三年高考数学文真题分类解析专题09三角恒等变换与求值Word文件下载.docx

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2.会判断三角函数值的符号;

理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.

3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±

α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.

4.理解同角三角函数的基本关系式:

sin2x+cos2x=1,=tanx,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.

5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.

2018年高考全景展示

1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，

是圆

上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角

以O为始边，OP为终边，若

，则P所在的圆弧是

A.

B.

C.

D.

【答案】C

A选项：

当点

在

上时，

，

，故A选项错误；

B选项：

，故B选项错误；

C选项：

，故C选项正确；

D选项：

点

上且

在第三象限，

，故D选项错误.综上，故选C.

点睛：

此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到

所对应的三角函数线进行比较.

2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数

的最小正周期为

【解析】分析:

将函数

进行化简即可

本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题

3.【2018年新课标I卷文】已知角

的顶点为坐标原点，始边与

轴的非负半轴重合，终边上有两点

，且

，则

【答案】B

【解析】分析：

首先根据两点都在角的终边上，得到

，利用

，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得

，从而得到

，再结合

，从而确定选项.

详解：

根据题的条件，可知

三点共线，从而得到

，因为

，解得

，即

，所以

，故选B.

该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.

4．【2018年全国卷II文】已知

__________．

【答案】

利用两角差的正切公式展开，解方程可得

.

，解方程得

本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.

5．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（

）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=

，求cosβ的值．

（Ⅰ）,（Ⅱ）

或

（Ⅰ）先根据三角函数定义得

，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得

，再根据同角三角函数关系得

，最后根据

，利用两角差的余弦公式求结果.

三角函数求值的两种类型：

（1）给角求值：

关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

（2）给值求值：

关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

6．【2018年文北京卷】已知函数

（Ⅰ）求

的最小正周期；

（Ⅱ）若

在区间

上的最大值为

，求

的最小值.

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（1）将

化简整理成

的形式，利用公式

可求最小正周期；

（2）根据

，可求

的范围，结合函数图像的性质，可得参数

的取值范围.

本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.

7．【2018年江苏卷】已知

为锐角，

．

（1）求

的值；

（2）求

的值．

（1）

（2）

先根据同角三角函数关系得

，再根据二倍角余弦公式得结果；

（2）先根据二倍角正切公式得

，再利用两角差的正切公式得结果.

解：

（1）因为

．因为

，因此，

（2）因为

为锐角，所以

．又因为

，因此

应用三角公式解决问题的三个变换角度

（1）变角：

目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

（2）变名：

通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.

（3）变式：

根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：

“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

2017年高考全景展示

1.【2017课标3，文6】函数

的最大值为（）

A．

B．1C．

D．

【答案】A

【考点】三角函数性质

【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为

的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．

2.【2017课标3，文4】已知

=（）

B．

C．

D．

【解析】

所以选A.

【考点】二倍角正弦公式

【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度

3.【2017山东，文4】已知

则

A.

B.

C.

D.

【答案】D

试题分析：

由

得

故选D.

【考点】二倍角公式

【名师点睛】

（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．

（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等）,寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

4.【2017江苏，5】若

则

.

【考点】两角和正切公式

【名师点睛】三角函数求值的三种类型

（3）给值求角：

实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

5.【2017课标1，文15】已知

，tanα=2，则

=__________．

又

所以

因为

【考点】三角函数求值

关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．

关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．

实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

6.【2017北京，文16】已知函数

（I）f（x）的最小正周期；

（II）求证：

当

时，

；

（Ⅱ）详见解析.

（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为

，根据公式

求周期；

（Ⅱ）当

时，先求

的范围再求函数的最小值.

（Ⅱ）因为

所以当

【考点】1.三角函数的性质；

2.三角恒等变换.

【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的

的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.

2016年高考全景展示

1.【2016高考新课标2文数】函数

（A）4（B）5（C）6（D）7

考点：

正弦函数的性质、二次函数的性质.

【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当

时，函数

取得最大值.

2.[2016高考新课标Ⅲ文数]若

，则

（）

（A）

（B）

（C）

（D）

1、同角三角函数间的基本关系；

2、二倍角．

【方法点拨】三角函数求值：

①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；

②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．

3.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin（θ+

）=

则tan（θ–

）=.

由题意

所以

从而

因此

．故填

三角变换

4.【2016高考浙江文数】已知

______，

______．

；

1．

三角恒等变换.

【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简

，再用辅助角公式化简

，进而对照

可得

和

5.【2016高考四川文科】

=.

由三角函数诱导公式

三角函数诱导公式

【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．

6.【2016高考北京文数】

（本小题13分）

已知函数

的单调递增区间.

