三角形垂心性质总结Word格式.docx
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四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形
所以∠AFC=∠ADC=90°
即ADBC。
点评：
以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图在三角形ABC中AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高D、F、E分别为垂
足H为三角形ABC的垂心。
求证：
H为三角形DFE的内心。
要证H为三角形DFE的内心只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠
EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC（都是弧CE所对的圆周角）
由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC（都是弧HD所对的圆周角）
所以∠EFH=∠HFD所以HF平分∠EFD。
同理HE平分∠FED；
HD平分∠FDE
所以H为三角形DFE的内心。
以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形
你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：
在中若点O满足则点O为三角形ABC的垂心。
由得所以。
同理OB则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：
若三角形的三个顶点都在函数的图象上则它的垂心也在这个函数图象上。
设点O（x,y）为的垂心则上面的向量表示得
因为的三个顶点都在函数的图象上所以设
因为所以
所以
所以
（1）
同理：
由得
（2）
联立
（1）
（2）两式就可解出
显然有垂心O在函数的图象上。
此题恰当地应用了垂心的向量表示把几何问题转化成了代数问题完美体现了
数形结合的数学思想。
（20__年全国一卷理科）的外接圆的圆心为O两条边上的高的交点为H
则实数m=
分析：
H显然为的垂心我们可取特殊情况来猜想m的值。
于是我取为
直角三角形角A为直角此时H点与A点重合且O为BC的中点（如图所示）。
此时
于是猜想m=1.
而对于一般情况上面问题我们不妨称之为
三角形的垂心性质定理
3：
的外心为O垂心为H则
。
作出
的外接圆和外接圆直径
AD连接BD,CD。
因为直径所对圆周角为直角所以有
因为H为
的垂心所以
所以HC
在锐角中O为外心D,E,F分别为三边的中点则OF
所以有
=
设中角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.
在圆
O中弧
AB所对的圆心角
=2C
又因
OA=OBOF
OF=OA_cosC=RcosC。
同理OD=R_cosB,OE=R_cosA
而由三角形内切圆的性质知：
这个式子就指出了内切圆半径与外接圆半径的关系。
而要证OD+OE+OF=R+r
需证：
RcosA+RcosB+RcosC=R+
即需证
需证（b+c）cosA+（a+c）cosB+（a+b）cosC=a+b+c
而对上式的证明我们可采用正弦定理化角为边
即需证：
sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC
sin（A+B）+sin（A+C）+sin（B+C）=sinA+sinB+sinC
而因为A+B+C=所以sin（A+B）+sin（A+C）+sin（B+C）=sinA+sinB+sinC显然成立
所以命题得证。
此题的证明充分联系我们初高中的大量知识真是做到了“八方联系浑
然一体”（孙维刚老师语）。
通过这样的一个问题我们的数学能力将大大提高。
三角形垂心性质定理5：
H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为
一—垂心组）。
此定理的证明相对简单读者不妨自已试试。
在此提出这个性质主要是看到这
里存在的一种广义对称性即四个点中每一点都可为垂心。
这个结论进一步提醒我们
要经常换个角度相问题。
三角形垂心性质定理6：
H为△ABC的垂心则△ABC△ABH△BCH△ACH的外接圆是等圆。
要证两圆为等圆只要证明它们的半径（或直径）相等就可以啦。
而这两圆都是三角形的外接圆于是我们就想到了正弦定理。
的直径为
因为
HD
所以四边形BEHD是圆内接四边形
所以sinB=sin
所以=
所以的外接圆为等圆。
同理△ABC△ABH△BCH△ACH的外接圆是等圆。
证明略。
该题的证明过程中应用到了性质这也正是在提示我们要注意八方联系。
1中的圆内接四边形性质和正弦定理。
以上我对与三角形垂心有关的性质做了一些总结当然也难免还有其它性质我
还没有发现。
我写文章的目的也就是在于启发读者经常进行总结在总结中我们才
会有新的发现和创新。
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