高中数学必修一 第一章 集 合.docx
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高中数学必修一第一章集合
第一章 集 合
§1
集合的含义与表示
（教师用书独具）
●三维目标
1．知识与技能
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
（2）知道常用数集及其专用记号．
（3）了解集合中元素的确定性、互异性、无序性．
（4）会用集合语言表示有关数学对象．
（5）培养学生抽象概括的能力．
2．过程与方法
（1）让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．
（2）让学生归纳整理本节所学知识．
3．情感、态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性．
●重点难点
重点：
集合的含义与表示方法．
难点：
表示法的恰当选择．
针对教材的内容，编排一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来；通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到一定的预期效果；尤其是练习的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——归纳——概括——应用”等环节．在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到设计中所预想的目标．
（教师用书独具）
●教学建议
集合是学生进入高中学习的第一节课，是学生学好数学所必须掌握好的一个知识点，同时集合是一个不加定义的原始概念，对于学生而言既熟悉又模糊，熟悉是因为学生在初中的数学学习和生活体验中掌握了大量集合的实例，模糊是由于对于集合含义的描述以及集合的数学表示、元素与集合的关系等理解的并不十分到位、准确．同时虽然本节课对于学生而言难度不大，但是其概念多、符号多，容易混淆，需要学生理解记忆．对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作．随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求．用全新的理论来武装自己，让自己的课堂更有效率．
●教学流程
创设情景，揭示课题，通过接触过的集合，举出部分例子⇒研探新知，给出集合的概念及集合的表示⇒质疑答辨，排难解惑，发展思维．思考：
集合中元素有什么特点？
⇒完成例1及其变式训练，巩固元素与集合的关系
⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握集合中元素的特性⇒集合的表示方法各有什么特点？
完成例3及变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒巩固深化反馈矫正，完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．（重点）
2．理解并掌握集合中元素的三个特征．（重点、难点）
3．掌握集合的表示方法及几个常见的数集表示符号．（重点、易混点）
元素与集合的相关概念及表示
【问题导思】
观察下列实例：
（1）2013年1月1日之前，在腾讯微博注册的会员；
（2）平面内到两定点的距离相等的点；
（3）不等式组
的整数解；
（4）方程x2－4x＋4＝0的实数根；
（5）我们班经常参加体育锻炼的同学．
上述实例中的研究对象哪些是确定的？
【提示】
（1）
（2）（3）（4）的研究对象是确定的．
集
合
元素与集合的关系
【问题导思】
对于本班内所有女同学组成的集合，张三（男）、李四（女）分别与集合存在什么关系？
【提示】 张三不在该集合内，李四在该集合内．
关系
概念
记作
读作
属于
若a在集合A中，就说a属于集合A
a∈A
“a属于A”
不属于
若a不在集合A中，就说a不属于集合A
a∉A
“a不属于A”
常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
集合的表示方法
【问题导思】
给出下列集合：
（1）小于10的所有正偶数组成的集合A；
（2）方程x2＋2x＋1＝0的根组成的集合为B；
（3）所有奇数组成的集合为C.
1．你能将集合A中的元素一一列举出来吗？
【提示】 能.2,4,6,8
2．集合B中的元素满足的条件是什么？
【提示】 x2＋x＋1＝0.
3．如何表示集合C?
【提示】 C＝{奇数}或{x|x＝2n＋1，n∈Z}．
1．列举法
把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．
2．描述法
用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法.
集合的分类
1.有限集
含有限个元素的集合．
2．无限集
含无限个元素的集合．
3．空集
不含有任何元素的集合.
元素与集合的关系
下列所给关系正确的个数是（ ）
①π∈R；②
∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N.
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路探究】 解答本题要先弄清“∈”和“∉”的区别与联系及特定的数集符号的含义，再进行判断．
【自主解答】 ∵π是实数，
是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.
【答案】 B
1．判断一个元素是否属于某个集合，关键看其是否具有该集合的特征．
2．N＋（N*）与N不同，前者表示正整数集，而后者表示非负整数集．
给出下列关系，其中正确的有____．
①
∈Z ②0∈N ③
∈N＋ ④3.14∈Q
【解析】 ∵
不是整数，∴
∉Z，故①错；∵0是自然数，∴0∈N，故②正确；∵
不是正整数，∴
∉N＋，故③错，∵3.14是有理数，∴3.14∈Q，故④正确．
【答案】 ②④
集合中元素的特性
已知集合A＝{1,3，a2＋a，a＋1}，若a∈A，求实数a的值．
【思路探究】 根据题中的条件a∈A，可分别列出关于a的方程，然后求出a的值即可，但要注意集合中元素的互异性．
【自主解答】 ∵a∈A，A＝{1,3，a2＋a，a＋1}，
∴a＝1或a＝3或a＝a2＋a.
