精品高中数学必修三第一章11算法与程序边框图.docx

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精品高中数学必修三第一章11算法与程序边框图

第一章1.1算法与程序边框图

1.算法的概念

（1）算法概念的理解

①算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．

②算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．

③算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点,同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题中更具有条理性、逻辑性的特点．

（2）算法的四个特征：

概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性

①概括性：

写出的算法必须能解决某一类问题，并且能够重复使用．

②逻辑性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的,从而组成了一个有着很强逻辑性的步骤序列．

③有穷性：

算法有一个清晰的起始步，终止步是表示问题得到解答或指出问题没有解答，所有序列必须在有限个步骤之内完成，不能无停止地执行下去．

④不唯一性:

求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,可以有不同的算法，当然这些算法有简繁之分、优劣之别．

（3）常见的算法类型

①数值性计算问题．如：

解方程（或方程组）、解不等式（或不等式组）、利用公式求值、累加或累乘等问题，可通过相应的数学模型借助一般的数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化．②非数值性计算问题．如：

判断、排序、变量变换等需先建立过程模型，再通过模型进行算法设计与描述．

注意：

（ⅰ）注意算法与解法的区别：

算法是解决一类问题所需要的程序或步骤的统称；而解法是解决某一个具体问题的过程或步骤，是具体的解题过程．

（ⅱ）设计算法时要尽量选取简捷、快速、高效的解决问题的算法．对一个具体的问题，我们要对解决问题的途径进行透彻的研究，找出最优算法，做到“先思考后处理"．

2．程序框图

（1）程序框图又称为流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．

（2）用程序框图表示算法，具有直观、形象的特点，能更清楚地展现算法的逻辑结构．

（3）程序框图主要由程序框和流程线组成．基本的程序框有终端框、输入框、输出框、处理框、判断框,其中终端框是任何流程图不可缺少的，而输入、输出可以用在算法中任何需要输入、输出的位置．

（4）画程序框图的规则

①使用标准的框图符号;②框图一般按从上到下、从左到右的方向画;③终端框（起止框）是任何程序框图必不可缺少的，表示程序的开始和结束；④除判断框外,大多数程序框图符号只有一个进入点和一个退出点,判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；⑤程序框图符号框内的文字要简洁精炼．

注意：

（ⅰ）每一种程序框图的图形符号都有特定的含义,在画程序框图时不能混用,并且所用图形符号一定要标准规范，起始框只有一条流出线（没有流入线），终止框只有一条流入线（没有流出线），输入、输出框只有一条流入线和一条流出线，判断框有一条流入线和两条流出线．（ⅱ）如果一个程序框图由于纸面等原因需要分开画，要在断开处画上连接点,并标出连接的号码．（ⅲ）判断框是“是"与“否”两分支的判断，有且仅有两个结果．（ⅳ）一般地，画程序框图时，先用自然语言编写算法，然后再画程序框图．

3．算法的三种基本结构

（1）

顺序结构：

顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构,其基本结构形式如图所示，其中A、B两框所指定的操作是依次执行的．顺序结构中所表达的逻辑关系是自然串行、上下连贯、线性排列的．

（2）条件结构：

先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构．条件结构用于进行逻辑判断，并根据判断的结果进行不同的处理．条件结构必含判断框．

条件结构的结构形式如图2所示，此结构中包含一个判断框，算法执行到此判断框给定的条件P时，根据条件P是否成立选择不同的执行框（A框或B框）．注意:

无论P是否成立，下一步只能执行A框或B框之一，不能A框和B框同时执行，也不能A、B两框都不执行，但A框和B框中可以有一个是空的，如图3.

（3）循环结构:

根据条件是否成立，以决定是否重复执行某些操作，在算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构，重复执行的处理步骤称为循环体．根据执行情况及循环结束条件的不同可以分为当型循环（WHILE型）和直到型循环（UNTIL型）．

当型循环的特点是“先判断,后执行”,即先判断条件，当条件满足时，反复执行循环体,当条件不满足时退出循环（也就是说直到条件不满足时退出循环）．如图4.

直到型循环的特点是先执行一次循环体，再判断条件，当条件不满足时执行循环体,当条件满足时退出循环（即直到条件满足时退出循环），即“先执行，后判断”．如图5。

当型循环可能一次也不执行循环体，而直到型循环至少要执行一次循环体．当型循环与直到型循环可以相互转化，条件互补．

循环结构中常用的变量有计数变量、累加变量及累乘变量．计数变量用来记录某个事件发生的次数（即执行循环体的次数），累加变量用来计算数据之和，累乘变量用来计算数据之积．对于这些变量，开始一般要先赋初值，一般地,计数变量初值可设为0或1，累加变量初值设为0，累乘变量初值设为1.

