值大于10时，x的取值范围是 ．
12．如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是 ．
三、计算题（本大题共5小题，共30分）
13．解不等式15﹣9x＜10﹣4x，并把解集在数轴上表示出来．
14．已知：
如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：
AD平分∠BAC．
15．已知不等式5﹣3x≤1的最小整数解是关于x的方程（a+9）x=4（x+1）的解，求a的值．
16．已知y1=2x+4，y2=5x+10，当x取哪些值时，y1＜y2？
17．已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．
四、解答题（本大题共4小题，共32分）
18．在某校班际篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？
19．如图，在△ABC中∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．若过点O作直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，则线段EF和EB，FC之间有怎样的数量关系并证明？
20．如图，在Rt△ABC的斜边AB上取两点D，E，使AD=AC，BE=BC．当∠B=60°时，求∠DCE的度数．
21．如图，C为线段AB上的任意一点（不与点A，B重合），分别以AC，BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD相交于点P，连接PC．求证：
△ACE≌△DCB．
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？
并说明理由．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，共18分）
1．若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为（ ）
A．45°B．55°C．65D．70°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由已知顶角为70°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．
【解答】解：
∵等腰三角形的顶角为70°，
∴它的一个底角为÷2=55°．
故选：
B．
2．若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5B．
＜
C．a+5＞b+6D．﹣a＞﹣b
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质：
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
【解答】解：
A、两边都减5，不等号的方向不变，故A符合题意；
B、两边都除以5，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边加不同的数，故C不符合题意；
D、两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D不符合题意；
故选：
A
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个
B．不等式x＞﹣5的负整数解集有限个
C．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
【考点】不等式的解集．
【分析】正确解出不等式的解集，就可以进行判断．
【解答】解：
A、正确；
B、不等式x＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1．
C、不等式﹣2x＜8的解集是x＞﹣4
D、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4包括﹣40，故正确；
故选C．
4．不等式ax+b＞0（a＜0）的解集是（ ）
A．x＞﹣
B．x＜﹣
C．x＞
D．x＜
【考点】解一元一次不等式．
【分析】移项、系数化成1即可求解．
【解答】解：
移项，得ax＞﹣b，
系数化成1得x＜﹣
．
故选B．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC，计算即可．
【解答】解：
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴ED=EC，
∴AE+DE=AE+EC=AC=3cm，
故选B．
6．如图是一次函数y=kx+b的图象，当y＜﹣2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x＞3C．x＜﹣1D．x＞﹣1
【考点】一次函数的性质．
【分析】直接利用函数图象结合一次函数增减性得出答案．
【解答】解：
如图所示：
当y=﹣2时，x=﹣1，
则当y＜﹣2时，x的取值范围是：
x＜﹣1．
故选：
C．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是 等边三角形 ．
【考点】等边三角形的判定．
【分析】根据等边三角形的判定定理（有一内角为60°的等腰三角形为等边三角形）进行答题．
【解答】解：
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
又∵∠BAC=∠CAD=30°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形；
故答案是：
等边三角形．
8．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 4：
3 ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
【解答】解：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：
AC=4：
3，
故答案为4：
3．
9．如图所示的不等式的解集是 x≤2 ．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】该不等式的解集是指2及其左边的数，即小于等于2的数．
【解答】解：
由图示可看出，从2出发向左画出的线，且2处是实心圆，表示x≤2．
所以这个不等式的解集为x≤2．
故答案为：
x≤2．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是 20 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】运用等腰三角形的性质，可得BD=CD，再求出△ABC的周长．
【解答】解：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于点D
∴BD=CD
∵AB=6，CD=4
∴△ABC的周长=6+4+4+6=20．
故答案为：
20．
11．当代数式
﹣3x的值大于10时，x的取值范围是 x＜﹣4 ．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据题意列出不等式，再依据解一元一次不等式基本步骤：
移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：
根据题意得：
﹣3x＞10，
合并同类项，得：
﹣
x＞10，
系数化为1，得：
x＜﹣4，
故答案为：
x＜﹣4．
12．如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是 20° ．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】连接AP，由MP为线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AP=BP，同理可得AP=CP，等量代换可得AP=BP=CP，然后根据等边对等角可得∠ABP=∠BAP，∠PAC=∠ACP及∠PBC=∠PCB，由已知的∠BAC的度数求出∠BAP+∠CAP的度数，等量代换可得∠ABP+∠ACP的度数，同时根据三角形的内角和定理可得∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP，进而得到∠PBC+∠PCB的度数，再根据两角相等，即可求出所求角的度数．
【解答】解：
连接AP，如图所示：
∵MP为线段AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠ABP=∠BAP，
又PN为线段AC的垂直平分线，
∴AP=CP，
∴∠PAC=∠ACP，
∴BP=CP，
∴∠PBC=∠PCB，
又∠BAC=∠BAP+∠CAP=70°，
∴∠ABP+∠ACP=70°，且∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=110°，
