动能定理和功能原理.doc

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动能定理和功能原理

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一.教法建议

【抛砖引玉】

           在经典力学中，“动能定理”是“牛顿运动定律”的推论和发展，“功能原理”也是“牛顿运动定律”的进一步推导的结果。

因此我们建议：

教师不要把本单元的内容当作新知识灌输给学生，而是引导学生运用“牛顿运动定律”对下述的这个匀加速运动问题进行分析和推导，使学生自己获得新知识──“动能定理”和“功能原理”。

          具体的教学过程请参考下列四个步骤：

第三步：

运用牛顿第二定律和①、②两式导出“动能定理”。

若已知物体的质量为m、所受之合外力为、产生之加速度为a。

则根据牛顿第二定律可以写出：

③

将①、②两式代入③式：

导出：

④

若以W表示外力对物体所做的总功

⑤

若以Eko表示物体通过A处时的动能，以Ekt表示物体通过B处时的动能

则：

⑥

⑦

将⑤、⑥、⑦三式代入④式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式：

W=Ekt－Eko

若以△Ek表示动能的变化Ekt－Eko

则可写出“动能定理”的一种简单表达形式：

W=△Ek

它的文字表述是：

外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。

这个结论叫做“动能定理”。

第四步：

在“动能定理”的基础上推导出“功能原理”。

在推导“动能定理”的过程中，我们曾经写出过④式，现抄列如下：

④

为了导出“功能原理”我们需要对其中的下滑分力做功项F1S进行分析推导。

我们知道，当斜面的底角为θ时，下滑分力F1和重力mg的关系如下：

将⑩式代入④式后进行推导：

若以代入⑾式，就导出了一种“功能原理”的数学表达形式：

Fs－fs=△EK+△EP

它的物理意义是：

动力对物体做功Fs与物体克服阻力做功fs之差（不包括重力做的功），等于物体动能的变化量与势能的变化量之和。

若在⑾式基础上进行移项变化可导出下式：

⑿

若以代入⑿式，就可以写为：

Fs－fs=Et－E0

再以代入上式就可以导出“功能原理”的另一种数学表达形式：

WF=△E

它的物理意义是：

外力对物体对所做的总功WF（不包括重力做的功），等于物体机械能的变化量△E。

（当WF＞0时，△E＞0，机械能增加；当

WF＜0时，△E＜0，机械能减少。

（请读者注意：

“功能原理”中的WF与“动能定理”中的W是不相同的！

我们将在后面的“指点迷津”中进行说明。

）

在上面所推导出的关于“功能原理”的各数学表达式中，虽以WF=△E最为简练，但在实用解题中以⑾、⑿两式最方便，在后讲述的“学海导航”和“智能显示”栏目中将会看到。

【指点迷津】

  下面我们推导“重力对物体做功”与“物体重力势能的变化”的数量关系：

