考研数学一命题人考点结构图.docx
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考研数学一命题人考点结构图
考研数学一命题人归纳每章知识结构图
第一部分高等数学
函数的概念
第一章函数、极限与连续性
函数
定义与性质
函数
极限
直接运用法则
函数极限与连续性
（四则运算、幂指数运算、代入法）
分别求左右极限
0∞
“”型或“”
未定式
0∞
求极限的方法
洛必达法则、变量替换与重要极限、泰勒公式、等阶无穷小因子替换
未他未定式（转化为“
0∞
”，或“”）
0∞
递归数列（xn+1=f（xn））
数列极限
n项和的数列
（恒等变形、夹逼法、化为定积分、级数求和）
n项积的数列
（恒等变形，转化为n项和）
一般情形
（转化为函数极限、恒等变形、夹逼法）
连续性
连续性与间断点的定义
高阶导数
对数求导法及幂指数求导法
导数与微分
第二章导数与微分
导数与微分的定义
⇐
可微⇔可导⇒连续
基本求导法则
基本求导法则
导数的计算与高阶导数
含参数方程所确定的函数的求导
分阶函数求导法
隐函数与反函数求导法
奇偶性与周期函数的导数性质
一阶微分形式不变法）
极大值、极小值
微分中值定理与导数的应用
几种微分中值定理
高阶导数的定义
（费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公定、柯西定理）
平面曲线的切线与法线
分部积分法
无理式的积分
不定积分的概念与性质
不定积分
定义
基本公式
分项积分法
换元积分法
反常积分
几何应用
平面图形的面积、平面图形的形心
变力做功
定积分的计算
若干基本的反常积分的敛散性
积分法则+极限运算法则
常用的变量代换
常用的凑微分
变限积分所定义的函数的连续性，可导性及可导公式
华顿—莱布尼茨公式
无穷积分与瑕积分
反常积分
、
向量的基本概念及其表示法
向量代数
平面与直线
曲面与曲线
空间曲线在坐标平面上投影的方程
二次曲面的标准方程及图形
柱面与旋转面的求法
曲线与曲面的概念及表示法
点到直线、平面的距离公式
判断平面、直线间的位置关系
如何求平面与直线方程
应用
特征性质
运算规律
运算性质
定义
向量代数与空间解析几何
二元函数的几何意义
有界闭区间连续函数的性质
二元函数的极限、连续性的定义
隐函数求导公式
多元函数及其极限与连续性
偏导数、全微分方向导数与梯度的定义
求初等函数的偏导数与全微分
两个偏导数连续
可微
多元函数的微分与应用
⇒
⇒函数存在
⇐⇐偏导数
连续
⇓⇑
二元函数的极值与二元函数泰勒公式
基本概念、性质
在直角坐标系中化多元函数为定积分
二重积分化为二定次积分公式
三重积分化为一次定积分与一次二重积分
重积分
计算公式
重积分变量替换
二重积分的极坐标变换面积微元dσ=rdrdθ
三重积分柱坐标变换，体积微元dV=rdrdθdz
三重积分球坐标变换、体积微元dV=ρ2sinϕdρdϕdθ
多元函数积分学
几何应用
应用
物理应用
平面图形面积、体积质量、质心、转动惯量
基本概念、性质对弧长曲线积分、对坐标曲线积分、对面积曲面积分、对坐标曲面积分
两类线积分的关系、两类面积分的关系
一、二类曲线积分化为定积分公式
曲线积分、曲面积分及场论初步
计算公式
一类曲面积分化为二重积分公式
二类曲面积分化为一类曲面积分再化为二重积分公式曲线积分与路径无关的条件
几何应用
应用
物理应用
曲面面积、弧长流量、引力、功
多元函数积分学三个基本公式
格林公式高斯公式
斯托克斯公式
公式的表述与理解
物理意义散度与旋度
平面区域的面积、空调区域的体积的线面积分表示
公式的应用
各类积分之间的相互转化以简化计算
幂级数收敛性的特点
无穷级数
直接法（幂级数展开的充分条件与充要条件）
傅里叶级数
定义
性质
由收敛的必要条件
收敛条件、比较判别法（比
较原理及其极限形式、根值比值判别法、确定级数通项关于
求定义在[0,l]上函数的正弦，余弦级数
求定义在[-l,l]上函数的傅里叶级数
按定义转化幂级数求和
条件收敛
绝对收敛
交错级数，莱布尼茨法则，一般情形
已知函数表达式，求它的傅里叶级数和函数表达式
基本概念
一阶微分方程
伯努力方程
解的叠加原理
可降阶的高阶微分方程
可化为求解微分方程的情形（含变限积分的方程）
基本概念
几何应用
利用牛顿第二定律，质点运动的轨迹，微元分析法
利用定积分的几何意义、利用导数的几何意义、利用变化率满足的规律
欧拉方程
常微分方程
n阶行列式
代数余子式
行列式
第二部分线性代数第一章行列式
定义
行列式与转置行列式相等
计算
定义
概念
列矩阵
