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基于小波分析的边缘检测技术研究

摘要：

随着数字图像采集技术和处理技术的飞速发展，图像已成为人们获取信息的重要途径，图像的边缘信息反映了图像中最有价值的信息，边缘检测是图像处理和计算机视觉中最重要、最经典的课题之一。

边缘检测方法比较多，但这些算法各有自己的特点和特定的应用领域。

现在提出一种新的边缘检测算法，该算法以小波分析为基础，通过对原始图像进行小波变换实现边缘检测，具有良好的检测效果。

小波变换在空域中分辨率随频率的大小而调节，低频粗疏，高频精密，在小尺度参数的边缘检测算子能够检测出灰度发生的细变化，而大尺度参数的边缘检测算子能够检测出灰度发生的粗变化，使用小波多尺度变换可以更好的检测图像的边缘和细节，能够很好的将信号与噪声分离

关键词：

边缘检测；小波变换；滤波；检测

1引言

当今社会可以说已经进入了数字化的信息时代，而占存储空间最大的信息量就是图像，图像中所包含的信息量比所有其他媒体信息量的总和还要多。

图像处理简单的说就是把一副图像根据一定的目的变成另一幅经过修改的图像，就是对图像进行加工和处理来满足人们实际需求。

边缘是图像的最基本的特征之一。

边缘的定义有很多种，常用的定义为：

边缘是指图像中灰度发生急剧变化的区域，或者说是指周围像素灰度有阶跃变化或屋顶变化的那些像素的集合。

它广泛存在于物体与背景之间、物体与物体之间以及区域与区域之间。

图像边缘和图像内在物理特性是直接相联系的，所以边缘蕴含着图像的大量的内在信息，也能够反映出目标轮廓的位置。

而这些轮廓常常包含着我们在图像处理时所感兴趣目标的重要特征，为人们描述或识别目标以及解译图像提供了重要的特征信息，是图像分割所依赖的重要特征。

图像边缘是描述图像最基本、最有意义的特征，故边缘检测是计算机视觉和图像处理领域最经典的研究课题之一，边缘检测的主要目的是对一图像灰度变化进行度量、检测和定位。

边缘检测器的工作既要将高频信号从图像中分离出来，又要区分边缘和噪声，准确的标定边缘位置。

小波被誉为“数学显微镜”，在时域和频域都有良好的局部特性，以平滑函数的一阶导数作为小波函数对图像进行小波变换，小波系数的模极大值即对应图像的边缘。

2图像边缘检测技术

图像的边缘是图像的基本特征之一，它包含了图像丰富的内在信息（如方向、阶跃性质与形状等）。

边缘检测是图像处理、视觉计算的最基础的内容，它直接决定着高层次的图像处理、计算机视觉处理的成功与否。

从噪声中提取图像边界是图像测试与分析的基础，边缘检测效果的好坏对图像特征提取影响很大，是图像预处理的关键一步。

由于这些原因使得边缘检测在图像处理、计算机视觉的预处理算法中占有着重要的地位。

图像边缘检测主要是对图像灰度变化的度量、检测和定位，自从1959年提出边缘检测以来，经过五十多年的发展历程，已提出许多不同的边缘检测方法。

边缘检测的基本思想是先利用边缘增强算子，突出图像局部边缘，然后定义像素的“边缘强度”，通过设置阈值的方法提取边缘点集合。

但是由于噪声、图像模糊等因素，导致检测到的边界可能会有间断情况发生。

边缘检测包含以下两项内容：

（1）用边缘检测算子求取边缘点集合称为琐细边缘检测。

（2）在边缘点集合中，依据某些准则去除伪边缘点，并依据邻域边缘点的性质来填充一些边缘点，将边缘点连接成边缘线。

2.1图像边缘检测基本步骤

2.1.1滤波

边缘检测算法主要是基于图像强度的一阶和二阶导数，但导数的计算对噪声很敏感，因此必须使用滤波器来改善与噪声有关的边缘检测方法的性能。

去除噪声，但是大部分滤波器在去除噪声的同时也丢失了部分边缘信息，所以去除噪声和增强边缘是边缘检测中的一个矛盾问题，因此边缘增强和降低图像噪声之间需要取得一种平衡。

