复合梯形和复合辛普森MATLAB程序.docx
《复合梯形和复合辛普森MATLAB程序.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复合梯形和复合辛普森MATLAB程序.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
复合梯形和复合辛普森MATLAB程序
####
实验报告
课程名称
数值分析
实验项目名称
数值积分
实验类型
上机
实验学时
班级
学号
姓名
指导教师
实验室名称
实验时间
2014.11.19
实验成绩
预习部分
实验过程
表现
实验报告
部分
总成绩
教师签字
日期
实验三数值积分
一．数值积分的基本思想
1.复合梯形公式：
Tn=
2
；
2.复合辛普森公式：
Sn=
[f（a）+f（b）+2
+4
]；
以上两种算法都是将a-b之间分成多个小区间（n）,则h=（b-a）/n,xk=a+kh,xk+1/2=a+（k+1/2）h,利用梯形求积根据两公式便可。
3.龙贝格算法：
在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式
（1）Sn=
T2n-
Tn
（2）Cn=
S2n-
Sn
（3）Rn=
C2n-
Cn4
T
=
T
-
T
，k=1，2，…
二、计算流程图
1、复合梯形和复合辛普森算法框图：
下图是龙贝格算法框图：
自适应辛普森积分算法流程框图：
二.实验题目及实验目的
实验题目：
用不同数值方法计算积分
=-
。
（1）取不同的步长h。
分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？
（2）用龙贝格求积计算完成问题
（1）。
（3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10
。
实验目的：
1、了解并掌握matlab软件的基本编程、操作方法；
2、初步了解matlab中的部分函数，熟悉循环语句的使用；
3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积
方法计算积分的原理。
三．实验手段：
指操作环境和平台:
win7系统下MATLABR2009a
程序语言：
一种类似C语言的程序语言，但比C语言要宽松得多，非常方便。
四.程序
复合梯形求积程序
functiont=TiXing_quad（a,b,.h）
formatlong
x=a:
h:
b;
y=sqrt（x）.*log（x）;
y
（1）=0;
t=0;
fork=1:
（b-a）/h,
t=t+y（k）+y（k+1）;
end
t=t*h/2;
复合辛普森求积程序
functions=Simpson_quad（a,b,h）
formatlong
x=a:
h:
b;
y=sqrt（x）.*log（x）;
z=sqrt（x+h/2）.*log（x+h/2）;
y
（1）=0;
s=0;
fork=1:
（b-a）/h,
s=s+y（k）+y（k+1）+4*z（k）;
end
s=s*h./6;
龙贝格求积程序
function[q,R]=Romberg（a,b,eps）
h=b-a;
R（1,1）=h*（0+sqrt（b）.*log（b））/2;
M=1;
J=0;
err=1;
whileerr>eps
J=J+1;
h=h/2;
S=0;
forp=1:
M
x=a+h*（2*p-1）;
S=S+sqrt（x）.*log（x）;
end
R（J+1,1）=R（J,1）/2+h*S;
M=2*M;
fork=1:
J
R（J+1,k+1）=R（J+1,k）+（R（J+1,k）-R（J,k））/（4^k-1）;
end
err=abs（R（J+1,J）-R（J+1,J+1））;
end
q=R（J+1,J+1）;
控制台输入代码：
（1）
>>a=0;
>>b=1;
>>h=0.2;
>>t=TiXing_quad（a,b,h）
>>s=Simpson_quad（a,b,h）
>>h=0.02;
>>t=TiXing_quad（a,b,h）
>>s=Simpson_quad（a,b,h）
>>h=0.002;
>>t=TiXing_quad（a,b,h）
>>s=Simpson_quad（a,b,h）
（2）
>>a=0;
>>b=1;
>>eps=10^-8;
>>[quad,R]=Romberg（a,b,eps）
（3）
>>a=0;
>>b=1;
>>eps=10^-4;
>>q=ZiShiYingSimpson（'sqrt（x）.*log（x）',a,b,eps）
4．实验结果比较与分析
（1）
h=0.2时，结果如下：
h=0.02时，结果如下：
h=0.002时；得到的结果如下：
由结果
（1）可知对于同一步长h，复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即h越小时，积分精度越高。
实验结果说明不存在一个最小的h,使得精度不能再被改善。
又两个相应的关于h的误差（余项）Rn（f）=-
h2f’’（η）；Rn（f）=-
（h/2）4f（4）（η）,其中η属于a到b。
可知h愈小，余项愈小，从而积分精度越高。
（2）得到的结果如下图所示:
求的积分q=-0.444291362290623
（3）
求得积分q=-0.434745027462563
六.学习心得
对于同一步长h，复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即h越小时，积分精度越高。
但用龙贝格算法会比它们更加快速地逼近精确值，大大地提高计算速度和精度。
升级会员 