由此可知：

重力对物体的所做的功等于物体重力势能的变化。

上面推导出的这个结论是否只适用于竖直下落问题呢？

不是的，它适用于重力对物体做功的各种情况，我们在后面的“学海导航”中还将通过例题说明其它情况。

3.“动能定理”和“功能原理”有什么联系和区别？

在运用它们解题时需要注意什么？

研究“外力对物体做功”和“物体机械能变化”的关系是力学中的重要问题之一。

“动能定理”和“功能原理”都是表达这种关系的规律，只是表达的形式不同，但它们的本质是相同的。

在“动能定理”中只提动能而不提势能；在“功能原理”中既提动能也提势能。

在“动能定理”中包含重力所做的功；在“功能原理”中不包含重力所做的功。

在“动能原理”中所包含的重力对物体所做的功与在“功能原理”中所提到的物体重力势能的变化是对同一物理现象的不同表述。

某些力学问题，既可以用“动能定理”求解，也可以用“功能原理”求解。

具体如何选择，往往要根据题意而定。

选择恰当，不仅解题便捷，而且不易失误。

（注：

目前的高三物理课本只讲“动能定理”，但有关功能原理的思想也分布在课文之中了。

如果学生的基础不太好，若为减轻负担，也可只学习和应用“动能定理”。

）

在运用“动能定理”解题时应当注意：

在公式W=△EK中不含势能的变化

（△EP）,但是在W中包含着重力做功WG。

在运用“功能原理”解题时应当注意：

在公式WF=△E中既含动能的变化也含势能的变化，即△E=△EK+△EP，但是在WF中不包含重力做功WG。

（注：

也不包括重力分解出的下滑分力做功！

）

总之必须明确：

W与WF的区别；△EK与△E的区别。

二.学海导航

【思维基础】

    例题1.如图5－10所示：

质量为m的物体沿着光滑的斜面由A处滑到B处。

物体通过A处时的速度为vA、高度为hA;物体通过B处时的速度为vB、高度为hB。

则在此过程中重力对物体所做的功WG

为：

思维基础：

这是一个检查学生对概念规律的理解和应用能力的选择题，需掌握下列知识：

1.功的定义及其计算式。

2.“重力对物体做功”与“物体重力势能变化”的关系。

3.“动能定理”的物理意义及其应用。

4.建议：

请学生阅读前面“教法建议”的内容后，参考其推理方法，先不看本题后面的解题思路和答案，自己进行解答，然后再进行核对，将会有较大的收获。

解题思路：

在本题中物体只受重力和斜面的支持力（弹力），又因斜面的支持力与物体的位移垂直而不做功，所以与解答本题无直接关系（因而在图中也未画出），因此只考虑重力做功与物体机械能的变化就可以了。

根据功的定义及其计算式，在本题中F=mg，代入可得：

根据数学中的三角函数知识，可知在本题中，代入可得：

（附：

若将mg分解出下滑分力,然后据，亦可得出同样结果。

而重力的另一正压分力因与位移垂直不做功，只是与斜面支持力平衡，使物体在垂直于斜面方向保持）

根据“重力对物体做功等于物体重力势能的变化”（当重力对物体做正功时，物体的重力势能减少），可以写出下式：

答案：

[A、B、C、D]

