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论文悖论

北方民族大学

学士学位论文

论文题目:

数学悖论问题对数学发展的推动及

影响

院（部）名称:

数学与信息科学学院

学生姓名:

专业:

数学与应用数学学号:

指导教师姓名:

论文提交时间:

4月20日

论文答辩时间:

（不填）

学位授予时间:

（不填）

北方民族大学教务处制

数学悖论问题对数学发展的推动及影响

摘要：

数学悖论是数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。

这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。

也为了能够很好的解决一些数学问题，使初学者产生一定的兴趣，给数学打下坚实的基础。

主要通过对数学分析的发展与回顾，以及数学史上几次重大的数学危机的出现和解决来研究数学悖论对于数学史的推动及发展。

通过研究数学分析的起源、发展和广泛运用以及数学悖论的起源和发展来分析数学分析中遇到的主要数学悖论，如何解决数学分析中遇到的数学悖论。

数学悖论在数学、哲学、逻辑学等学科中广泛运用，并且对数学史的发展有极大的推动作用。

关键字：

数学悖论，数学分析。

mathematicalparadoxtopushanddevelopmentofmathematics

Abstract

Mathematicalparadoxisalogicalfoundationofmathematicsdevelopingendangerthewholetheoreticalsystemoffundamentalcontradictionsmathematicalparadoxisalogicalfoundationofmathematicsdevelopingendangerthewholetheoreticalsystemoffundamentalcontradiction.Thisfundamentalcontradictioncanshowacertainstageofdevelopmentthelimitationsofmathematicalsystembasedonlogic.Encouragepeopletoovercomethislimitation,promptingmathematicaldevelopment.Inordertobeabletoverygoodsolvesomemathproblems,alsohelpbeginnershaveacertaininterest,tolayasolidfoundationformathematics.Mainlythroughthedevelopmentofmathematicalanalysisandreviewofseveralmajormathematicalcrisisandthehistoryofmathematicsandsolvemathematicalparadoxforthedriveofthehistoryofmathematicsistoresearchanddevelopment.

Throughthestudyoftheorigin,developmentandmathematicalanalysisiswidelyusedandtheanalysisoftheoriginanddevelopmentofmathematicalparadoxtomathematicalanalysisofmainmathematicalparadox,howtosolvethemathematicalanalysisofmathematicalparadox.Mathematicalparadoxinmathematics,philosophy,logicandotherdisciplineiswidelyused,andhasgreatroletothedevelopmentofhistoryofmathematics.

KeyWords:

mathematicalparadox,mathematicalanalysis.

绪论

悖论在理科学，逻辑学，哲学中都有运用，在数学领域更是一次又一次的引起广泛关注，大批的数学家投身到数学悖论的研究中，检验并完善了某一理论体系，加固了理论的严谨性。

数学悖论，历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。

“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。

什么是悖论？

笼统地说，是指这样的推理过程：

它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。

出现了三次这样的数学危机。

第一次数学危机和希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关，直接动摇了毕达哥拉斯学派的信仰，对于帕索斯提出的边长为1的正方形的对角线智能用新数表示的荒谬做法其他成员竟然毫无办法，这导致了著名的第一次数学危机。

直到两百多年后的欧克多斯的出现，利用几何方法避免了无理数的出现。

最后无理数被彻底证明，在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

牛顿和莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。

两人的理论都建立在无穷小分析之上，对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的，这遭到贝克莱的强烈攻击，对于无穷小量是否为零这一问题在当时引起了一场混乱，这就是第二次数学危机。

经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。

最终在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。

直到微积分的出现完美的解决了第二次数学危机。

随着康托的集合论遭到罗素的质疑，第三次数学危机也诞生了，在策梅罗的公理化集合理论体系和ZF体系、NBG体系的出现，一步步的化解了第三次数学危机。

悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。

而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：

第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。

数学由此获得了蓬勃发展。

1关于数学悖论

1.1数学悖论的起源

1.1.1数学悖论的历史

悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和中国先秦时代。

"悖论"一词源于希腊文，意为"无路可走"，转义是"四处碰壁，无法解决问题"。

在古希腊时代，克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯（约公元前6世纪）发现的"说谎者悖论"可以算作人们最早发现的悖论。

