高考数学考点测试63二项分布及其应用Word文档下载推荐.docx

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C．第二次的点数是奇数D．两次得到的点数和是12

解析　事件“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于事件“两次得到的点数和是12”，由于第一次得到6点，所以第二次也是6点，故不相互独立．故选D．

5．设随机变量X～B6，，则P（X＝3）＝（　　）

解析　X～B6，，由二项分布可得，P（X＝3）＝

C3·

1－3＝．

6．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：

在10箱中各任意抽查一枚；

方法二：

在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2，则（　　）

A．p1＝p2B．p1<

p2

C．p1>

p2D．以上三种情况都有可能

答案　B

解析　由已知条件可得p1＝1－10＝1－5，p2＝1－5＝1－5＝1－5，∴p1<

p2，故选B．

7．甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是．现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（　　）

解析　设甲射击命中目标为事件A，乙射击命中目标为事件B，丙射击命中目标为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．又P（）＝P（）P（）·

P（）＝[1－P（A）][1－P（B）][1－P（C）]＝1－×

1－×

1－＝．∴三人同时射击目标，击中目标的概率P＝1－P（）＝．

8．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是（　　）

A．[0．4，1]B．（0，0．4]

C．（0，0．6]D．[0．6，1]

解析　设事件A在一次试验中发生的概率为p，则

Cp（1－p）3≤Cp2（1－p）2，解得p≥0．4．故选A．

9．某次知识竞赛规则如下：

在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．

答案　0．128

解析　此选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×

0．2×

0．82＝0．128．

二、高考小题

10．（2015·

全国卷Ⅰ）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）

A．0．648B．0．432C．0．36D．0．312

解析　由条件知该同学通过测试，即3次投篮投中2次或投中3次．故所求概率P＝C0．62（1－0．6）＋C0．63＝0．648．故选A．

11．（2018·

全国卷Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D（X）＝2．4，P（X＝4）<

P（X＝6），则p＝（　　）

A．0．7B．0．6C．0．4D．0．3

解析　∵D（X）＝np（1－p），∴p＝0．4或p＝0．6．

∵P（X＝4）＝Cp4（1－p）6<

P（X＝6）＝Cp6（1－p）4，∴（1－p）2<

p2，可知p>

0．5．故选B．

三、模拟小题

12．（2018·

广西柳州调研）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A＝“至少有一次出现反面”，事件B＝“恰有一次出现正面”，则P（B|A）＝（　　）

解析　依题意得P（A）＝1－＝，P（AB）＝＝，因此P（B|A）＝＝．故选A．

13．（2018·

广东汕头模拟）甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（　　）

解析　根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×

1－＋×

1－＝．故选D．

14．（2018·

福建厦门二模）袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是（　　）

解析　袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次抽到黄球的概率P1＝，

∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P＝C21－＝．

15．（2018·

河北唐山二模）甲、乙等4人参加4×

100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（　　）

解析　甲不跑第一棒共有A·

A＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：

（1）乙跑第一棒，共有A＝6种情况；

（2）乙不跑第一棒，共有A·

A·

A＝8种情况．∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为＝．故选D．

16．（2018·

江西南昌模拟）口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．

答案　

解析　口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P（A）＝＝，P（AB）＝×

＝，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P（B|A）＝＝＝．

一、高考大题

1．（2018·

全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0<

p<

1），且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0；

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以

（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E（X）；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解　

（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）＝Cp2（1－p）18．

因此f′（p）＝C[2p（1－p）18－18p2（1－p）17]

＝2Cp（1－p）17（1－10p）．

令f′（p）＝0，得p＝0．1．

当p∈（0，0．1）时，f′（p）>

0；

当p∈（0．1，1）时，f′（p）<

0．

所以f（p）的最大值点为p0＝0．1．

（2）由

（1）知，p＝0．1．

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B（180，0．1），X＝20×

2＋25Y，即X＝40＋25Y．所以E（X）＝E（40＋25Y）＝40＋25E（Y）＝490．

②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．

由于E（X）>

400，故应该对余下的产品作检验．

2．（2016·

山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；

如果只有一人猜对，则“星队”得1分；

如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；

每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（2）“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E（X）．