解题后的思考：

1.你想到了本题的四个答案都是正确的吗？

这四个答案之间有什么联系？

2.你能够运用功的计算式、匀变速运动公式及数学中的三角函数知识等推导出（C）、（D）两个答案吗？

3.如果在本题中斜面是不光滑的（物体与斜面间存在着摩擦力f），那么（A）、（B）、（C）、（D）四个答案中哪些是正确的？

哪些答案是不正确的？

【学法指要】

　　例题2.原来以7米/秒速度在水平轨道上直线行驶着的火车，在关闭气门停止动力后，滑行100米，车速减为5米/秒。

问：

继续滑行100米，车速将减为多少？

（火车在滑行过程中阻力始终保持不变。

）

启发性问题：

1.火车在滑行过程中处于何种做功状态？

2.你打算用什么物理规律解答本题？

3.你会用图示法分析物理问题吗？

分析与说明：

1.在本题中，火车滑行时已停止了动力作用，所以只存在运动着的火车克服阻力做功火车将减速运动。

2.解答本题可有几种不同方法，但是对于学过“动能定理”的学生，往往想到使用这个规律。

求解过程：

根据“动能定理”，我们可以写出下列展开式：

在本题中=0、=fsⅠ和W阻=fsⅡ、设火车的质量为m，则：

对于sⅠ段可以写出下式：

0－fsⅠ=①

对于sⅡ段可以写出下式：

0－fsⅡ=②

在①、②两式中，已知sⅠ=sⅡ，所以两式的左方相等，因此两式的右方也应相等：

＝

消去等式两边的可得

将v1＝7米/秒、v0=5米/秒代入上式可得：

答：

火车继续滑行100米（即火车一共滑行了200米）车速将减为1米/秒。

【思维体操】

“准备活动”（解题所需的知识与技能）

1.在本题中，由于汽车是加速运动，所以被提拉的物体也应是加速上升──这表明物体的动能和重力势能都增加了。

2.根据“功能原理”就可以求出绳的拉力对物体所做的功WF。

（注：

因为本题只要求绳的拉力对物体所做的功，所以就不必考虑汽车在运动过程中的牵引力和阻力等问题了。

）

设：

汽车开到B处时，物体上升的即时速度为v、上升的高度为h，据前面“准备活动”的分析，可以写下列二式：

则：

根据：

“功能原理”，并将①、②两式代入进行推导，就可求出绳Q端拉力对物体做的功WF，具体过程如下：

（注：

物体的初速为零，初高定为零）

“整理运动”（解题后的思考）

1.在本题的做功过程中，物体受到的是恒力还是变力？

物体是匀加速上升还是变加速上升？

2.请你用“动能定理”再将本题解答一次，并进行比较──你喜欢用哪种方法求解。

三.智能显示

【心中有数】

1.功和能的关系：

各种不同形式的能可以通过做功来转化，能转化的多少通过功来量度，即功是能转化的量度。

2.动能定理：

合力的功等于物体动能的增量，表达式为:

W合=。

应用动能定理解题步骤：

（1）分析物体的受力情况和运动情况；

（2）分析各个力对物体做功的情况，计算时要把各已知功的正负号代入分式进行运算，若是未知功，则用代号W代入。

（3）变力（大小或方向改变）的功不要直接用W=Fscosθ来求，可以应用动能定理来求。

在公式中变力的功只能用代号W表示。

（4）如果物体运动有几个过程时，可以分段运用动能定理，也可以对全过程运用动能定理，即各个力做功的代数和等于物体动能的增量：

W1+W2+……Wn=

【动脑动手】

（一）.选择题

1.关于做功和物体动能变化的关系，下列说法中正确的是

A.只有动力对物体做功，物体的动能一定增加

B.只有物体克服阻力做功，物体的动能一定减少

C.外力对物体做功的代数和等于物体末动能与初动能之差。

D.动力和阻力都对物体做功，物体的动能一定变化

2.下面关于物体所受的合外力、合外力做功和物体动能变化的说法中正确的是

A.如果物体所受的合外力为零，合外力对物体做的功一定为零

B.如果合外力对物体做的功为零，合外力一定为零

C.如果物体的动能不变，所受的合外力一定为零

D.如果物体的动能不变，合外力对物体做的功一定为零

3.质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能

A.与它通过的位移成正比

B.与它通过位移的平方成正比

C.与它运动的时间成正比

D.与它运动时间的平方成正比

4.一颗子弹以水平速率v射入固定的木块中，射入深度为s，设子弹在木块中所受阻力是恒定的。

当子弹以的水平速度射入固定的木块中，射入深度为

A.sB.C.D.

6.两个物体的质量分别为m1和m2，已知m1=4m2，当它们以相同的初动能在动摩擦因数相同的水平面上运动时，它们的滑行距离之比和滑行时间之比分别为

A.s1∶s2=1∶2,t1∶t2=2∶1

B.s1∶s2=4∶1,t1∶t2=1∶2

C.s1∶s2=2∶1,t1∶t2=4∶1

D.s1∶s2=1∶4,t1∶t2=1∶2

10.质量为10kg的物体以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起在物体上作用一个向右的水平力，经过一段时间，物体的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力做的功为

A.0　　B.8J　　C.16J　　D.32J

11.在水平面上有一质量为m的物体，受到水平力F的作用从静止开始运动，通过距离s撤去力F，这以后又通过距离s停止下来，则在这个过程中

A.它所受的摩擦力大小为F

B.它所受的摩擦力大小为

C.力F对物体做的功为Fs

D.力F对物体做的功为零

12.被竖直上抛物体的初速度与回到抛出点时速度大小之比为k，空气阻力在物体运动过程中大小不变，则重力与空气阻力的大小之比等于

A.　B.

C.k　　　　　D.

