八年级数学下册勾股定理知识点和典.docx

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八年级数学下册勾股定理知识点和典

勾股定理

［基础知识］

1•勾股定理

a2+b2=c2

2.勾股定理的证明

常见方法如下：

方法

4S;S正方形efGH=S正方形ABCD，

122

4严（b—a）—化简可证.

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

大正方形面积为S=（ab）=a2abb

所以a2b2=c2

、1112z、.

方法三：

S梯形=2（ab）（ab），S梯形=2S.ade■S.^be=2gabc，化简得证

3.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形

4.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a,b,c满足a2b^c2，那么这个三角形是直角三角形

6.勾股数

1记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等

2用含字母的代数式表示n组勾股数：

n2-1,2n,n2・1（n_2,n为正整数）；

22

2n1,2n2n,2n2n1（n为正整数）

2222

m—n,2mn,mn（m.n,m,n为正整数）

7、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

［考点题型］

题型一：

直接考查勾股定理

例1•在ABC中，.C=90•

⑴已知AC=6,BC=8•求AB的长

⑵已知AB=17,AC=15，求BC的长

题型二：

利用勾股定理测量长度

例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?

例题2如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

题型三：

勾股定理和逆定理并用

例题3如图3,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,

形吗？

为什么？

1

F是AB上一点，且FBAB那么△DEF是直角三角

4

题型四：

利用勾股定理求线段长度

例题4如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点

边上的点F，求CE的长.注：

本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。

丘，将厶ADE折叠使点D恰好落在BC

题型五：

利用勾股定理逆定理判断垂直

例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cmAB=60cmBD=1

00cm,AD边与AB边垂直吗？

怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动

打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

题型六：

旋转问题:

题型七：

关于翻折问题

例1如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

题型八：

关于勾股定理在实际中的应用：

例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否

会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

题型九：

关于最短性问题

例5、如右图1—19,壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击•结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐•请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？

（n取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）

2•如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的忽

略不计）

（1）假设昆虫甲在顶点G处静止不动，如图a,在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E,再连结AE、EC“，昆虫乙如果沿途径A>E>C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

（2）如图b,假设昆虫甲从点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？

3•如图，一块砖宽AN=5叫长ND=10cm,CD上的点F距地面的高FD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,要爬行的最短路线是cm

3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相对的端

点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？

4.如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（

A.、、3a

B.12a

C.3a

D..5a

A20

B