一次函数反比例函数和二次函数Word文档下载推荐.docx
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对称轴在y轴左侧
②b=0
对称轴是y轴
③a、b异号
对称轴在y轴右侧
（4）顶点（-
，
）
（5）Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况
①Δ>
抛物线与x轴有两个不同交点
②Δ=0
抛物线与x轴有一个公共点（相切）
③Δ<
抛物线与x轴无公共点
（6）二次函数的最大最小值由a决定：
当a>
0时，函数在x=-
时，有最小值，y最小=
。
当a<
时，有最大值，y最大=
3.反比例函数
（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．
（2）当k>
0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内．且在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<
0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
注意：
不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大。
”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立。
（3）反比例函数解析式的确定：
反比例函数的解析式y=
（k≠0）中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式。
二、考题精选
1．（南京）如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=
，直线FE交AB的延长线于G。
过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M、N。
设HM=x，矩形AMHN的面积为y。
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
解：
（1）∵正方形ABCD的边长为4，CE=1，CF=
，∴CF//AG，BE=3，
∴
，∴BG=4，
∵HM⊥AG，CB⊥AG，∴HM//BE，∴
，∴MG=
x。
∴y=x（4+4-
x）=-
x2+8x。
（2）∵y=-
x2+8x=-
（x-3）2+12。
∴当x=3时，y最大，最大面积是12。
解题点拨：
（1）．要写出y关于x的函数关系式，就要在图形中寻找对应关系，把对应关系中的量分别用y、x或已知量来替换，就可以找到y与x的关系式。
（2）．这类题目，注意自变量x的取值范围。
2．（北京东城区）已知：
如图一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。
OB=
，tan∠DOB=
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当△OCD的面积等于
时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。
如果能，求此时抛物线的解析式；
如果不能，请说明理由。
（1）过点B作BH⊥x轴于点H。
在Rt△OHB中，
∵tan∠HOB=
，
∴HO=3BH。
由勾股定理，得BH2+HO2=OB2。
又∵OB=
∴BH2+（3BH）2=（
）2。
∵BH＞0，
∴BH=1，HO=3。
点B（-3，-1）。
设反比例函数的解析式为y=
（k1≠0）。
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k1=3。
∴反比例函数的解析式为：
y=
（2）设直线AB的解析式为y=k2x+b（k2≠0）。
由点A在第一象限，得m＞0。
又由点A在函数y=
的图象上，可求得点A的纵坐标为
∵点B（-3，-1），点A（m，
），
解关于k2、b的方程组，得
∴直线AB的解析式为y=
令y=0，求得点D的横坐标为x=m-3。
过点D的横坐标为x=m-3。
过点A作AC⊥x轴于点G。
S=S△BDO+S△ADO
=
DO·
BH+
GA
DO（BH+GA）
|m-3|（1+|
|）。
由已知，直线经过第一、二、三象限，
∴b＞0，即
＞0。
∵m＞0，∴3-m＞0。
由此得：
0＜m＜3。
∴S=
（3-m）（1+
）。
即S=
（0＜m＜3）。
（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
证明如下：
S△OCD=
OC=
|m-3|·
|
|=
由S△OCD=
，得
=
·
解得m1=1，m2=3。
经检验，m1=1，m2=3都是这个方程的根。
∵0＜m＜3，
∴m=3不合题意，舍去。
∴点A（1，3）。
设过A（1，3）、B（-1，-3）两点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）。
由此得
即y=ax2+（1+2a）x+2-3a。
设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1、x2。
则x1+x2=-
x1·
x2=
令|x1-x2|=3。