实际应用中图像中不可避免的会含有噪声，既要去除噪声又要尽最大可能的保留边缘的完整性是边缘检测的一个难点。

2.1.1增强

增强边缘的基础是确定图像各点邻域强度的变化值。

增强算法可以将邻域（或局部）强度有显著变化的点突显出来。

边缘增强一般都是通过计算梯度幅值来完成的。

2.1.3检测

确定哪些是边缘点，哪些不是边缘点。

在图像中有许多点的梯度幅值比较大，而这些点在特定的应用领域中并不都是边缘，所以应该用某种条件来判定哪些是边缘点，哪些为非边缘点。

最简单的边缘检测判据是梯度幅值，通过某种方法确定一个临界点即阈值，梯度幅值大于阈值的为边缘点，否则为非边缘点。

2.1.4定位

如果某一应用场合要求确定边缘位置，则边缘的位置可在子像素分辨率上来估计，边缘的方位也可以被估计出来。

原始图像

平滑图像

增强

梯度或含过零点的图像

检测

边缘点

定位

边缘位置、方向

滤波

图1边缘检测的基本步骤

在边缘检测算法中，前三个部分用得十分普遍。

这是由于大多数场合下，仅仅需要指出边缘出现在图像某一像素点的附近，而没有必要指出边缘的精确位置。

边缘检测的经典检测方法，是对原始图像中像素的某个邻域来构造边缘检测算子。

2.2经典的边缘检测技术

图像边缘检测就是研究更好的边缘检测方法和检测算子。

边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对象与背景间的交线。

我们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。

图像灰度的变化情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，因此我们可以用局部图像微分技术来获得边缘检测算子。

经典的边缘检测方法有一阶导数极大值点算法（例如Robert算子、Sobel算了、Canny算子），二阶导数零交叉点算法（例如LoG算子）等等。

新的边缘检测方法有数学形态学的方法、模糊算子法、神经网络法、小波分析法、遗传算法、动态规划法、分形理论法等等。

下表列举了几个经典的边缘检测算子及各算子特点。

表1各个算子的特点

算子

检测边缘最佳情况

Roberts

对具有陡峭的低噪声的图像效果较好。

但是利用Roberts算子提取边缘的结果是边缘比较粗，因此边缘定位不是很准确。

Sobel

对灰度渐变和噪声较多的图像值处理效果比较好。

Sobel算子对边缘定位比较准确。

Prewitt

对灰度渐变和噪声较多的图像值处理效果比较好。

Laplace

经常出现双像素边界，并且该检测方法对噪声比较敏感，所以很少用Log算子来检测边缘，而是用它来判断边缘像素是位于图像的明区还是暗区。

Canny

此方法不容易受噪声的干扰，能够检测到真正的弱边缘。

该方法的优点在于，使用两种不同的阈值分别检测强边缘和弱边缘，并且仅当弱边缘和强边缘相连时，才将弱边缘包含在输出图像中。

因此，这种方法不容易被噪声“填充”，更容易检测出真正的弱边缘。

3小波变换理论基础

由于各种原因，图像常常受到随机噪声的干扰。

经典的边缘检测方法由于引入了各种形式的微分运算，从而必然引起对噪声的极度敏感，在其上执行边缘检测的结果常常是把噪声当作边缘点检测出来，而真正的边缘也由于受到噪声干扰而没有被检测出来。

因而对于有噪声图像来说，一种好的边缘检测方法应具有良好的各种噪声抑制能力，同时又有完备的边缘检测保持特性。

3.1小波变换的特点

小波变换是近年来兴起的一种热门信号处理方法，它良好的时一频局部特性非常适合于图像处理，所以得到了广泛的应用。

不同尺度下，图像灰度的急剧变化点的集合对应图像的边缘，即表现为信号的奇异性，这就要求在提取边缘时运用多尺度思想，而小波对图像信号的多分辨率分析非常适合检测信号的奇异性，所以小波是图像边缘处理的一种有力工具。

在小波多分辨分析中，引入了尺度函数和小波函数。

多尺度小波边缘检测就是利用一个平滑函数，在不同尺度下平滑所检测的信号，根据一次、二次微分找出它的突变点。

一次微分的极大值点对应二次微分的零交叉点和平滑后信号的拐点。

用小波变换提取边缘的思想如下：

利用小波的多尺度特性可以实现在大尺度下抑制噪声，可靠地识别边缘；在小尺度下精确定位；综合不同尺度下的边缘图像得到提取结果。

多分辨分析框架为正交（包括单正交和双正交）小波基的构造提供了理论基础。

在这一框架下，基本小波的选取具有很大的灵活性，从这点看，小波分析比傅立叶分析具有更广泛的适用性。

我们知道，小波变换的原理是来源于傅立叶变换，但是它比传统的傅立叶变换有更多优点，比如：

（1）小波变换可以覆盖整个频域；

（2）可以通过选取合适滤波器，减少或除去提取的不同特征之间的相关性；

（3）具有“变焦特性”，低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率，在高频段可用低频率分辨率和高时间分辨率；

