∵a和a+1是相邻的两个正整数,a(a+1)+1介于它们的平方之间
∴a(a+1)+1不是完全平方数
例题4.求证:
(n>1的正整数)不是完全平方数
证明:
根据奇数的平方数除以4必余1,即(2k+1)2=4(k+1)+1.
但
=
=4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3
即
除以4余数为3,而不是1,
∴它不是完全平方数.
例题5.求证:
任意两个奇数的平方和,都不是完全平方数.
证明:
设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.
∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1
=4(a2+b2+a+b)+2.
这表明其和是偶数,但不是4的倍数,
故任意两个奇数的平方和,都不可能是完全平方数.
三.魔术数:
将自然数N接写在每一个自然数的右面,如果所得到的新数,都能被N整除,那么N称为魔术数.常见的魔术数有:
a)能被末位数整除的自然数,其末位数是1,2,5 (即10的一位正约数是魔术数)
b)能被末两位数整除的自然数,其末两位数是10,20,25,50(即100的两位正约数也是魔术数))
c)能被末三位数整除的自然数,其三末位数是100,125,200,250,500(即1000的三位正约数也是魔术数)
练习:
30.在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.
(1986年全国初中数学联赛题)
四.两个连续自然数,积的个位数只有0,2,6;和的个位数只有1,3,5,7,9.
练习:
31.已知:
n是自然数,且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积,那么n的值是:
___________________.(1985年上海初中数学竞赛题)
丁.质数、合数
1.正整数的一种分类:
2.质数中,偶数只有一个是2,它也是最小的质数.
3.互质数:
是指公约数只有1的两个正整数.相邻的两个正整数都是互质数.
例题:
试写出10个连续自然数,个个都是合数.
解:
答案不是唯一的,其中的一种解法是:
令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11
那么A+2,A+3,A+4,A+5,A+6,A+7,A+8,A+9,A+10,A+11就是10个连续数,且个个都是合数.
一般地,要写出n个连续自然数,个个是合数,可用
令m=n+1,那么m!
+2,m!
+3,m!
+4,+……+m!
+n+1就是所求的合数.
∵m!
+i(2≤i≤n+1)有公约数i.
练习:
32.已知质数a,与奇数b的和等于11,那么a=___,b=___.
33.两个互质数的最小公倍数是72,若这两个数都是合数,那么它们分别等于____,____.
34.写出10个连续正奇数,个个都是合数,可设m=(10+1)×2,m!
=22!
那么所求的合数是22!
+3,_____,____,____,……
35.写出10个连续自然数,个个都是合数,还可令N=2×3×5×7×11.
(这里11=10+1,即N是不大于11的质数的积).那么N+2,N+3,N+4,……N+11就是所求的合数.这是为什么?
如果要写15个呢?
36.已知:
x, m, n都是正整数.求证:
24m+2+x4n是合数.
戊.奇数和偶数
1.整数的一种分类:
2.运算性质:
奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,奇数+偶数=奇数.
奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数.
(奇数)正整数=奇数,(偶数)正整数=偶数.
4.其他性质:
①两个连续整数必一奇一偶,其和是奇数,其积是偶数.
②奇数的平方被4除余1;偶数的平方能被4整除;除以4余2或3的整数
不是平方数.
a)2n(n为正整数)不含大于1的奇因数.
b)若两个整数的和(差)是奇数,则它们必一奇一偶.
c)若n个整数的积是奇数,则它们都是奇数.
例1.设m与n都是正整数,试证明m3-n3为偶数的充分必要条件是m-n为偶数.
证明:
∵m3-n3=(m-n)(m2+mn+n2).
当m-n为偶数时,不论m2+mn+n2是奇数或偶数,m3-n3都是偶数;
∴m-n为偶数是m3-n3为偶数的充分条件.
当m-n为奇数时,m,n必一奇一偶,m2,mn,n2三个数中只有一个奇数,
∴m2+mn+n2是奇数,从而m3-n3也是奇数.
∴m-n为偶数,是m3-n3为偶数的必要条件.
综上所述m3-n3为偶数的充分必要条件是m-n为偶数.
例2.求方程x2-y2=1990的整数解.