∴∠PBC+∠PCB=40°，
则∠PBC=∠PCB=20°．
故答案为：
20°
三、计算题（本大题共5小题，共30分）
13．解不等式15﹣9x＜10﹣4x，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：
移项，得：
﹣9x+4x＜10﹣15，
合并同类项，得：
﹣5x＜﹣5，
系数化为1，得：
x＞1，
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
．
14．已知：
如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：
AD平分∠BAC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先根据∠1=∠2得出BD=CD，再由SSS定理得出△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：
∵∠1=∠2，
∴BD=CD，
在△ABD与△ACD中，
∵
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
即AD平分∠BAC．
15．已知不等式5﹣3x≤1的最小整数解是关于x的方程（a+9）x=4（x+1）的解，求a的值．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【分析】解不等式求得不等式的解集，然后把最小的整数代入方程，解方程即可求得．
【解答】解：
解不等式5﹣3x≤1，得x≥
，
所以不等式的最小整数解是2．
把x=2代入方程（a+9）x=4（x+1）得，
（a+9）×2=4×（2+1），
解得a=﹣3．
16．已知y1=2x+4，y2=5x+10，当x取哪些值时，y1＜y2？
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】先根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：
y1=2x+4，y2=5x+10，
当y1＜y2时，2x+4＜5x+10，
解得x＞﹣2，
当x＞﹣2时，y1＜y2．
17．已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=x，BC=y，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：
如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=x，BC=y，
（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，则
+x=15，
y=12，解得x=10，y=7．
（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，
则
+x=12，
+y=15，解得x=8，y=11，
故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．
四、解答题（本大题共4小题，共32分）
18．在某校班际篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】设这个班要胜x场，则负（28﹣x）场，根据题意列出不等式，解不等式即可求出至少要胜几场．
【解答】解：
设这个班要胜x场，则负（28﹣x）场，
由题意得，3x+（28﹣x）≥43，
2x≥15，
解得：
x≥7.5，
∵场次x为正整数，
∴x≥8．
答：
这个班至少要胜8场．
19．如图，在△ABC中∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．若过点O作直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，则线段EF和EB，FC之间有怎样的数量关系并证明？
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由BD为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由EF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出∠EBD=∠EDB，利用等角对等边得到EB=ED，同理得到FC=FD，再由EF=ED+DF，等量代换可得证．
【解答】解：
EF=EB+FC．
理由：
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB．
又∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，
∴∠BOE=∠EBO，∠COF=∠FCO，
即EB=EO，FC=FO，
∴EF=EO+FO=EB+FC．
20．如图，在Rt△ABC的斜边AB上取两点D，E，使AD=AC，BE=BC．当∠B=60°时，求∠DCE的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据三角形的内角和得到∠A=30°．根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC=
=75°．推出△BCE是等边三角形，于是得到结论．
【解答】解：
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°．
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=
=75°．
∵BC=BE，∠B=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE﹣∠ACB=75°+60°﹣90°=45°．
21．如图，C为线段AB上的任意一点（不与点A，B重合），分别以AC，BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD相交于点P，连接PC．求证：
△ACE≌△DCB．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由已知可得∠ACE=∠DCB，然后根据SAS即可证明△ACE≌△DCB
【解答】证明：
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵CA=CD，CE=CB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？
并说明理由．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD，求出∠CBD=45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：
DE=BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，
∴∠ABC=67.5°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE=BF，∠CED=∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠CED+∠CBF=90°，
∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？
【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用．
【分析】
（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯只，商场的获利为y元，由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论．
【解答】解：
（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只，由题意，得
25x+45=46000，
解得：
x=400．
∴购进乙型节能灯1200﹣400=800（只）．
答：
购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯只，商场的获利为y元，由题意，得
y=（30﹣25）a+（60﹣45），
y=﹣10a+18000．
∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，
∴﹣10a+18000≤[25a+45]×30%，
∴a≥450．
∵y=﹣10a+18000，
∴k=﹣10＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴a=450时，y最大=13500元．
∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．
2017年4月13日
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