当a＝1时，a2＋a＝2，a＋1＝2，这与集合中元素互异性矛盾，故舍去，
当a＝3时，a2＋a＝12，a＋1＝4，适合题意；
当a＝a2＋a即a＝0时，a＋1＝1，与集合中元素互异性矛盾，故舍去，
综上所述，所求实数a的值是3.
1．本题中，a是集合A的元素，但不能确定是哪一个元素，故有三种情况．
2．根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用．
（2013·济南高一检测）已知集合A是由三个元素m，m2＋1,1组成的，且2是A中的一个元素，求m的值．
【解】 ∵2是A中的一个元素，∴m＝2或m2＋1＝2，
即m＝2或m＝±1.
当m＝2时，集合A中的元素为：
2,5,1，符合题意．
当m＝1时，集合A中的元素为：
1,2,1不满足互异性，舍去．
当m＝－1时，集合A中的元素为：
－1,2,1符合题意．
综上知m＝2或m＝－1.
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合．
（1）化简式子
＋
（x，y为非零实数）所得结果构成的集合；
（2）所有偶数组成的集合；
（3）直角坐标系内第二象限的点组成的集合；
（4）方程（x－1）（x2－5）＝0的根组成的集合．
【思路探究】 根据题目的特点，结合列举法、描述法的适用范围解答本题．
【自主解答】
（1）根据x，y值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示为{0,2，－2}；
（2）偶数的表达式为2k（k∈Z）．由于有无数个元素，用描述法表示为{x|x＝2k，k∈Z}；
（3）代表元素是有序数对（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x<0且y>0}；
（4）方程有3个根，用列举法表示为{－
，1，
}．
1．当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：
（1）元素之间必须用“，”隔开；
（2）集合的元素必须是明确的；
（3）不必考虑元素出现的先后顺序；
（4）集合中的元素不能重复；
（5）集合中的元素可以是任何事物．
2．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
给出下列说法：
①在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{（x，y）|xy>0}；
②方程
＋|y＋2|＝0的解集为{－2,2}；
③集合{（x，y）|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是同一集合．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【解析】 在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点（x，y），故①正确；
方程
＋|y＋2|＝0等价于
即
解为有序实数对（2，－2），
即解集为{（2，－2）}或{（x，y）|
，故②不正确；
集合{（x，y）|y＝1－x}的代表元素是（x，y），集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相同．③不正确．
【答案】 A
忽视元素的特性致误
已知－1∈{m－1,3m，m2－1}，求实数m的值．
【错解】 ∵－1∈{m－1,3m，m2－1}，
∴m－1＝－1或3m＝－1或m2－1＝－1，
即m＝0或m＝－
.
【错因分析】 代入后，未对元素进行检验，忽视了元素的互异性．
【防范措施】 1.解答含有字母的元素与集合之间的关系时，要有分类讨论的意识．
2．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
【正解】 ∵－1是集合{m－1,3m，m2－1}中的元素，
∴当m－1＝－1时，m＝0,3m＝0，m2－1＝－1.
此时集合为{－1,0，－1}，不满足集合中元素的互异性．
当3m＝－1时，m＝－
，m－1＝－
，m2－1＝－
.
此时集合为{－
，－1，－
}，符合题意．
当m2－1＝－1时，m＝0，m－1＝－1,3m＝0.
此时集合为{－1,0，－1}，不满足集合中元素的互异性．
综上可知实数m的值为－
.
1．集合在数学中是不加定义的，我们只对它进行描述性说明．集合中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．
2．在理解集合概念的同时，必须掌握集合元素的确定性、互异性、无序性．
3．集合元素的互异性，是集合的重要属性，实践证明，集合中元素的互异性常常被同学们在解题中忽略，从而导致解题的失误，因此在集合中的元素含有未知数时，求解完后一定要检验．
4．表示集合可以用列举法或描述法，它们各有优点，一般有限集用列举法，无限集用描述法.