行矩阵
对称矩阵
单位矩阵
m×n个数排成n行n列的表格
定义
伴随矩阵
矩阵
对角矩阵
伴随矩阵
正交矩阵
反对称矩阵
A+B，kA，AB，AT
定义
极大线性无关组
向量组与矩
阵的秩
矩阵的秩
概念
坐标
n维向量空间
向量组的秩
求法
概念
阶梯形向量组
定义
运算
某个向量αi可由其余向量表出
充要条件
充分条件
概念
齐次方程组（α1，α2，…αs）x=0有解
充要条件
概念
向量
多数向量可由少数向量表出
n+1个n维向量
齐次方程组（α1，α2，…αs）x=0有解
向量组的线性相与线性无关
所形成行列式为0
加法，数乘，内积
关
线性方程组
r（A）线性方程组解的结构与判定
线性方程组
概念
解的结构
Ax=0有非零解
第五章矩阵的特征值与特征向量
定义
矩阵的特征值与特征向量
不同特征值的特征向量线性无关
性质
k重特征值至少有k个线性无关的特征向量
nnn
∑λi=∑aii,∏λi=A
特征值
i=1
i=1
i=1
定义法
特征多项式λE-A=0
定义法
矩阵的特征值与特征向量
与对角矩阵相似
特性
实对称矩阵
可用正交矩阵对角化
r（λiE-A）=n-ni
nn
相似矩阵与矩阵可对角化
性质（必要条件）
PAP=B
定义
λE-A=λE-B
∑aii=∑bii
i=1i=1
r（A）=r（B）
A=B
充要条件
可对角化
A有n个线性无关的特征向量
A是实对称矩阵
充分条件
A有n个不同的特征值
A是实对称矩阵
第六章二次型
二次型及其矩阵表示
二次型的秩
xTAx
xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数
∼
惯性定理
定义
二次型和它的标准形
A～B
正、负惯性指数
配方法
二次型
特征值相似
定义
xTAx＞0（x≠0）
正惯性指数p=n
正定二次型
与正定矩阵
CTAc=E，C可逆
判定条件
特征值都大于0
存在可逆矩阵C，A=CTC
顺序主子式全大于0
性质
可逆
AT,Am,A-1,Ay,kA都是正定矩阵
若B也为n阶正定矩阵，A+B为正定矩阵
第三部分概率论与数理统计第一章随机事件和概率
随机事件的概念
基本事件，样本空间，必然事件，不可能事件
概念
包含，相等，互不相容，对立，完备事件组
关系
两两独立，相互独立
随机事件
相互独立必必两两独立
若干个对立事件仍相互独立
随机事件和概率
不含相同事件的事件组相互独立
运算
形式
加（并），交（积），减，逆
法则
交换，结合，分配，对偶，吸收，分解
定义
公理化定义，统计定义，古典定义，几何定义
非负，有界，单调不减有限可加
加法公式，减法公式，求逆公式
定义
n重伯努利概型
等可等概型
乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式
古典概型几何概型
随机变量
定义
定义
定义
随机变量及其
概率分布
离散型，连续型等基本型的线性回合
定义
离散型的概率分布
定义
定义法（分布函数法）、公式法
离散型
0-1分布，二项分布，几何分布，超几何分布，泊松分布均匀分布、指数分布、正态分布
和分布积分布，max（X,Y）分布，min（X,Y）分布
中心矩，原点矩
计算方法
常用数学特征
定义法
由随机变量的分布直接定义公式计算
性质法
常用线性化简后再计算
切比雪夫大数定律
切比雪夫不等
大数定律和中心极限定理
大数定律
中心极限定理
辛钦大数定律
伯努力大数定律
棣莫弗拉普拉斯中心极限定理
列维林德伯格定理
依概率收敛（P-收敛
定义
性质
总体
随机变量X,Y…
容量为n的简单随机样本
两重样
定义
n个相互独立且与总体同分布的随机变量样本
统计量
常用统计量
样本均值样本方差
样本值
样本均方差
样本k阶原点矩
χ2分布、性质、分位数
样本k阶中心矩
抽样分布
正态总体下常用统计量
概率密度
第七章参数估计
定义
矩估计
定义，求法，性质
点估计
定义，性质，求法
估计量的优劣性
无偏性
有效性（最小方差性）
参数估计
相合性（一致性）
基本概念
关键是构造含样本不未知参数的随机变量
单个正态总体
期望H的置信区间（σ2已知，未知）
总体参数的置信区间
方差σ2的置信区间（H已知，未知）
两个正态总体
期望差H1-H2的置信区间
ξ2
σ
方差比1的置信区间
2
第八章假设检验
原假设与备择假设，检验统计量两类错误
基本概念
假设检验的步骤
假设的基本思想与原理
单个正态总体
均值检验法
方差检验法
两个正态总体
均值检验法
方差检验法
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