解　

（1）记事件A：

“甲第一轮猜对”，记事件B：

“乙第一轮猜对”，记事件C：

“甲第二轮猜对”，记事件D：

“乙第二轮猜对”，记事件E：

“‘星队’至少猜对3个成语”．

由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，

由事件的独立性与互斥性，得

P（E）＝P（ABCD）＋P（BCD）＋P（ACD）＋

P（ABD）＋P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）P（D）＋

P（）P（B）P（C）P（D）＋P（A）P（）P（C）P（D）＋

P（A）P（B）P（）P（D）＋P（A）P（B）P（C）P（）

＝×

×

＋2×

＝．

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为．

（2）由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6．

P（X＝0）＝×

＝，

P（X＝1）＝2×

＋×

＝＝，

P（X＝2）＝×

P（X＝3）＝×

P（X＝4）＝2×

P（X＝6）＝×

＝＝．

可得随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

6

P

所以数学期望E（X）＝0×

＋1×

＋3×

＋4×

＋6×

二、模拟大题

3．（2018·

山西太原二模）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：

Ⅰ．抽奖方案有以下两种：

方案a：

从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；

否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；

方案b：

从装有3个红球、2个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；

否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．

Ⅱ．抽奖条件：

顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；

满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a，b各抽奖一次）．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．

（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望；

（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？

解　

（1）按方案a抽奖一次，获得奖金概率P＝＝．

顾客A只选择方案a进行抽奖，则其可以按方案a抽奖三次．此时中奖次数服从二项分布B3，．

设所得奖金为w1元，则所获奖金的期望Ew1＝3×

30＝9．

即顾客A所获奖金的期望为9元．

（2）按方案b抽奖一次，获得奖金的概率P1＝＝．

若顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，则由方案a中奖的次数服从二项分布B12，，由方案b中奖的次数服从二项分布B21，．

设所得奖金为w2元，则所获奖金的期望Ew2＝2×

30＋1×

15＝10．5．

若顾客A按方案b抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B32，．

设所得奖金为w3元，则所获奖金的期望Ew3＝2×

15＝9．

结合

（1）可知，Ew1＝Ew3<

Ew2．

所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．

4．（2018·

东北三省四市一模）近两年双11网购受到广大市民的热捧．某网站为了答谢老顾客，在双11当天零点整，每个金冠买家都可以免费抽取200元或者500元代金券一张，中奖率分别是和．每人限抽一次，100%中奖．小张、小王、小李、小赵4个金冠买家约定零点整抽奖．

（1）试求这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率；

（2）这4人中抽到200元、500元代金券的人数分别用X，Y表示，记ξ＝XY，求随机变量ξ的分布列与数学期望．

解　

（1）设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件Ai，其中i＝0，1，2，3，4，

则P（A1）＝C13＝．

（2）易知ξ可取0，3，4，

P（ξ＝0）＝P（A0）＋P（A4）

＝C04＋C40＝＋＝，

P（ξ＝3）＝P（A1）＋P（A3）

＝C13＋C31＝＋＝．

P（ξ＝4）＝P（A2）＝C22＝．

ξ的分布列为

ξ

E（ξ）＝0×

5．（2018·

广东肇庆二模）某工厂对A，B两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取6次，记录数据如下：

A：

8．3，8．4，8．4，8．5，8．5，8．9；

B：

7．5，8．2，8．5，8．5，8．8，9．5．

（注：

数值越大表示产品质量越好）

（1）若要从A，B中选一种型号产品投入生产，从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？

简单说明理由；

（2）若将频率视为概率，对产品A今后的4次检测数据进行预测，记这4次数据中不低于8．5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望E（ξ）．

解　

（1）A产品的平均数：

A＝＝8．5．

B产品的平均数：

B＝＝8．5．

A产品的方差：

s＝

≈0．037．

B产品的方差：

≈0．363．

因为A＝B，s<

s，所以两种产品的质量平均水平一样，A产品的质量更稳定，选择A产品合适．

（2）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，

数据不低于8．5的频率为＝，将频率视为概率，

则ξ～B4，，

P（ξ＝k）＝Ck1－4－k＝C4（k＝0，1，2，3，4）．

∴ξ的分布列如下：

＝2或者E（ξ）＝4×

＝2．