1．下面说法错误的是（ ）
A．所有著名的作家可以组成一个集合
B．方程x2＋2x＋1＝0的解集中只有一个元素
C．已知a≠b，“a、b构成的集合”与“b、a构成的集合”是同一集合
D．如果x与－x是集合中的两个元素，那么x≠0
【解析】 “著名的作家”没有统一的标准，不确定，因而不能构成集合．
【答案】 A
2．下列说法正确的是（ ）
A．由1,2,2,4构成集合时，该集合共有4个元素
B．由1,2,3和3,2,1分别构成的两个集合不是相等集合
C．若x∈Q，则x∈R
D．对于任给一个元素a，则无法判断a是否是集合A中的元素
【解析】 结合集合中元素的互异性可知A不正确；结合集合中元素的确定性知D不正确；结合集合相等的概念可知B不正确；又∵x∈Q，则x是有理数，∴x是实数，即x∈R，故C正确．
【答案】 C
3．用符号∈或∉填空：
（1）－2________N；
（2）3.14159________Q；（3）
________Z.
【解析】 －2不是自然数；3.14159是有理数；
是无理数，它不是整数．
【答案】
（1）∉
（2）∈ （3）∉
4．已知集合A中只有1，x，x2＋3x三个元素，且－2∈A，求实数x的值．
【解】 ∵－2∈A，
（1）当x＝－2时，x2＋3x＝－2，不满足集合中元素的互异性．
（2）当x2＋3x＝－2时，可解得x＝－1或x＝－2（舍）．
综上可知，实数x的值为－1.
一、选择题
1．下列各组对象能构成集合的有（ ）
①美丽的小鸟；②不超过10的非负整数；③立方接近零的正数；④高一年级视力比较好的同学
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 ①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合；②中不超过10的非负整数有：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合；④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合．
【答案】 A
2．小于2的自然数集用列举法可以表示为（ ）
A．{0,1,2}B．{1}C．{0,1}D．{1,2}
【解析】 小于2的自然数为0,1，应选C.
【答案】 C
3．下列各组集合，表示相等集合的是（ ）
①M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{（1,2）}，N＝{1,2}．
A．①B．②C．③D．以上都不对
【解析】 ①中M中表示点（3,2），N中表示点（2,3），②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：
点（1,2），N中表示两个元素分别为1,2.
【答案】 B
4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6－a∈A，那么a为（ ）
A．2B．2或4C．4D．0
【解析】 若a＝2，则6－a＝6－2＝4∈A，符合要求；
若a＝4，则6－a＝6－4＝2∈A，符合要求；
若a＝6，则6－a＝6－6＝0∉A，不符合要求．
∴a＝2或a＝4.
【答案】 B
5．（2013·曲靖高一检测）已知集合M中含有3个元素；0，x2，－x，则x满足的条件是（ ）
A．x≠0B．x≠－1
C．x≠0且x≠－1D．x≠0且x≠1
【解析】 由
解得x≠0且x≠－1.
【答案】 C
二、填空题
6．用符号“∈”或“∉”填空
（1）2
________R,2
________{x|x＜
}；
（2）3________{x|x＝n2＋1，n∈N＋}；
（3）（1,1）________{y|y＝x2}；
（1,1）________{（x，y）|y＝x2}．
【解析】
（1）2
∈R，而2
＝
＞
，
∴2
∉{x|x＜
}．
（2）∵n2＋1＝3，
∴n＝±
∉N＋，
∴3∉{x|x＝n2＋1，n∈N＋}．
（3）（1,1）是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y＝x2}表示二次函数函数值构成的集合，
故（1,1）∉{y|y＝x2}．
集合{（x，y）|y＝x2}表示抛物线y＝x2上的点构成的集合（点集），且满足y＝x2，
∴（1,1）∈{（x，y）|y＝x2}．
【答案】
（1）∈ ∉
（2）∉ （3）∉ ∈
7．已知集合C＝{x|
∈Z，x∈N*}，用列举法表示C＝________.
【解析】 由题意知3－x＝±1，±2，±3，±6，
∴x＝0，－3,1,2,4,5,6,9.
又∵x∈N*，
∴C＝{1,2,4,5,6,9}．
【答案】 {1,2,4,5,6,9}
8．已知集合A＝{－2,4，x2－x}，若6∈A，则x＝________.
【解析】 由于6∈A，所以x2－x＝6，即x2－x－6＝0，解得x＝－2或x＝3.