注意：

（ⅰ）正确理解顺序结构的特点及适用条件是作出顺序结构图的关键．（ⅱ）画条件结构的程序框图要用到判断框，判断框有两个出口，根据不同的条件输出不同的信息，这些不同的信息必须全部写出．（ⅲ）只有有规律的，能重复进行的算法过程才能用循环结构．

题型一　算法设计

写出能找出a、b、c三个数中最小值的一个算法．

解　第一步:

输入a、b、c.并且假定min＝a；

第二步:

若b〈min成立,则用b的值替换min；否则直接执行下一步；

第三步：

若c

第四步：

输出min的值,结束．

点评　本题的思路是：

将min定义为最小值，并把a的值赋给min，然后依次与b、c比较大小，遇到小的就替换min的值，最后输出min的值，这种方法可以推广到从多个不同的数中找出最大或最小的一个．

题型二　条件结构的程序框图

已知函数y＝

写出求该函数值的算法及程序框图．

解　算法如下：

第一步：

输入x；

第二步:

如果x〉0，那么使y＝－1,如果x＝0，那么使y＝0,如果x〈0，那么使y＝1；

第三步：

输出函数值y。

程序框图如图所示．

点评　该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数的表达式不同，因此当给出一个自变量x的值时，也必须先判断x的范围,然后确定利用哪一段的表达式求函数值，因为函数分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断．求分段函数的函数值的程序框图,如果是分两段的函数只需引入一个判断框,如果是分三段的函数，至少需要引入两个判断框，分四段的函数要引入三个判断框，以此类推，至于判断框内的内容是没有顺序的，比如：

本题中的两个判断框内的内容可以交换，但对应的下一图框中的内容或操作也必须相应地进行变化，比如本题的程序框图也可以画成如图1所示或如图2所示．

图1

图2

题型三　循环结构的程序框图

看下面的问题：

1＋2＋3＋…＋（　　）>10000，这个问题的答案不唯一，我们只要确定出满足条件的最小正整数n0,括号内填写的数只要大于或等于n0即可．试写出满足条件的最小正整数n0的算法并画出相应的程序框图．

解　算法如下：

第一步：

p＝0;

第二步:

i＝0；

第三步：

i＝i＋1；

第四步：

p＝p＋i；

第五步：

如果p>10000,则输出i，算法结束．否则，执行第六步；

第六步：

回到第三步，重新执行第三步、第四步和第五步.

该算法的程序框图如图所示．

点评　本题属于累加问题，代表了一类相邻两数的差为常数的求和问题的解法，需引入计数变量和累加变量,应用循环结构解决问题．在设计算法时前后两个加数相差1，则i＝i＋1，若相差2，则i＝i＋2，要灵活改变算法中的相应部分．另外需注意判断框内的条件的正确写出，直到型和当型循环条件不同,本题解法用的是直到型循环，用当型循环结构时判断框内条件应为p≤10000.如图所示。

特别提醒　两种结构中，若交换p＝p＋i与i＝i＋1的顺序，输出结果应为i－1。

题型四　程序框图在生活中的应用

以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：

72,91,58，63，84,88，90，55,61,73，64,77,82,94，60.要求将80分以上的同学的平均分求出来．画出程序框图．

解　用条件分支结构来判断成绩是否高于80分，用循环结构控制输入的次数，同时引进两个累加变量，分别计算高于80分的成绩的总和和人数．

程序框图如图所示．

点评　对于此类要求把所给多个数据逐一检验是否满足条件的问题,可采用条件分支结构和循环结构相结合的算法．

【例1】　如图所示是某一算法的程序框图，根据该框图指出这一算法的功能．

错解　求S＝

＋

＋

＋…＋

的值．

错解辨析　本题忽略了计数变量与循环次数，没有明确循环体在循环结构中的作用,以及循环终止条件决定是否继续执行循环体．

正解　在该程序框图中，S与n为两个累加变量，k为计数变量，所以该算法的功能是求

＋

＋

＋…＋

的值．

【例2】　试设计一个求1×2×3×4×…×n的值的程序框图．

错解　程序框图如图所示．

错解辨析　本题程序框图看似当型循环结构，我们应当注意的是，当型循环结构是当条件满足时执行循环体，而本题显然是误解了当型循环结构条件．

正解　程序框图如图所示．

点评　这是一个累乘问题,重复进行了（n－1）次乘法，可以用循环结构描述,需引入累乘变量t和计数变量i，这里t与i每一次循环，它们的值都在改变．

1.（海南、宁夏高考）如果执行下面的程序框图,那么输出的S为（　　）

A．2450B．2500C．2550D．2652

答案　C

解析　当k＝1，S＝0＋2×1；

当k＝2，S＝0＋2×1＋2×2;

当k＝3,S＝0＋2×1＋2×2＋2×3；

…

当k＝50，S＝0＋2×1＋2×2＋2×3＋…＋2×50＝2550.

2．（济宁模拟）在如图的程序框图中，输出结果是（　　）

A．5B．6

C．13D．10

答案　D

解析　a＝5时，S＝1＋5＝6；

a＝4时，S＝6＋4＝10；

a＝3时，终止循环，输出S＝10.

3．（广东高考）阅读下图的程序框图．若输入m＝4，n＝6，则输出a＝________，i＝________.

答案　12　3

解析　输入m＝4，n＝6，则i＝1时,a＝m×i＝4，n不能整除4;

i＝2时，a＝m×i＝8，n不能整除8；

i＝3时，a＝m×i＝12,6能整除12。

∴a＝12，i＝3.

