圆与相似的结合资料讲解.docx
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圆与相似的结合资料讲解
圆与相似的结合
1.如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F.
(1)求证:
直线DE是⊙O的切线;
(2)当AB=5,AC=8时,求cosE的值.
2.已知:
如图,AC⊙O是的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,∠PBA=∠C.
(1)求证:
PB是⊙O的切线;
(2)若OP∥BC,且OP=8,BC=2.求⊙O的半径.
3.如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证:
∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的长;
(3)求证:
BE是⊙O的切线。
4.如图,AB是半圆O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点C,BD⊥PD,垂足为D,连接BC.
(1)求证:
BC平分∠PDB;
(2)求证:
BC2=AB•BD;
(3)若PA=6,PC=6
,求BD的长.
5.如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O直径,作∠CAD=∠B,且点D在BC的延长线上,CE⊥AD于点E.
(1)求证:
AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为8,CE=2,求CD的长.
6.如图,AD是△ABC的角平分线,以点C为圆心,CD为半径作圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,EF:
FD=4:
3.
(1)求证:
点F是AD的中点;
(2)求cos∠AED的值;
(3)如果BD=10,求半径CD的长.
7.如图,已知在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.
(1)求证:
PA是⊙O的切线;
(2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG•AB=12,求AC的长;
(3)在满足
(2)的条件下,若AF:
FD=1:
2,GF=1,求⊙O的半径及sin∠ACE的值.
参考答案
1.
(1)证OD⊥DE即可。
(2)cosE=
【解析】
试题分析:
如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F.
连结OD。
易知OA=OD=r,且AB=BC,∴∠OAD=∠ODA=∠C
所以OD∥CB。
所以∠ODE=∠BFE=90°。
所以OD⊥DE,垂足为D。
所以直线DE是⊙O的切线。
(2)当AB=5,AC=8时,求cosE的值.
解:
连结BD。
由
(1)知OD⊥DE,又因为∠ADB=90°(直径所对圆周角)
所以∠ADO+∠ODB=∠ODB+∠BDE。
因为OD∥CB,则∠ODB=∠DBO=∠DBF
所以Rt△ADB∽Rt△DFB。
则
,已知AB=BC,BD⊥AC。
所以AD=
AC=4.
所以在Rt△ADB中,BD=3.故3×3=5×BF,解得BF=
。
易知Rt△EDO∽Rt△EFB
则
,解得BE=
所以在Rt△EFB中,cosE=
考点:
圆及相似三角形等
点评:
本题难度较大,主要考查学生对圆的切线问题与三角形相似判定与性质的掌握。
为中考常考题型要牢固掌握。
2.解:
(1)证明:
连接OB,
∵AC是⊙O直径,∴∠ABC=90°。
∵OC=OB,∴∠OBC=∠ACB。
∵∠PBA=∠ACB,∴∠PBA=∠OBC。
∴∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°。
∴OB⊥PB。
∵OB为半径,∴PB是⊙O的切线。
(2)设⊙O的半径为r,则AC=2r,OB=R,
∵OP∥BC,∠OBC=∠OCB,∴∠POB=∠OBC=∠OCB。
∵∠PBO=∠ABC=90°,∴△PBO∽△ABC。
∴
,即
,解得
。
∴⊙O的半径为
。
【解析】
试题分析:
(1)连接OB,求出∠ABC=90°,∠PBA=∠OBC=∠OCB,推出∠PBO=90°,根据切线的判定推出即可。
(2)证△PBO和△ABC相似,得出比例式,代入求出即可。
3.解:
(1)证明:
∵BD=BA,∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BCA=∠BDA(圆周角定理),
∴∠BCA=∠BAD。
(2)∵∠BDE=∠CAB(圆周角定理),∠BED=∠CBA=90°,
∴△BED∽△CBA,∴
。
∵BD=BA=12,BC=5,∴根据勾股定理得:
AC=13。
∴
,解得:
。
(3)证明:
连接OB,OD,
在△ABO和△DBO中,∵
,
∴△ABO≌△DBO(SSS)。
∴∠DBO=∠ABO。
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC,∴∠DBO=∠BDC。
∴OB∥ED。
∵BE⊥ED,∴EB⊥BO。
∴OB⊥BE。
∵OB是⊙O的半径,∴BE是⊙O的切线。
【解析】
试题分析:
(1)根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD,再由圆周角定理∠BCA=∠BDA即可得出结论。
(2)判断△BED∽△CBA,利用对应边成比例的性质可求出DE的长度。
(3)连接OB,OD,证明△ABO≌△DBO,推出OB∥DE,继而判断OB⊥DE,可得出结论。
4.解:
(1)证明:
连接OC,
∵PD为圆O的切线,∴OC⊥PD。
∵BD⊥PD,∴OC∥BD。