【答案】 －2或3
三、解答题
9．选择适当的方法表示下列集合：
（1）绝对值不大于3的整数组成的集合；
（2）方程（3x－5）（x＋2）＝0的实数解组成的集合；
（3）一次函数y＝x＋6图像上所有点组成的集合．
【解】
（1）绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；
（2）方程（3x－5）（x＋2）＝0的实数解仅有两个，分别是
，－2，用列举法表示为{
，－2}；
（3）一次函数y＝x＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{（x，y）|y＝x＋6}．
10．已知集合A中含有a－2,2a2＋5a,3三个元素，且－3∈A，求a的值．
【解】 由－3∈A，得a－2＝－3或2a2＋5a＝－3.
（1）若a－2＝－3，则a＝－1，
当a＝－1时，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－1不符合题意．
（2）若2a2＋5a＝－3，则a＝－1或－
.
当a＝－
时，a－2＝－
，符合题意；
当a＝－1时，由
（1）知，不符合题意．
综上可知，实数a的值为－
.
11．已知数集A满足条件：
若a∈A，则
∈A（a≠1），如果a＝2，试求出A中的所有元素．
【解】 ∵2∈A，由题意可知，
＝－1∈A；
由－1∈A可知，
＝
∈A；
由
∈A可知，
＝2∈A.
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，
，2.
（教师用书独具）
集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【思路探究】 明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k值→写出集合A
【自主解答】
（1）当k＝0时，
原方程变为－8x＋16＝0，
x＝2，此时集合A＝{2}．
（2）当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根．
只需Δ＝64－64k＝0，
即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，
集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
1．本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解．
2．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．
3．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．
把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求k的范围．
【解】 由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个实根．∴
解得k＜1且k≠0.
所以k的范围为{k|k＜1且k≠0}．
人物介绍
为科学而疯的人——康托尔
康托尔（Contor，Georg）（1845～1918），德国数学家，集合论的创立人，康托尔自幼对数学有浓厚兴趣，23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究．他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础．
1874年，康托尔的有关无穷的概念震撼了数学界．康托尔凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新思想模式，建立了处理数学中无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展．他发现了惊人的结果：
有理数是可列的，而全体实数是不可列的．
由于在研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又很荒谬的结果（称为“悖论”），许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度．在1874～1876年期间，30岁的康托尔向神秘的无穷宣战．他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应．这样看起来，1厘米长线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”．后几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂．有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”．
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医病．他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的．
真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家，数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”，可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦．
§2
集合的基本关系
（教师用书独具）
●三维目标
1．知识与技能
（1）了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
（2）理解子集、真子集的概念．
（3）能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
2．过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．
3．情感、态度与价值观
（1）树立数形结合的思想．
（2）体会类比对发现新结论的作用．
●重点难点
重点：
集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念．
难点：
属于关系与包含关系的区别．
本节的重点是理解集合间包含与相等的含义，其突破方法是让学生多结合实例，类比实数间的大小关系来学习集合间的包含关系．
（教师用书独具）
●教学建议
教材从学生熟悉的实例出发，通过类比引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集、Venn图、真子集、空集等概念．在安排这部分内容时，教材注重体现逻辑思考的方法，如类比等．值得注意的问题：
在讲解集合间的关系时，建议重视使用Venn图，这有助于学生体会直观图示对理解抽象概念的作用．随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．
●教学流程
创设情境提出问题，思考：
实数有相等关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系⇒概念形成．分析示例：
给出集合的包含关系的相关定义，完成例1及变式训练⇒师生合作得出集合相等的概念.通过实例的共性探究、理解相等概念，完成例2及互动探究
⇒巩固深化，发展思维，加深对集合间关系的理解，完成例3及变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．（重点）
2.理解子集、真子集的概念．（易混点）
3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图对理解抽象概念的作用．（难点）
子集与Venn图
【问题导思】
给出下列集合：
（1）A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．
（2）设集合A为衡水中学高一·三班全体男生组成的集合，集合B为高一·三班全体学生组成的集合．
集合A中的元素与集合B有什么关系？
【提示】 集合A中的每一个元素都属于集合B.
1．子集
含义
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A则a∈B，我们就说集合A包含于集合B或集合B包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A），就说集合A是集合B的子集．
图形
语言性质
任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.
2.Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图.
集合相等
【问题导思】
给定两个集合A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．
1．集合B能否用列举法
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