胡寿松版完整答案自动控制原理第五版课后习题答案.doc
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图2-1习题2-1质量－弹簧－摩擦系统示意图
2-1设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中为黏性摩擦系数，为弹簧系数，系统的输入量为力，系统的输出量为质量的位移。
试列出系统的输入输出微分方程。
解：
显然，系统的摩擦力为，弹簧力为，根据牛顿第二运动定律有
移项整理，得系统的微分方程为
图2-2习题2-2机械系统示意图
2-2试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。
解：
由牛顿第二运动定律，不计重力时，得
整理得
2-3求下列函数的拉氏变换。
（1）
（2）
（3）
解：
（1）
（2）
（3）
2-4求下列函数的拉氏反变换
（1）
（2）
（3）
解：
（1）
（2）
（3）
2-5试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程（设电容上的电压为，电容上的电压为，以此类推）。
图2-3习题2-5无源网络示意图
解：
（a）设电容上电压为，由基尔霍夫定律可写出回路方程为
整理得输入输出关系的微分方程为
（b）设电容、上电压为，由基尔霍夫定律可写出回路方程为
整理得输入输出关系的微分方程为
（c）设电阻上电压为，两电容上电压为，由基尔霍夫定律可写出回路方程为
（1）
（2）
（3）
（4）
（2）代入（4）并整理得
（5）
（1）、
（2）代入（3）并整理得
两端取微分，并将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为
2-6求图2-4中各无源网络的传递函数。
图2-4习题2-6示意图
解：
（a）由图得
（1）
（2）
（2）代入
（1），整理得传递函数为
（b）由图得
（1）
（2）
整理得传递函数为
（c）由图得
（1）
（2）
（3）
（4）
整理得传递函数为
图2-5习题2-7无源网络示意图
2-7求图2-5中无源网络的传递函数。
解：
由图得
整理得
2-8试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函数和。
解：
（a）
⑴求传递函数，按下列步骤简化结构图：
图2-6习题2-8系统结构图示意图
①令，利用反馈运算简化如图2-8a所示
图2-8a
②串联等效如图2-8b所示
图2-8b
③根据反馈运算可得传递函数
⑵求传递函数，按下列步骤简化结构图：
①令，重画系统结构图如图2-8c所示
图2-8c
②将输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示
图2-9d
③和串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e所示
图2-8e
④串并联合并如图2-8f所示
图2-8f
⑤根据反馈和串联运算，得传递函数
（b）求传递函数，按下列步骤简化结构图：
①将的引出端前移如图2-8g所示
图2-8g
②合并反馈、串联如图2-8h所示
图2-8h
③将的引出端前移如图2-8i所示
图2-8i
④合并反馈及串联如图2-8j所示
图2-8j
⑤根据反馈运算得传递函数
图2-7习题2-9系统结构图示意图
习题2-4无源网络示意图
2-9试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数。
解：
求传递函数，按下列步骤简化结构图：
①将的引出端前移如图2-9a所示
图2-9a
②合并反馈及串联如图2-9b所示
图2-9b
③合并反馈、串联如图2-9c所示
图2-9c
④根据反馈运算，得传递函数
2-10根据图2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数和。
解：
（a）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-10a所示。
图2-10a
（1）令，求系统传递函数
由信号流图2-10a可见，从源节点到阱节点之间，有一条前向通路，其增益为
有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
，，
与互不接触
流图特征式
由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式
根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为
（2）令，求系统传递函数
?