公元前4世纪的欧布里德将其修改为"强化了的撒谎者悖论"。

在此基础上，人们构造了一个与之等价的"永恒的撒谎者悖论"。

埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.-430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍余波未息。

在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.-318B.C.）的"日方中方睨，物方生方死"、《庄子·天下篇》的"一尺之棰，日取其半，万世不竭";《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辩证的思想内容。

在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。

在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。

这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。

尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质。

在此之前，悖论只能引起人们的惊恐与不安;此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用。

特别是本世纪60、70年代以来，出现了研究悖论的热潮。

1.1.2数学悖论的概念

我国著名数学家徐利治教授指出:

"产生悖论的根本原因，无非是人的认识与客观实际以及认识客观世界的方法与客观规律的矛盾，这种直接和间接的矛盾在一点上的集中表现就是悖论。

"所谓主客观矛盾在某一点上的集中表现，是指由于客观事物的发展造成了原来的认识无法解释新现实，因而要求看问题的思想方法发生转换，于是在新旧两种思想方法转换的关节点上，思维矛盾特别尖锐，就以悖论的形式表现出来。

数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。

按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。

1.2数学悖论的发展

1.2.1数学悖论的特征

1）数学悖论问题相对存在

数学悖论是数学理论的相对产物，随着数学的发展与前进，数学悖论随之产生，不断地检验数学理论的相对真理性，也不断完善数学理论体系，加速数学的发展。

2）数学悖论问题可以解决

在一个看似完备的数学体系中，必然存在数学悖论问题，经过深入的剖析和发掘一定存在数学悖论，但在一个限定的范围中用数学符号或者几何的方法，根据悖论问题的特殊性，它应该可以得到解决。

3）数学悖论具有创新性

无论是历史问题还是近现代的一些数学问题，一开始都是颠覆性的对权威的数学家所提出的数学理论提出质疑，在数学家们纷纷奔赴于解决这类问题的路途中，越来越多的数学家用新鲜而又颇具说服力的方法对这类问题进行解决，从而使数学也一度更快更好的发展。

1.2.2三大数学悖论

1）毕达哥拉斯悖论

鼎盛年约在公元前531年,毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：

毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：

边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？

他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。

小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰（一切数均可表成整数或整数之比），使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。

对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：

任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！

可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！

这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！

它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。

正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。

很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。

不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他的《几何原本》中。

2）贝克莱悖论

数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。

笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：

就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。

但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。

十七世纪后期，艾萨克·牛顿（IsaacNewton）、戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（GottfriendWilhelmLeibniz,1646-1716）创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。

 1734年，大主教乔治·贝克莱（GeorgeBerkeley）“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。

在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。

例如他指责牛顿，为计算比如说x＾2的导数，先取一个不为0的增量Δx，由（x +Δx）＾2− x，得到2xΔx +（Δx），后再被Δx除，得到2x +Δx，最后突然令Δx =0，求得导数为2x。

这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。

因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。

因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。

贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。

直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。

柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。

无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。

3）罗素悖论

第三次数学危机，发生在十九世纪末。

当时英国数学家罗素把集合分成两种。

第一种集合：

集合本身不是它的元素，即AA；第二种集合：

集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。

那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。

假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。

如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。

如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。

以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。

由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。

从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。

首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。

即所谓ZF公理系统。

这场数学危机到此缓和下来。

数学危机给数学发展带来了新的动力。

在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。

然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。

1.3其他数学悖论

1.3.1“一尺之捶日取其半万世不竭”

这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。

二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。

战国名家宋国人惠施曾任梁国的宰相，是论辩奇才，庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。

他的著作多已亡佚只能从其他诸家的论述中看到他的言行段。

惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存与惠施有关的奇怪命题，例如“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等都可以说是悖论，但是大部份没有留下具体的争辩过程。

惠施的悖论在西方也很有影响。

毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。

他同哲学工作者谈话时说“列宁讲过，凡事可分。

举原子为例，不但原子可分，电子也可分。

”又说“电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的。

‘一尺之捶，日取其半，万世不竭’这是个真理。

不信就试试看。

如果有竭就没有科学了。

”