（Ⅱ）

（

（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对

化简整理，由周期公式求

（Ⅱ）根据函数

的单调递增区间对应求解即可.

两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.

【名师点睛】三角函数的单调性：

1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；

2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较，与1比较等）求解．

1.三角函数的图

象及其变换

①能画出y=sin 

x,y=cos 

x,y=tan 

x的图象,了解三角函数的周期性;

②了解函数y=Asin（ωx+φ）的物理意义;

能画出y=Asin（ωx+φ）的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响

2017课标全国Ⅰ,9;

2016北京,7;

2016课标全国Ⅲ,14;

2015湖南,9

2.三角函数的性

质及其应用

理解正弦函数、余弦函数的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等）.理解正切函数的单调性

2017课标全国Ⅲ,6;

2016课标全国Ⅱ,7;

2015课标Ⅰ,8

分析解读三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.

1．【2018年新课标I卷文】已知函数

的最小正周期为π，最大值为3B.

的最小正周期为π，最大值为4

C.

的最小正周期为

，最大值为3D.

，最大值为4

首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为

，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.

该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.

2．【2018年天津卷文】将函数

的图象向右平移

个单位长度，所得图象对应的函数

A.在区间

上单调递增B.在区间

上单调递减

C.在区间

上单调递增D.在区间

首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.

本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．【2018年江苏卷】已知函数

的图象关于直线

对称，则

的值是________．

由对称轴得

，再根据限制范围求结果.

由题意可得

函数

（A>

0,ω>

0）的性质：

（2）最小正周期

（3）由

求对称轴；

（4）由

求增区间;

由

求减区间.

1.【2017课标II，文13】函数

的最大值为.

【考点】三角函数有界性

【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为

的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用

求最值.

2.【2017课标II，文3】函数

【解析】由题意

，故选C.

【考点】正弦函数周期

【名师点睛】函数

的性质

（2）周期

（3）由

求对称轴

求减区间;

3.【2017天津，文7】设函数

，其中

.若

且

的最小正周期大于

（B）

（C）

（D）

因为条件给出周期大于

，

，再根据

，因为

，所以当

成立，故选A.

【考点】三角函数的性质

【名师点睛】本题考查了

的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：

，满足题意，

，不合题意，B选项错误；

，不合题意，C选项错误；

，满足题意；

，不合题意，D选项错误.本题选择A选项.

4.【2017山东，文7】函数

最小正周期为

【考点】三角变换及三角函数的性质

【名师点睛】求三角函数周期的方法：

①利用周期函数的定义．②利用公式：

y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为

y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为

.③对于形如

的函数,一般先把其化为

的形式再求周期.

5.【2017浙江，18】

（本题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x–

sinxcosx（x

R）．

（Ⅱ）求

的最小正周期及单调递增区间．

（Ⅰ）2；

（Ⅱ）最小正周期为

，单调递增区间为

（Ⅰ）由函数概念

，分别计算可得；

（Ⅱ）化简函数关系式得

，结合

可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．

【考点】三角函数求值、三角函数的性质

【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数

的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；

对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即

，然后利用三角函数

的性质求解．

1.【2016高考新课标2文数】函数

的部分图像如图所示，则（）

由图知，

，周期

因为图象过点

令

得，

，故选A.

三角函数图像的性质

【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：

先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．

2.【2016高考天津文数】已知函数

内没有零点，则

的取值范围是（）

解简单三角方程

【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；

降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．

3.【2016高考新课标1文数】若将函数y=2sin（2x+

）的图像向右平移

个周期后,所得图像对应的函数为（）

（A）y=2sin（2x+

）（B）y=2sin（2x+

）（C）y=2sin（2x–

）（D）y=2sin（2x–

）

的周期为

将函数

的图像向右平移

个周期即

个单位,所得函数为

三角函数图像的平移

【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x而言的,不用忘记乘以系数.

4.[2016高考新课标Ⅲ文数]函数

的图像可由函数

的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．

1、三角函数图象的平移变换；

2、两角差的正弦函数．

【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母

而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．

5.【2016高考山东文数】

（本小题满分12分）

设

（I）求

得单调递增区间；

（II）把

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移

个单位，得到函数

的图象，求

的值.

的单调递增区间是

（或

）化简

得

即得

写出

的单调递增区间

）由

平移后得

进一步可得

）由（

）知

把

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的

倍（纵坐标不变），

得到

的图象，

再把得到的图象向左平移

个单位，得到

即

所以

1.和差倍半的三角函数；

2.三角函数的图象和性质；

3.三角函数图象的变换.

【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.