由信号流图2-10a可见，从源节点到阱节点之间，有两条前向通路，其增益为
，
有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
，
没有互不接触的回路，所以流图特征式为
由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式
，
根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为
（b）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-10b所示。
图2-10b
求系统传递函数
由信号流图2-10b可见，从源节点到阱节点之间，有一条前向通路，其增益为
有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
，，
与互不接触
流图特征式为
由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式
根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为
2-11根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数。
解：
根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。
如图2-11a所示
图2-11a
由信号流图2-11a可见，从源节点到阱节点之间，有一条前向通路，其增益为
有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为
，，
没有互不接触回路。
因此，流图特征式
由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式
根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为
3-2已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数：
（1）；
（2）；
（3）。
解：
（1）
（2）
（3）
3-3已知二阶系统的单位阶跃响应为，试求系统的超调量，峰值时间和调节时间。
解：
＝
由上式可知，此二阶系统的放大系数是10，但放大系数并不影响系统的动态性能指标。
由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为
所以有
解上述方程组，得
所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下
超调量
峰值时间
调节时间
3-4设单位负反馈系统的开环传递函数为，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解题过程：
由题意可得系统得闭环传递函数为
其中。
这是一个比例－微分控制二阶系统。
比例－微分控制二阶系统的单位阶跃响应为
故显然有
此系统得动态性能指标为
峰值时间
超调量
调节时间
3-5已知控制系统的单位阶跃响应为，试确定系统的阻尼比和自然频率。
解：
系统的单位脉冲响应为
系统的闭环传递函数为
自然频率
阻尼比
3-6已知系统特征方程为，试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。
解：
先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下
显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在右半平面有两个闭环极点。
因此，该系统不稳定。
再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。
显然，特征方程的各项系数均为正，则
显然，此系统不稳定。
3-7设单位负反馈系统的开环传递函数为，试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。
解：
由题得，特征方程是
列劳斯表
由题意，令所在行为零得
由行得
解之得，所以振荡角频率为
3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为，试确定系统稳定时的值范围。
解：
由题可知系统的特征方程为
列劳斯表如下
由劳斯稳定判据可得
解上述方程组可得
3-9系统结构如图3-1所示，，定义误差，
（1）若希望图a中，系统所有的特征根位于平面上的左侧，且阻尼比为0.5，求满足条件的的取值范围。
（2）求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。
（3）为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b所示，试求出合适的值。
（a）（b）
图3-1习题3-9示意图
解：
（1）闭环传递函数为
即
，代入上式得，
列出劳斯表，
（2），系统为I型系统∴
（3）
并没有改变系统的稳定性。
3-10已知单位反馈系统的开环传递函数：
（1）；
（2）
试求输入分别为和时，系统的稳态误差。
解：
（1）
由上式可知，该系统是型系统，且。
型系统在信号作用下的稳态误差分别为：
。
根据线性叠加原理有该系统在输入为时的稳态误差为，该系统在输入为时的稳态误差为
（2）
由上式可知，该系统是型系统，且。
型系统在信号作用下的稳态误差分别为：
。
根据线性叠加原理有该系统在输入为时的稳态误差为，该系统在输入为时的稳态误差为
3-11已知闭环传递函数的一般形式为
误差定义为。
试证，
（1）系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为
（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为
（3）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件
（4）求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系
解：
（1）
满足终值定理的条件，
即证
（2）
满足终值定理的条件，
即证
（3）对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为
同理可证
（4）系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。
3-12已知单位反馈系统的开环传递函数为：
（1）；
（2）；
（3）
试求位置误差系数，速度误差系数，加速度误差系数。
解：
（1）此系统是一个型系统，且。
故查表可得，，
（2）根据误差系数的定义式可得
（3）根据误差系数的定义式可得
3-13设单位反馈系统的开环传递函数
输入信号为
其中,,,i,,均为正数，a和b为已知正常数。
如果要求闭环系统的稳态误差<,其中,试求系统各参数满足的条件。
解：
首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征方程为
式中，,为系统的开环增益，各参数满足：
即稳定条件为
由于本例是I型系统，其,,故在作用下，其稳态误差
必有
于是，即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条件为
3-14设单位反馈系统的开环传递函数为。
试用动态误差系数法求出当输入信号分别为时，系统的稳态误差。
解：
系统的误差传递函数为
所以有
对上式进行拉氏反变换可得
（1）
当时，显然有
将上述三式代入
（1）式，可得
系统的稳态误差为
3-15假设可用传送函数描述温度计的特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的的数值。
如果给容器加热，使水温依的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大?
解：
由题意，该一阶系统得调整时间，但，所以。
系统输入为，可推得
因此可得
的稳态分量为
稳态误差为
所以，稳态误差为
3-16如图3-2所示的控制系统结构图，误差在输入端定义，扰动输入.