解:
(x+y)(x-y)=2×5×199.
若x,y同是奇数或同是偶数,则x+y,x-y都是偶数,其积是4的倍数,但1990不含4的因数,∴方程左、右两边不能相等.
若x,y为一奇一偶,则x-y,x+y都是奇数,其积是奇数,但1990不是奇数,∴方程两边也不能相等.
综上所述,不论x,y取什么整数值,方程两边都不能相等.
所以原方程没有整数解
本题是根据整数的一种分类:
奇数和偶数,详尽地讨论了方程的解的可能性.
练习:
37.设n为整数,试判定n2-n+1是奇数或偶数.
38.1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数,为什么?
39.有四个正整数的和是奇数,那么它们的立方和,不可能是偶数,试说明理由.
40.求证:
方程x2+1989x+9891=0没有整数根.
41.已知:
求证:
n是4的倍数.
42.若n是大于1的整数,p=n+(n2-1)
试判定p是奇数或偶数,或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)
已.按余数分类
1.整数被正整数m除,按它的余数可分为m类,称按模m分类.
如:
模m=2,可把整数分为2类:
{2k},{2k+1}k为整数,下同
模m=3,可把整数分为3类:
{3k},{3k+1},{3k+2}.
……
模m=9,可把整数分为9类:
{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.
2.整数除以9的余数,与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.
如:
6372,5273,4785各位数字和除以9的余数分别是0,8,6.那么这三个数除以9的余数也分别是0,8,6.
3.按模m分类时,它们的余数有可加,可乘,可乘方的性质.
如:
若a=5k1+1, b=5k2+2.
则a+b除以5余数是3(1+2);
ab除以5余2 (1×2);
b2除以5余4 (22).
例1.求19891989除以7的余数.
解:
∵19891989=(7×284+1)1989,
∴19891989≡11989≡1(mod7).
即19891989除以7的余数是1.
练习:
43.今天是星期一,99天之后是星期________.
44.n个整数都除以n-1,至少有两个是同余数,这是为什么?
45.a是整数,最简分数
化为小数时,若为循环小数,那么一个循环节最多有几位?
4.运用余数性质和整数除以9的余数特征,可对四则运算进行检验
例2.下列演算是否正确?
①12625+9568=21193; ②2473×429=1060927.
解:
①用各位数字和除以9,得到余数:
12625,9568,21193除以9的余数分别是7,1,7.
∵7+1≠7,∴演算必有错.
②2473,429,1060927除以9的余数分别是7,6,7.
而7×6=42,它除以9余数为6,不是7,故演算也有错.
注意:
发现差错是准确的,但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.
练习:
46.检验下列计算有无差错:
①372854-83275=289679; ②23366292÷6236=3748.
5.整数按模分类,在证明题中的应用
例3.求证:
任意两个整数a和b,它们的和、差、积中,至少有一个是3的倍数.
证明:
把整数a和b按模3分类,再详尽地讨论.
如果a,b除以3,有同余数(包括同余0、1、2),那么a,b的差是3的倍数;
如果a,b除以3,余数不同,但有一个余数是0,那么a,b的积是3的倍数;
如果a,b除以3,余数分别是1和2,那么a,b的和是3的倍数.
综上所述任意两个整数a,b,它们的和、差、积中,至少有一个是3的倍数.
(分类讨论时,要求做到既不重复又不违漏)
例4.已知:
p≥5,且p和2p+1都是质数.
求证:
4p+1是合数.
证明:
把整数按模3分类.即把整数分为3k,3k+1,3k+2(k为整数)三类讨论
∵p是质数,∴不能是3的倍数,即p≠3k;
当p=3k+1时,2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴2p+1不是质数,即p≠3k+1;
只有当质数p=3k+2时,2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.
∴2p+1也是质数,符合题设.
这时,4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数.证毕
练习:
47.已知:
整数a不能被2和3整除.求证:
a2+23能被24整除.
48.求证:
任何两个整数的平方和除以8,余数不可能为6.
49.若正整数a不是5的倍数.则a8+3a4-4能被100整除.
50.已知:
自然数n>2求证:
2n-1和2n+1中,如果有一个是质数,则另一个必是合数.