一、选择题

1．一个完整的程序框图至少包含（　　）

A．终端框和输入、输出框

B．终端框和处理框

C．终端框和判断框

D．终端框、处理框和输入、输出框

答案　A

解析　一个完整的程序框图至少需包括终端框和输入、输出框．

2．下列关于条件结构的说法中正确的是（　　）

A．条件结构的程序框图有一个入口和两个出口

B．无论条件结构中的条件是否满足,都只能执行两条路径之一

C．条件结构中的两条路径可以同时执行

D．对于一个算法来说,判断框中的条件是惟一的

答案　B

解析　由条件结构可知：

根据所给条件是否成立，只能执行两条途径之一．

3．下列问题的算法适宜用条件结构表示的是（　　）

A．求点P（－1,3）到直线l：

3x－2y＋1＝0的距离

B．由直角三角形的两条直角边求斜边

C．解不等式ax＋b>0（a≠0）

D．计算100个数的平均数

答案　C

解析　条件结构是处理逻辑判断并根据判断进行不同处理的结构．只有C中含有判断a的符号，其余选项都不含逻辑判断．

4．下列程序框图表示的算法是（　　）

A．输出c,b,a　　　　　B．输出最大值

C．输出最小值D．比较a，b,c的大小

答案　B

解析　根据流程图可知，此图应表示求三个数中的最大数．

5．用二分法求方程的近似根，精确度为δ,用直到型循环结构的终止条件是（　　）

A．|x1－x2|>δB．|x1－x2|〈δ

C．x1〈δ

答案　B

解析　直到型循环结构是先执行、再判断、再循环，是当条件满足时循环停止，因此用二分法求方程近似根时，用直到型循环结构的终止条件为｜x1－x2|<δ.

二、填空题

6．下边的程序框图（如下图所示），能判断任意输入的整数x是奇数或是偶数．其中判断框内的条件是________．

答案　m＝0？

解析　根据程序框图中的处理框和输出的结果，寻找判断框内的条件．由于当判断框是正确时输出的是“x是偶数”，而判断框前面的处理框是x除以2的余数，因此判断框应填“m

＝0?

”．

7．下图是计算1＋

＋

＋…＋

的程序框图，判断框应填的内容是________,处理框应填的内容是________．

答案　i≤99?

　i＝i＋2

解析　由题意知，该算法从i＝1开始到99结束，循环变量依次加2.

8．完成下面求1＋2＋3＋…＋10的值的算法：

第一步，S＝1。

第二步，i＝2.

第三步,S＝S＋i.

第四步，i＝i＋1.

第五步，

________________________________________________________________________。

第六步，输出S.

答案　如果i＝11，执行第六步；否则执行第三步

解析　本题是用自然语言来描述的算法，实际上第五步是一个判断条件，根据题意，是循环是否终止的条件，因此应该为如果i＝11，执行第六步；否则执行第三步．

三、解答题

9．画出求

＋

＋

＋…＋

的值的程序框图．

解　这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量,一个累加变量,用循环结构实现这一算法．程序框图如下图所示：

10．写出解方程ax＋b＝0（a、b为常数）的算法，并画出程序框图．

解　算法如下：

第一步,判断a是否等于零，若a≠0，执行第二步,若a＝0,执行第三步；

第二步，计算－

，输出“方程的解为－

”;

第三步，判断b是否等于零，若b＝0,输出“有无数个解”的信息，

若b≠0，输出“方程无解”的信息．

程序框图如图所示：

探究驿站

11．画出求

（共6个2）的值的程序框图．

分析　本题看上去非常烦琐,尤其是对于2的位置处理,容易让人产生错觉．本题只要把含有2的式子分离开来，用A代替

，即令A＝

则不难分析出分母可化为

的形式,且此结构重复出现．

解　方法一　当型循环结构程序框图如图所示．

方法二　直到型循环结构程序框图如图所示．

12．给出以下10个数:

5，9，80,43,95,73,28，17，60，36，要求把大于40的数找出来并输出．试画出该问题的程序框图．

解　程序框图如下图:

趣味一题

13．相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者--宰相西萨·班·达依尔．于是，这位宰相跪在国王面前说：

“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒,第三格内给四粒，照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍．陛下啊,把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！

"国王慷慨地答应了宰相的要求，他下令将一袋麦子拿到宝座前．计数麦粒的工作开始了．第一格内放一粒，第二格两粒，第三格四粒……还没到第二十格，袋子已经空了．一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得那么迅速,很快就可以看出，即使拿来全印度的小麦，国王也无法兑现他对宰相许下的诺言!

请你画出一个程序框图来求需要的麦粒数．

分析　由题意,我们可以看出第一格内放一粒，第二格两粒，第三格四粒，就是往后每一格是前一格的2倍,这样一共需要的麦粒数就是1＋2＋22＋…＋262＋263.从而可以得出这是一个累加求和问题，可以利用循环结构来设计算法,计数变量i从1到64循环64次，每个求和的数可用一个累乘变量表示．

解　程序框图：