（4）小波变换在实现上有快速算法（Mallat小波分析算法）；

（5）小波变换具有良好的时频局部化、尺度变换和方向特征。

所以小波变换是一种多分辨率分析工具，为不同尺度上信号的的分析和表征提供了精确和统一框架。

当小波函数尺度较大时，抑制噪声能力增强，提取边缘细节的能力变差；当小波函数尺度较小时，抑制噪声能力变弱，但提取边缘细节的能力增强。

这样很好解决了噪声抑制与图像边缘细节提取之间的矛盾。

并且小波变换具有检测局域突变的能力（即小波变换的奇异性），而图像边缘正是信号变化率最大的地方，因此小波变换是检测边缘的良好工具

3.2小波变换中的多尺度思想

图像在不同尺度上的小波变换都提供了一定的边缘信息。

当小尺度时，图像的边缘细节信息较为丰富，边缘定位精度较高，但易受到噪声的干扰；大尺度时，图像的边缘稳定，抗噪性好，但定位精度差。

在实际应用中经常存在着去除噪声和准确定位之间的矛盾。

多尺度边缘检测的基本思想就是沿梯度方向，分别用几个不同尺度的边缘检测算子在相应点上检测模极大值的变换情况，并通过对阈值的选取，再在不同尺度上进行综合得到最终边缘图像，可以较好的解决噪音和定位精度之间的矛盾。

多尺度边缘综合不是把各个尺度的边缘简单的加在一起，我们知道在不同的尺度下同一个边缘的响应是不相同的，在不同的尺度下边缘增强的位置也是不相同的，多个尺度下的边缘简单相加的结果会造成边缘冗余，同时滤除噪声的目的也没有达到。

根据多尺度边缘在位置、强度和方向上的联系，通过边缘继承和扩展来实现多尺度边缘的融合。

4基于小波变换的图像边缘检测

小波分析作为新兴学科迅速发展起来，由于其具有良好的时频局部特征，被广泛的应用到图像处理中。

小波具有天然的多尺度特征，对图像信号的多分辨率分析能够把图像分解成交织在一起的多尺度成分，并对大小不同的尺度成分采用相应粗细的时域或空域取样步长，从而不断地聚焦到对象的任意微小细节，被誉为“数学显微镜”。

非常适合提取图像信号的局部特征，给图像边缘检测带来了新的方法。

边缘检测算子的尺度是指平滑算子的尺寸，尺度越大滤除噪声的能力越强，但得到的图像的一些弱边缘会被滤除掉；相反小尺度能得到图像的更多的弱边缘，但是也把更多的噪声点当作了边缘点检测出来。

多尺度算子就是尽量在两者之间取得一种平衡，既要有效的滤除噪声又能得到较完整的边缘。

4.1基于边缘检测的小波基函数选取准则

在图像边缘检测中，小波函数的选取对图像边缘的检测结果影响非常大，在尺度一定时，小波变换的效果就相当于对图像进行带通滤波，抑制了一部分噪声，同时也滤除一部分模糊边缘。

因此合理的选择小波函数非常重要，应该选择一个去噪特性好的小波，在滤除噪声的同时又能提取到效果好的边缘。

边缘在图像中为灰度发生突变的点，表现为图像的高频分量，而图像中的主要部分为低频部分，为“直流”分量。

为了得到好的边缘检测效果，选取边缘检测小波基的一般应遵循的准则为：

准则一：

作为图像边缘检测滤波器，边缘检测小波应选用是高通（或带通）滤波器，它对“直流”分量的滤波响应为零，对低频分量的响应受到抑制。

将滤波器的脉冲响应函数分解为奇对称和偶对称两部分：

其中，。

可以证明，当边缘信号函数是奇函数时，滤波器的脉冲响应的偶函数分量的作用仅仅是降低缘检测质量，当边缘信号函数是偶函数时，滤波器的脉冲响应的奇数分量的作用也仅仅是降低边缘检测质量。

由此，我们得到选择小波基的准则二。

准则二：

小波基函数应与被检测边缘函数的奇偶对称性一致，检测阶跃边缘的小波应是奇函数。

图像边缘点的灰度突变指的是局部范围内图像灰度有较大的起落。

每一个孤立的边缘点都是图像的一个局部特性。

上面提到的阶跃边缘点对应于图像灰度变化函数的一阶导数的极值点或二阶导数的过零点都是针对图像局部范围来说的。

为了检测图像灰度的这种局部变化，则有选择小波基的准则三。

准则三：

图像边缘检测的小波应该是一个窗口函数，最好是紧支窗口函数。

准则一事实上就是一个函数称为小波函数的必要条件，当我们选择小波函数作为图像边缘检测滤波器时，这一点自然就满足。

小波基函数种类很多，也可以自己构造，根据上述三准则，我们选择的用于检测阶跃边缘的小波基应是一个紧支的奇函数小波，在选择小波的时候，结合Canny提出的判定边缘检测算子的三个准则，来选择最优的用于边缘检测的小波函数。