13.两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m1∶m2=1∶2，速度之比v1∶v2=2∶1。

当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为s1，乙车滑行的最大距离为s2。

设两车与路面间的动摩擦因数相同，不计空气阻力，则

A.s1∶s2=1∶2,

B.s1∶s2=1∶1,

C.s1∶s2=2∶1,

D.s1∶s2=4∶1

14.汽车拉着拖车在平直的公路上匀速行驶，拖车与汽车突然脱钩，而汽车的牵引力不变，各自受的阻力不变，在拖车停止前

A.它们的总动能不变

B.它们的总动能增加

C.它们的总动量不变

D.它们的总动量增加

15.质量为m的汽车在平直公路上以速度v0开始加速行驶，经过时间t，前进距离s后，速度达到最大值vm。

设在这一过程中汽车发动机的功率恒为p0，汽车所受的阻力恒为f0。

在这段时间内汽车发动机所做的功为

19.一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为15m的斜坡下滑，到达底部时速度为10m/s。

已知人和雪橇的总质量为80kg，g取10m/s2。

下滑过程中克服阻力做的功是　　　　

20.如图5－20所示，质量为m的物体，从弧形面底端A点以速度v0往上滑行，达到某一高度后，又沿原路返回，且继续沿水平面滑行至B点而停止。

在整个过程中物体克服摩擦力做的功是　　。

21.质量为m的小球，以初速度v0从倾角为θ的斜面底端向上滑行，上滑的最大距离为s，则小球滑回到原出发点时的动能为　　　。

22.一个单摆小球的质量为m，摆球经过最低点时的速度为v0，由于摆球受到大小不变的空气阻力f作用而最终静止。

则摆球通过的最大路程是　　　。

23.如图5－21所示，物体A放在倾角为θ的斜面上，向下轻轻一推，它刚好能匀速下滑，若给该物体一个沿斜面向上的初速度v0，则它上滑的最大路程是　　　。

24.某地强风的风速为v=20m/s，设空气密度为ρ=1.3kg/m3。

如果把通过横截面积为s=20m2的风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式应为P=　　，大小约为　　瓦

（取一位有效数字）

（三）.计算题

25.一个质点在一个恒力F作用下由静止开始运动，速度达到v，然后换成一个方向相反、大小为3F的恒力作用，经过一段时间后，质点回到出发点。

求质点回到出发点时速度的大小是多少？

26.某人在高为h处水平地抛出一个质量为m的物体，物体落地点与抛出点水平距离为s。

求抛球时人对球所做的功是多少？

27.一列火车的质量是5.0×105kg，在平直的轨道上以额定功率3.0×103kw加速行驶。

当速度由10m/s加速到所能达到的最大速度30m/s时，共用了2min。

求在这段时间内列车前进的距离是多少？

28.总质量为M的带拖斗的汽车，沿水平直公路匀速前进，质量为m的拖车中途脱钩，司机发觉时，汽车已行驶l的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设运动的阻力与重力成正比，汽车的牵引力是恒定的。

当汽车和拖车部分都停止时，它们的距离是多少？

29.如图5?

/FONT>22所示，在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间的距离大于l（l比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于l时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。

设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动。

欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件？

【创新园地】

30.初速度为v1、质量为m的物体，从倾角为α的光滑斜面自由滑下，到达斜面底端的速度为v2。

试利用这一过程，应用牛顿定律和运动学公式推导出动能定理。

31.如图5－23所示，质量为m的小木块A放在质量为M的木板B的左端，B在水平拉力的作用下沿水平地面匀速向右滑动，且A、B相对静止。

某时刻撤去水平拉力，经过一段时间，B在地面上滑行了一段距离x，A在B上向右滑行了一段距离L，最后A和B都停止，A、B间的动摩擦因数为μ1,B与地面间的动摩擦因数为μ2。

且μ1＞μ2,求x的表达式.