有人注意到毛泽东十分偏爱这句话，如五十年代中期对家钱三强，九十年代同周培源、于光远，一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道等等，都提到这句话。

1.3.2龟兔赛跑悖论

龟对兔说：

“你不要想追上我，我现在在你的前方1米，虽然你的速度是我的百倍，但等你追到我现在的地点时，我又向前爬了1厘米到C1点，等你追到C1点时，我已爬到距你1/100厘米的C2点，如此下去，你总在Cn点，我却在你的前方Cn+1点。

”兔子当然不服，可又说不过乌龟。

实际上比赛起来，用不了1秒钟，兔子已跑在乌龟的前面了。

1.3.3谷堆悖论

显然，1粒谷子不是堆;

如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆;

如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆;

……

如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆;

……

如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。

这就是令整个古希腊震惊一时的谷堆悖论。

从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。

它说明定义"堆"缺少明确的边界。

它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累中形成悖论。

从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一个模糊的"类"。

这是连锁（Sorites）悖论中的一个例子，归功于古希腊人Eubulides，后来的怀疑论者不承认它是知识。

"Soros"在希腊语里就是"堆"的意思。

最初是一个游戏:

你可以把1粒谷子说成是堆吗?

不能;你可以把2粒谷子说成是堆吗?

不能;你可以把3粒谷子说成是堆吗?

不能。

但是你迟早会承认一个谷堆的存在，你从哪里区分他们?

2关于数学分析

2.1数学分析产生的背景

2.1.1什么是数学分析

数学分析是数学专业和部分工科专业的必修课程之一，基本内容是以实数理论为基础微积分，但是与微积分有很大的差别。

微积分学是微分学（DifferentialCalculus）和积分学（IntegralCalculus）的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。

后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。

早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展，有很多数学家对这个理论持怀疑态度，柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，摆脱了"要多小有多小"、"无限趋向"等对模糊性的极限描述，使用精密的数学语言来描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为"MathematicalAnalysis"，中文译作"数学分析"。

数学分析的主要内容是微积分学，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。

实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。

正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系。

2.2数学分析的诞生与发展

数学分析的创立始于17世纪以牛顿（Newton，I.）和莱布尼茨（Leibnize，G.W）为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）为代表的奠基性工作。

从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析。

其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称。

时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之。

数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容。

微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法。

围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容。

积分学则从总体上研究微小变化（尤其是非均匀变化）积累的总效果，其基本概念是原函数（反导数）和定积分，求积分的过程就是积分法。

积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容。

牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式-牛顿-莱布尼茨公式-反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分学结合而成一门新的学科-微积分学。

又由于他们及一些后继学者（特别是欧拉（Euler））的贡献，使得本来仅为少数数学家所了解，只能相当艰难地处理一些个别具体问题的微分与积分方法，成为一种常人稍加训练即可掌握的近于机械的方法，打开了把它广泛应用于科学技术领域的大门，其影响所及，难以估量。

因此，微积分的出现与发展被认为是人类文明史上划时代的事件之一。

与积分相比，无穷级数也是微小量的叠加与积累，只不过取离散的形式（积分是连续的形式）。

因此，在数学分析中，无穷级数与微积分从来都是密不可分和相辅相成的。

在历史上，无穷级数的使用由来已久，但只在成为数学分析的一部分后，才得到真正的发展和广泛应用。

从19世纪初开始了一个一个把分析算术化（使分析成为一种像算术那样的演绎系统）为特征的新的数学分析的批判改造时期。

柯西于1821年出版的《分析教程》是分析严密化的一个标志。

在这本书中，柯西建立了接近现代形式的极限，把无穷小定义为趋于零的变量，从而结束了百年的争论。

在极限的基础上，柯西定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性（后来知道，波尔查诺（Bolzano）同时也做过类似的工作）。

进一步，狄利克雷于（Dirichlet）1837年提出了函数的严格定义，魏尔斯特拉斯引进了极限的ε-δ定义。

2.3数学分析的广泛运用