（1）试求时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。
（2）若,其结果又如何？
（3）在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节，对其结果有何影响？
在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节，对其结果又有何影响？
图3-2习题3-16示意图
解：
令，，
则代入
得
令，得扰动作用下的输出表达式：
此时的误差表达式为：
若在s右半平面上解析，则有
在扰动输入下的稳态输出为
代入的表达式，可得
（1）当时，
（2）当时，
可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。
（3）若加在扰动之前，则
得
若加在扰动之后，则
可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节，可以消除阶跃输入引起的稳态误差。
3-17设随动系统的微分方程为：
其中，为系统输出量，为系统输入量，为电动机机电时间常数，为电动机电磁时间常数，为系统开环增益。
初始条件全部为零，试讨论：
（1）、与之间关系对系统稳定性的影响
（2）当,,时，可否忽略的影响？
在什么影响下的影响可以忽略？
解：
（1）对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，得闭环系统特征方程
当均为正值时，且有
即时闭环系统稳定。
（2）由于，因此只有当
闭环系统才稳定，显然，对于,闭环不稳定。
此时若略去,
闭环特征方程为
上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。
如果
。
如果，则略去不会影响闭环稳定性。
对于本例，当时，不能忽略对稳定性的影响，否则可以忽略。
3-18设计题
飞机的自动控制，是一个需要多变量反馈方式的例子。
在该系统中，飞机的飞行姿态由三组翼面决定，分别是：
升降舵，方向舵和副翼，如附图3-3（a）所示。
飞行员通过操纵这三组翼面，可以使飞机按照既定的路线飞行。
这里所要讨论的自动驾驶仪是一个自动控制系统，它通过调节副翼表面来控制倾角，只要使副翼表面产生一个的变形，气压在这些表面上会产生一个扭矩，使飞机产生侧滚。
图3-3（a）飞机副翼模型图
飞机副翼是由液压操纵杆来控制的，后者的传递函数为。
测量实际的倾角，并与输入设定值进行比较，其差值被用来驱动液压操纵杆，而液压操纵杆则反过来又会引起副翼表面产生变形。
为简单化起见，这里假定飞机的侧滚运动与其他运动无关，其结构图如图3-3（b）所示，又假定，且角速率由速率陀螺将其值进行反馈，期望的阶跃响应的超调量，调节时间（以的标准），试选择合适的和值。
图3-3（b）飞机控制倾角结构图
解：
由于过阻尼响应缓慢，故通常不希望采用过阻尼系统，在本题中欠阻尼
因此，
计算可得
又因，，
由题计算可得，
故
图4-1习题4-1系统零极点分布图
4-1已知系统开环零极点分布如图4-1所示，试绘制相应的根轨迹图。
解：
图4-1a根轨迹图
（a）根轨迹的渐近线条数为
（b）根轨迹的渐近线条数为
（c）根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾斜角为，，
（d）根轨迹的渐近线条数为
（e）根轨迹的渐近线条数为
（f）根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾斜角为
4-2已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为：
（1）
（2）
（3）（4）
，画出各系统的根轨迹图。
解：
（1）按下列步骤绘制根轨迹：
①系统开环有限零点为；开环有限极点为
②实轴上的根轨迹区间为
③根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾角为
，，
渐近线与实轴的交点为
闭环系统根轨迹如下图4-2a所示
图4-2a闭环系统根轨迹图
（2）按下列步骤绘制根轨迹：
①系统没有开环有限零点；开环有限极点为
②实轴上的根轨迹区间为
③根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾角为
，，，
渐近线与实轴的交点为
④分离点方程为
解得分离点
闭环系统根轨迹如下图4-2b所示
图4-2b
（3）按下列步骤绘制根轨迹：
①系统没有开环有限零点；开环有限极点为