∴∠OCB=∠CBD。
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC。
∴∠CBD=∠OBC,即BC平分∠PBD。
(2)证明:
连接AC,
∵AB为圆O的直径,∴∠ACB=90°。
∵∠ACB=∠CDB=90°,∠ABC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD。
∴
,即BC2=AB•BD。
(3)∵PC为圆O的切线,PAB为割线,∴PC2=PA•PB,即72=6PB,解得:
PB=12。
∴AB=PB-PA=12-6=6。
∴OC=3,PO=PA+AO=9。
∵△OCP∽△BDP,∴
,即
。
∴BD=4。
【解析】
(1)连接OC,由PD为圆O的切线,由切线的性质得到OC垂直于PD,由BD垂直于PD,得到OC与BD平行,利用两直线平行得到一对内错角相等,再由OC=OB,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换即可得证。
(2)连接AC,由AB为圆O的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形,根据一对直角相等,以及
(1)的结论得到一对角相等,确定出△ABC与△BCD相似,由相似得比例,变形即可得证。
(3)由切割线定理列出关系式,将PA,PC的长代入求出PB的长,由PB﹣PA求出AB的长,确定出圆的半径,由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似,由相似得比例,将OC,OP,以及PB的长代入即可求出BD的长。
5.解:
(1)证明:
连接OA,
∵BC为⊙O的直径,∴∠BAC=90°。
∴∠B+∠ACB=90°。
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA。
∵∠CAD=∠B,∴∠CAD+∠OAC=90°,即∠OAD=90°。
∴OA⊥AD。
∵点A在圆上∴AD是⊙O的切线。
(2)∵CE⊥AD,∴∠CED=∠OAD=90°。
∴CE∥OA。
∴△CED∽△OAD。
∴
。
∵CE=2,设CD=x,则OD=x+8,
∴
,解得x=
。
经检验x=
是原分式方程的解,∴CD的长为
。
【解析】
试题分析:
(1)连接OA,证明OA⊥AD即可。
(2)由△CED∽△OAD得比例式
,求解即可。
6.解:
(1)证明:
如图,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2。
∵∠ADE=∠1+∠B,∠DAE=∠2+∠3,且∠B=∠3,
∴∠ADE=∠DAE。
∴ED=EA。
∵ED为⊙O直径,∴∠DFE=90°。
∴EF⊥AD。
∴点F是AD的中点。
(2)连接DM,
∵EF:
FD=4:
3,∴设EF=4k,FD=3k。
∴在Rt△DEF中,根据勾股定理理,得ED=5k。
∴AE=ED=5k,AD=2FD=6k。
∵
AD•EF=
AE•DM,∴
。
在Rt△DEM中,根据勾股定理理,得
,
∴
。
(3)∵∠B=∠3,∠AEC为公共角,∴△AEC∽△BEA。
∴AE:
BE=CE:
AE,即AE2=CE•BE。
∴由
(2)设定得,(5k)2=
k•(10+5k)。
∵k>0,∴k=2。
∴CD=
k=5。
【解析】
试题分析:
(1)由AD是△ABC的角平分线,∠B=∠CAE,易证得∠ADE=∠DAE,即可得ED=EA,又由ED是直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得EF⊥AD,由等腰三角形三线合一的性质,即可判定点F是AD的中点。
(2)连接DM,设EF=4k,DF=3k,然后由勾股定理求得ED的长,继而求得DM与ME的长,由余弦的定义,即可求得答案。
(3)易证得△AEC∽△BEA,然后由相似三角形的对应边成比例,可得方程:
(5k)2=
k•(10+5k),解此方程即可求得答案。
7.解:
(1)证明:
连接CD,
∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°。
∴∠CAD+∠ADC=90°。
又∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA,
∴∠PAC=∠ADC。
∴∠CAD+∠PAC=90°。
∴PA⊥OA。
又∵AD是⊙O的直径,∴PA是⊙O的切线。
(2)由
(1)知,PA⊥AD,
又∵CF⊥AD,∴CF∥PA。
∴∠GCA=∠PAC。
又∵∠PAC=∠PBA,∴∠GCA=∠PBA。
又∵∠CAG=∠BAC,∴△CAG∽△BAC。
∴
,即AC2=AG•AB。
∵AG•AB=12,∴AC2=12。
∴AC=
。
(3)设AF=x,
∵AF:
FD=1:
2,∴FD=2x。
∴AD=AF+FD=3x。
在Rt△ACD中,∵CF⊥AD,∴AC2=AF•AD,即3x2=12。
解得;x=2。
∴AF=2,AD=6。
∴⊙O半径为3。
在Rt△AFG中,∵AF=2,GF=1,
∴根据勾股定理得:
。
由
(2)知,AG•AB=12,∴
。
连接BD,
∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°。
在Rt△ABD中,∵sin∠ADB=
,AD=6,
∴sin∠ADB=
。
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,∴sin∠ACE=
。
【解析】
试题分析:
(1)根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案。
(2)首先得出△CAG∽△BAC,进而得出AC2=AG•AB,求出AC即可;
(3)先求出AF的长,根据勾股定理得
即可得出sin∠ADB=
,利用∠ACE=∠ACB=∠ADB,求出即可。