二次函数例题 下载Word文件下载.docx

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5.二次函数与一元二次方程的关系

6.二次函数的实际应用

二.知识要点：

二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。

其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。

目前的中考正面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数与图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容，目的是考查学生分析和理解问题的能力。

①一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．

②当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．

解法三（设顶点式）：

解设抛物线的解析式为y=a（x－h）2+k的形式，由点（1，0），（3，0）可知，抛物线的对称轴为x=2，即抛物线顶点横坐标为2，即可设y=a（x－2）2+k，然后把点（0，3）和点（1，0），（3，0）中的任意一点代入解析式y=a（x－2）2+k，解方程组，即可求出a和k的值，从而确定出该抛物线的解析式。

比较三种方法，此题设交点式最为简便。

一变：

已知抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）点，且方程ax2+bx+c=0的两根分别为1和3，求该抛物线的解析式

二变：

已知抛物线经过（1，0），（0，3）两点，对称轴为x=2，求该抛物线的解析式。

三变：

已知抛物线经过（0，3）点，顶点坐标为（2，－1），求该抛物线的解析式。

四变：

已知抛物线对称轴为x=2，最小值是－1，与y轴交点的纵坐标为3，求该抛物线的解析式。

以上变式训练，一是要同学们能够根据题目不同的表达方式，了解到它们本质的相同点，比如抛物线与x轴交点坐标与一元二次方程的根的关系；

抛物线对称轴、最值与顶点坐标的关系。

二是让同学们能够掌握二次函数解析式的三种表达形式，并能通过分析比较灵活选取最恰当的设法，从而使运算变得更简便快捷。

总结：

（1）学会对实际问题的情境进行分析，从而确定二次函数的表达式．

（2）在确定二次函数表达式时，一般采用待定系数法，当选用顶点式或两根式求二次函数表达式时，结果一般都要化为一般式．

抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>

0）个单位得到函数y=ax2±

k，将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“＋”）平移h（h>

0）个单位得到y=a（x±

h）2．在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加），解决平移问题的最好的方法是用顶点式的方法。

因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。

例题2、已知：

二次函数为y=x2－x+m，

（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；

（2）m为何值时，顶点在x轴上方；

（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．

分析：

（1）用配方法可以达到目的；

（2）顶点在x轴的上方，即顶点的纵坐标为正；

（3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值．

解答：

（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=1>

0，∴开口向上，

例题3、已知：

m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<

n，抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示。

（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；

（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；

（3）在

（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

（1）抛物线与x轴的交点问题，首先将抛物线转化为一元二次方程，求方程两个根。

（2）A点在函数上，一定将A点坐标代入函数关系式，求出未知数m。

（3）判断函数的增减性，考虑函数的性质，与对称轴方程比较。

此时，点B的坐标是B（3，0）．

（3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，

所以当x<

0时，函数值y随x的增大而减小．

当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<

1时，函数值y随x的增大而减小．

点评：

本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决。

例题5、我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。

如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，－3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2。

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？

试试看；

（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

（1）求抛物线解析式用待定系数法，确定函数图像上的三点坐标，用一般式或交点式求解析式。

（2）圆的切线解析式为一次函数，可以求出两点坐标，再代入。

（3）“蛋圆”切线的解析式，根据定义，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，可以由两函数的交点是两函数组成方程组，再转化为一元二次方程，令△=0求解。

这道题是典型的数形结合的题型，根据几何图形的直观性，解决抽象的代数问题.使解答简捷、灵活、流畅，体现了数形结合之优越，激发了学生兴趣，增强了用数形结合思想指导解题的意向。

小结：

数形结合的思想是很重要的数学思想，也是分析问题、解决问题的有力工具。

在今后的学习中，我们要逐步加深对它的理解，并且要学会这种解决问题的方法。

它的好处是直观、形象、帮你找到解决问题的捷径。