②实轴上根轨迹区间为
③根轨迹的渐近线条数为，，
④根轨迹的起始角：
复数开环有限极点处，
⑤分离点方程为
解得分离点
检查
时，
时，
皆为闭环系统根轨迹的分离点。
⑥确定根轨迹与虚轴的交点：
系统闭环特征方程为
列写劳斯表
当时，劳斯表出现全零行，辅助方程为
解得根轨迹与虚轴交点为。
根轨迹如下图4-2c所示：
图4-2c
（4）按下列步骤绘制根轨迹：
①系统开环有限零点为；开环有限极点为，，
②实轴上根轨迹区间为
③根轨迹的渐近线条数为，，
④分离点方程为
解得分离点
根轨迹如下图4-2d所示：
图4-2d
图4-2习题4-3系统零极点分布图
4-3给定系统如图4-2所示，，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。
解：
（1）作系统的根轨迹。
开环传递函数为
①开环极点为和，开环零点为和。
②所以实轴上的根轨迹区间为和。
③分离点方程
得分离点
检查
时，
时，
可得到根轨迹如下图4-3a所示
图4-3a
（2）分析增益对阻尼特性的影响。
从根轨迹图可以看出，对于任意，闭环系统都是稳定的，但阻尼状况不同。
增益较小时（）系统过阻尼；
增益很大时（），系统过阻尼；
增益中等时（），系统欠阻尼。
图4-3习题4-4系统结构图
4-4给定控制系统如图4-3所示，，试用系统的根轨迹图确定，速度反馈增益为何值时能使闭环系统极点阻尼比等于。
解：
（1）求系统的闭环特征方程并划成标准形式。
通过方块图变换或代数运算可以求得单位反馈系统的开环传递函数
因为可变参数不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程
改写为
即，上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为
的系统的闭环特征方程。
（2）根据作出根轨迹图。
有两个极点，一个零点，所以负实轴是根轨迹，而且其上有分离点。
将闭环特征方程改写为
由可以求得，其中在根轨迹上，对应增益为，故是实轴上的分离点。
根轨迹如图4-4a所示。
图4-4a
（3）求反馈增益。
首先要确定闭环极点。
设途中虚线代表，则闭环极点为根轨迹和该虚线的交点，由可得。
设
列出该点对应的辐角条件
经整理得
两边同取正切，整理得
解得，。
所以该闭环极点为。
再由
得速度反馈增益为。
4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为：
。
要求系统的闭环极点有一对共轭复数极点，其阻尼比为。
试确定开环增益，并近似分析系统的时域性能。
解：
根据绘制常规根轨迹的基本法则，作系统的概略根轨迹如图4-5a所示。
图4-5a
欲确定，需先确定共轭复极点。
设复极点为
根据阻尼比的要求，应保证
在图上作的阻尼线，并得到初始试探点的横坐标，由此求得纵坐标。
在处检查相角条件
不满足相角条件；修正，则，点处的相角为；再取，则，点处的相角为。
因此共轭复极点。
由模值条件求得
运用综合除法求得另一闭环极点为。
共轭复极点的实部与实极点的实部之比为，因此可视共轭复极点为系统的主导极点，系统的闭环传递函数可近似表示为
并可近似地用典型二阶系统估算系统的时域性能
4-6已知单位反馈系统的开环传递函数为：
试画出系统的根轨迹图，并分析系统的稳定时K的取值范围。
解：
由题得
开环极点：
和
开环零点：
分离、会合点：
从平面的零点、极点分布可知在区间内可能有分离、会合点。
记
由，可得
经整理后得到
用试探法或程序算得区间内的一个根为，它就是实轴上的分离点。
根轨迹自复数极点的出射角：
根轨迹趋向复数零点的入射角：
根轨迹与虚轴的交点：
闭环特征方程为
令，可得
由第二式得，代入第一式，得
解得
根据以上数据画根轨迹图，如图4-6a所示。
图4-6a根轨迹图
再分析系统得稳定情况：
根轨迹与虚轴第一个交点的频率为，
利用幅值条件可以计算出对应的增益
同样可以算得与和对应的增益
参看根轨迹图可知：
系统稳定时的取值范围为：
或
4-7已知单位反馈系统的开环传递函数为：
的变化范围是，试画出系统的根轨迹图。
解：
按下列步骤绘制根轨迹：
①系统没有开环有限零点；开环有限极点为
②实轴上的根轨迹区间为
③根轨迹的渐近线条数为，渐近线的倾角为
，，
渐近线与实轴的交点为
④分离点方程为
解得分离点
闭环系统根轨迹如下图4-7a所示
图4-7a
4-8已知反馈控制系统的开环传递函数为：
试画出和同时变化的根轨迹簇。
解：
（1）列写闭环特征方程。
闭环特征方
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