则（x1+x2）2-4x1x2=9。
即（-
）2-4·
=9。
整理，得 7a2-4a+1=0。
∵△=（-4）2-4×
7×
1=-12＜0，
∴方程7a2-4a+1=0无实根。
因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
3、（北京西城区）（本题9分）
已知：
抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，4），其顶点的横坐标是
，与x轴分别交于B（x1，0），C（x2，0）两点（其中x1＜x2），且x12+x22=13。
（1）求此抛物线的解析式及其顶点E的坐标；
（2）设此抛物线与y轴交于点D，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的
倍，求点M的坐标。
（１）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，4），
∴a-b+c=4，即c=4-a+b。
①
∵抛物线顶点的横坐标是
即b=-a。
②
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于B（x1，0），C（x2，0）两点（其中x1<
x2），
∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根。
∵x1+x2=
，x1x2=
由已知x12+x22=13，
∵（x1+x2）2-2x1x2=x12+x22
∴（
）2-
=13。
③
由①②③解得
经检验，a、b、c的值使△＞0，符合题意。
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+6。
∵当x=
时，y=
∴抛物线y=-x2+x+6的顶点E的坐标为（
（2）由
（1）得y=-x2+x+6，（如图，画草图帮自己分析）
令x=0，∴y=6，得D（0，6）。
令y=0，∴-x2+x+6=0，
解得：
x1=-2，x2=3。
∴B（-2，0），C（3，0）。
设点M的坐标为（x，y），则点M到x轴的距离为│yM│。
∵Ｓ△MBO=
S△DOC，
BO·
│yM│=
×
OC·
OD
得│yM│=6，
∴yM=±
6。
因为抛物线y=-x2+x+6开口向下，顶点Ｅ的坐标为（
），对称轴是直线x=
若yM=6，因为6<
，有-x2+x+6=6，
解得x1=0，x2=1。
∴点M的坐标是（0，6）或（1，6）。
若yM=-6， 则-x2+x+6=-6，
解得x3=-3，x4=4。
∴点M的坐标是（－3，－6）或（4，－6）。
答：
所求点M的坐标分别是（0，6），（1，6）（-3，-6），（4，-6）。
四.实战练习
1．（山西）在函数y=
中，自变量x的取值范围是___________。
答案：
x≥-1且x≠2
2．（天津）抛物线y=x2-6x+4的顶点坐标为____________。
（3，-5）
3．（天津）若点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，-n）在：
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
D
4．（天津）函数y=
的自变量x的取值范围是：
A、全体实数 B、x≠0 C、x>
0 D、x≥0
B
5．（山西）将二次函数y=
x2+x-1化成y=a（x+m）2+n的形式是（ ）
A、y=
（x+2）2-2 B、y=
（x+2）2+2
C、y=
（x-2）2-2 D、y=
（x-2）2+2
A
6．平面直角坐标系中，反比例函数y=
的图象只可能是（ ）
B
7．图象经过点（0，-1）、点（2，3）的一次函数解析式是（ ）
A、y=-2x+1 B、y=-2x-1 C、y=
x-1 D、y=2x-1
8．（天津）（本题8分）
在RtΔABC中，∠B=90°
，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点。
若P为AB边上的一个动点，PQ//BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公
共部分的面积为y。
（1）如图，当AP=3cm时，求y的值；
（2）设AP=xcm，试用含x的代数式表示y（cm2）；
（3）当y=2cm2时，试确定点P的位置。
本题满分8分
解
（1）∵PQ//BC， ∴
∵BC=4，AB=8，AP=3，
∴PQ=
1分
∵D为AB的中点，
∴AD=
AB=4，PD=AD-AP=1
∵PQMN为正方形，DN=PN-PD=PQ-PD=
∴y=MN·
DN=
（cm2）。
2分
（2）∵AP=x，由
得：
PQ=
x=PN
∴AN=AP+PN=
当AN<
AD时，有0≤x<
时，y=0；
当AP<
AD<
AN时，有
≤x<
4时，y=
（
x-4）=
x2-2x；
当AD≤AP且AN<
AB时，有4≤x<
时，y=2×
x=x；
当AP≤AB<
≤x≤8时，y=2（8-x）=-2x+16。
6分
（3）将y=2代入y=-2x+16（
≤x≤8）时，得x=7，
即P点距A点7cm；
将y=2代入y=
x2-2x（
4）时，得x=
即P点距A点
cm。
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