4.2利用小波变换提取边缘

根据上面所述的利用小波变换进行边缘提取的基本原理，对于数字图像可设计出下述计算机实现方法：

（1）选择MRA滤波器、边界拓展方式、分解尺度J和阈值T。

（2）对图像的每一行像素做一维小波变换，并取绝对值。

（3）对图像的每一列像素做一维小波变换重复步骤

（2）。

（4）分别求取行列小波变换的模值极大值点，其余点置0。

（5）若，则令，否则。

（6）将显示出来即为所求边缘图像。

（7）重复步骤2-5，直至分解尺度J。

4.3利用小波变换提取边缘原理

设是二维平滑函数。

把它沿x1，x2两个方向上的一阶导数作为两个基本小波：

（1）

（2）

再令：

（3）

（4）

其中，对任意二维函数f（x1，x2）L2（R2），其小波变换有两个分量：

沿x1方向：

（5）

沿x2方向：

（6）

其中**代表而为卷积，他的具体含义是：

，i=1或2。

（7）

小波分量可简记成矢量形式：

（8）

其中是被平滑后的图像。

（8）式表明WT1和WT2分别反映此图像灰度沿x1和x2方向的梯度。

通常取a为2j（jZ），而f（x1，x2）的二进小波变换为矢量：

（9）

其模值是：

（10）

其幅角（与x1方向的夹角）是：

（11）

边缘定义为Mod[WTf]取极值之处，其方向则沿与Arg[WTf]垂直的方向。

但是噪声也是灰度突变点，也是极大值点。

因为小波具有能量集中的性能，它能将信号能量集中在少数小波系数上，所以边缘的小波系数幅值比较大，而噪声能量比较分散，小波系数幅值较小。

所以用平滑函数的一阶导数作小波函数对图像进行小波变换，大于一定阈值的小波系数的模极大值点即对应图像的边缘点，这就是小波变换用于边缘检测的原理。

4.4小波多尺度边缘检测算法

多尺度边缘检测是将图像f（x）,通过个函数的伸缩作卷积，然后使用canny算法实现图像的边缘检测计算上就是与两个小波函数的两个偏导数作用：

（12）

（13）

应用小波的图像边缘检测在小同尺度上的变换结果都提供了一定的边缘信息。

小尺度的时候，图像边缘细节丰富，定位精度高，但是容易受到噪声的干扰；大尺度的时候，边缘稳定，抗噪性好，但是定位精度低。

多尺度边缘检测在不同尺度的小波变换图像上，沿梯度力向检测模极大值，并通过闭值的选取，得到对应尺度上的边缘图像在各尺度上进行综合得到最终边缘图像，可以较好的解决噪声和定位的矛盾。

4.5实验结果分析

基于小波变换的模极大值理论对图像进行边缘检测，得到了较好的检测效果，利用小波变换来检测图像的边缘，其特点是可以调整尺度当尺度较小时，产生了具有噪声的小连续边界；当尺度较大时，此时抗噪较好当图像的信噪比较小时，选用小尺度可以确定边界的位置，但小能区分实际边界和噪声信号；选用大尺度可以有效的滤除噪声信号，却无法确定实际边界的位置。

因此，根据图像的特征和检测的要求选取适当的尺度。

算法采用matlab语言进行仿真实验，图2为边缘检测的原lena图像，图3为多尺度检测结果。

图2原lena图像

图3多尺度检测结果

5结论

由仿真结果可以发现:

基于小波多尺度相关的特征边缘提取算法不仅保留了图像中重要的细节边缘信息，而且又剔除了大量的兀余边缘和虚假边缘，从而有效地提取出了图像的特征边缘，为后续的目标识别提供了可靠的信息。

小波分析作为新兴学科迅速发展起来，由于其具有良好的时频局部特征和天然的多尺度分析能力，被广泛的应用到图像处理中。

由于小波变换有多尺度的特点，可以利用多尺度特性，通过细节和粗节的逼近，将图像的空间信息较好的描述。

在边缘和噪声的取舍中,由于二者均为高频信号，很难用频带划分。

小波变换的方法，使得在大尺度下抑制噪声，小尺度下得到边缘的真实位置；而传统的和经典的边缘检测算法则在此问题上不能提供有效的解决办法，与传统的和经典的边缘检测算法相比，小波变换方法在识别边缘特征方面较强。

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