51.设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,至少有一个能被10整除.(1986年全国初中数学联赛题)
庚.整数解
1.二元一次方程ax+by=c的整数解:
当a,b互质时,若有一个整数的特解
那么可写出它的通解
2.运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质
整数±整数=整数,整数×整数=整数,
整数÷(这整数的约数)=整数,(整数)自然数=整数
3.一元二次方程,用求根公式,根的判别式,韦达定理讨论整数解.
4.根据已知条件讨论整数解.
例1.小军和小红的生日.都在10月份,且星期几也相同,他们生日的日期的和等于34,小军比小红早出生,求小军的生日.
解:
设小军和小红的生日分别为x,y,根据题意,得
(k=1,2,3,4)2x=34-7kx=17-
k=1,3时,x没有整数解;
当k=2时,
当k=4时,
(10月份没有31日,舍去)
∴小军的生日在10月10日
例2.如果一个三位数除以11所得的商,是这个三位数的各位上的数的平方和,试求符合条件的所有三位数.(1988年泉州市初二数学双基赛题)
解:
设三位数为100a+10b+c,a,b,c都是整数,0那么
,且-8要使a-b+c被11整除,其值只能是0和11.
(1)当a-b+c=0时,得9a+b=a2+b2+c2.
以b=a+c代入,并整理为关于a的二次方程,得
2a2+2(c-5)a+2c2-c=0
根据韦达定理
这是必要而非充分条件.
∵5-c>0, 以c=0,1,2,3,4 逐一讨论a的解.
当 c=2, 4时,无实数根; 当c=1, 3时,无整数解;
只有当c=0时,a=5;或 a=0.(a=0不合题意,舍去)
∴只有c=0, a=5, b=5适合
∴所求的三位数是550;
(2)当a-b+c=11时,得9a+b+1=a2+b2+c2.
以b=a+c代入,并整理为关于a的二次方程,得
2a2+2(c-16)a+2c2-23c+131=0.
仿
(1)通过韦达定理,由c的值逐一以讨论a的解.
只有当c=3时,a=8,b=0适合所有条件.
即所求三位数为803.
综上所述,符合条件的三位数有550和803.
练习:
52.正整数x1,x2,x3,……xn满足等式x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x4x5
那么 x5的最大值是________. (1988年全国初中数学联赛题)
53.如果p,q,
都是整数,.且p>1,q>1,试求p+q的值.
(1988年全国初中数学联赛题)
54.能否找到这样的两个正整数m和n,使得等式m2+1986=n2成立.试说出你的猜想,并加以证明.
(1986年泉州市初二数学双基赛题)
55.当m取何整数时,关于x的二次方程m2x2-18mx+72=x2-6x的根是正整数,并求出它的根.
(1988年泉州市初二数学双基赛题)
56.若关于x的二次方程(1+a)x2+2x+1-a=0的两个实数根都是整数,那么a的取值是________________.(1989年泉州市初二数学双基赛题)
57.不等边三角形的三条边都是整数,周长的值是28,最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1,适合条件的三角形共有____个,它们的边长分别是:
______________________________________________________________.
58.直角三角形三边长都是整数,且周长的数值恰好等于面积的数值,求各边长.
59.鸡翁一,值钱;,鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?
60.甲买铅笔4支,笔记本10本,文具盒1个共付1.69元,乙买铅笔3支,笔记本7本,文具盒1个共付1.26元,丙买铅笔、笔记本、文具盒各1,应付几元?
若1×2×3×4×……×99×100=12n×M,其中M为自然数,n为使得等式成立的最大自然数,则M是()
(A).能被2整除,不能被3整除.(B).能被3整除,但不能被2整除.
(C).被4整除,不能被3整除.(D).不能被3整除,也不能被2整除.
(1991年全国初中数学联赛题)
初三下70参考答案
练习70
1.9+90×2+900×3+990×4=6849
2.28937956
3.30,300,3×10n-14.50, 33, 476, 317. 5.2550 6.2500. 7.1050
1.1717. 9.奇数(1+1989)×
.
10有两组:
18,19,20,21,22; 9,10,11,12,