求通项公式的几种方法.doc

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求通项公式的几种方法

山东徐美春聂洪玉

数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法．

　　一、观察法

　　已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式．

例1观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式．

（1）；

（2）．

解：

（1）；

（2）．

二、由的前项和与间的关系，求通项

已知数列的通项公式，可以求出的前项和；反过来，

若已知的前项和，如何求呢？

，

当时，；当时，，

故

此处应注意并非对所有的都成立，而只对当且为正整数时成

立，因此由求时必须分和两种情况进行讨论．

例2设数列的前项和，求数列的通项公式．

解：

当时，；

当时，．

此式对也适用．

．

点评：

利用数列的前项和求数列的通项公式时，要注意是否也满足

得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出．

三、利用公式求通项公式

已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项．

例3　等差数列的前项和记为，已知，求通项．

　　解：

，　　　　　①

，②

②－①，得．代入①，得．

．

　　四、利用递推关系，求通项公式

　　根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式．

　　例4　根据下列条件，求数列的通项公式．

（1）数列中，；

（2）数列中，；

（3）数列中，．

解：

（1）因为，所以．

又，所以成等差数列，公差为．

所以．

（2）因为，所以，，，，

．

将上面个式子叠加，得，

所以．

（3）由，变形为，

，．

将上面的式子叠乘，得．

．

五、两式相减，消项求通项

例5数列满足，求．

解：

由题意，

又，

两式相减，得．

．

又时，也适合上式，．

总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律．