一元二次函数方程和不等式.docx

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一元二次函数方程和不等式

一元二次函数、方程和不等式

一、选择题：

（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

）

1.不等式U+l）（x-2）<0的解集为（）

A.（-8,_i）u（2,+8）B.（-oo,_2）u（1,+~）C.（-1,2）D.（-2,1）

2.已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=l,则島+岂的最小值为（）

A.—B.-+V2C.3+2返D.2>/2

32

3.若正数a,b满足a+b=6,贝ijab的最大值为（）

A.5B.6C.7D.9

4•若关于兀的一元二次不等式ax2+2x+l>0的解集为乩则实数a的取值范囤是（）

20•下列各组中，不同解的是（）

B.|x-3|>|2x+6|（x6R）与（x一3）2>（2x+6）2

C.\x2一2x|>3与/-2%>3

D・爲:

;二；冬°与仗一2）（%-3）（%+1）（%+2）<0

11•已知△ABC的内角A.B,C满足sin24+sin（4-3+C）=sin（C-4-3）+,而积S满

足1

A.bc（b+c）>8B.ab（a+b）>16血C.6

abc<24

12.设函数f（x）=loga|x|在（-T0）上单调递增，则f（a+1）与f

（2）的大小关系是（）

A.f（a+1）=f

（2）B.f（a+1）>f

（2）C.f（a+1）

（2）D・不能确

定

二、填空题：

（本题共4小题，每小题5分，共20分。

）

13.已知实数x,y,z满足：

｛x2^2则kl+bl+|z|的最大值为•

14.函数f（x）=ax-a2-4（a>0,xER）,若p?

+q2=8,则屠的取值范围•

15.用一根长为12m的铝合金条做成一个"目"字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗戸通

过的阳光最充足，则框架的宽为m；高为m.

16.泄义f（a,b）=f+:

品；：

£驚其中max｛a,b｝表示a,b中较大的数.对HxGR,

设a=x2,b=-x2+2x,函数讥x）=f（a,b）,则:

（1）0（-1）=:

（2）若g（x）>g（x2）,贝IJ实数X的取值范围是•

三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）

17（12分）.已知集合A=｛x\m-S

定义域为B.

（I）当m=2时，求AUE,月CB;

（口）若ACB工0，求实数m的取值范围.

18（12分）•已知函数f（x）=ax2+（a-3）x+2（其中aER）

（1）当a=-l时，解关于x的不等式f（x）<0：

（2）若f（x）>-1的解集为R,求实数a的取值范用.

19（12分）•设函数/'（£）=|咒+1|—|刘的最大值是m・

（1）求m的值；

（2）若正实数a、b满足4a+3b=m,求二=+2■最小值及此时a、b的值；

2a+ba+b

（3）若正实数a、b满足a+b=2m,求匸^+二的最小值及此时a、b的值.

ab+1

20（i2分）•已知函数/*（%）=ax2—（a+l）x+1,aER・

（1）若不等>-%-2对xGR恒成立，求实数Q的取值范围;

（2）当aWR时，求关于％的不等式f（x）>0的解集・

21（12分）•已知函数/（%）=2x（xER）・

（1）解不等式f（兀）一/（2x）>16-9X2”：

（2）若函数/'（%）=g（x）+心），其中g（x）为奇函数，々x）为偶函数，若不等式2ap（x）+h

（2%）>0对任意咒G[1,2]恒成立，求实数a的取值范屁

22（12分）•如图，在梯形43CD中，DC//AB,DA=CB=AB=1,DC=AC

（1）求DC；

（2）平而内点P在DC的上方，且满足ZDPC=3ZACB.求DP+CP的最大值.

第二章一元二次函数、方程和不等式

一、选择题：

（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

）

1•不等式（％+1）（%-2）<0的解集为（）

【「】c

【解析】一元二次方程（兀+1）（%-2）=0的根为小=-1^2=2,据此可得：

不等式仗+1）（%-2）<0的解集为（-1,2）.

故答案为：

C.

2•已知实数%』满足x>y>0,且x+y=l,则最+三的最小值为（

【答案】B

x+3y

【解析】召+丄=（召+屯（竺产）今［3+窖+注］x+3yx-yvx+3yx-jrv2z2Lx+3yx-yJ

>i［3+2/g.注］=旦

—2Lyjx+3yx-yJ2

故答案为：

B

【答案】D

所以Qb的最大值

【解析】依题意ab<（響2=（护=》当且仅当a=b=3时等号成立,为9・故答案为：

D4•若关于兀的一元二次不等式ax2+2x+l>0的解集为R,则实数a的取值范围是（）

A.（l^+oo）B.（0,1）C.（一8,1）D.（一汽0）U（0,1）

【答案】A

【解析】由于关于x的一元二次不等式ax?

+2x+1>0的解集为则｛力=：

j；v0'解得a>1・

因此，实数a的取值范国是（1,+8）.故答案为：

A.

5•设G/?

+（+y）（m+g）na恒成立，则实数a的最大值为（）

A.2B.4C.8

【答案】B

【融'析】由十（x+y）（£+2）=2+中+*N2+2（三•*=4,当且仅当尤=y而%‘yGR*,（x+y）G+2）-a恒成立，故a<4,也即a的最大值为4.

aty

故答案为：

B.

X>1

6•已知益y满足｛x+y-3<0,则目标函数z=%—y—2的最小值为（%-2y-3<0

A.-4B.-3C.-1

【答案】B

D.16

=1时等号成立,

）

D.1

=x-z-2,

【解析】画出不等式组对应的可行域，如图所示，由z=x-y-2可得y

数形结合可得当直线y=咒-z-2经过点B时z取到最小值，

由&+：

［；=0可得点B（1,2），

所以z=x-y-2的最小值为z=l-2-2=-3

故答案为：

B

7.若a<0,则关于x的不等式X2—4ax—5a2>0的解是（）

D.—a

A.x>5a或x<—aB.x>—a或x<5aC.5a

<5a

【答案】B

【解析】由xz-4ax-5a2=0有（%+«）（%-5a）=0

所以方程兀2-4ax一5a2=0的两个实数根为巾=一a,x2=5a

因为a<0,所以口>x2

所以由不等式送—4ax—Sa2>0得x>—a,或％<5a

故答案为：

B8•函数f（咒）=x+丄（咒>2）最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】•••x>2，即x-2>0,

"）=尤+占=—2+±+2珂（—2）三+2=4,

当且仅当x-2=-^-，即兀=3时取等号，

x-2

所以函数/'（X）最小值是4,

故答案为：

D.

9•已知0

A.2B.2\/2C.3-V2D.3-2\/2

【答案】c

【解析】•・•4（a+b）=4ab+3,・•・4ab—4a—4b+3=0,配凑得：

4ab—4a—4b+4=1,两边同时除以4得：

ab—a—b+1=即（1—a）（l一b）=扌，

1

—x——

Zx

令兀=1—a>0,y=1—b>0,则a=1—%,b=l—y,y=—>所以a+2b=1—兀+2（1—y）=—兀一2y+3==-（^+^）+3<-2^x•^+3=3-V2（当且仅当x=^即"乎时，等号成立）.故答案为：

C.

10•下列各组中，不同解的是（）

B.|x-3|>|2x+6\（xGR）与（x一3）2>（2x+6）2

C.\x2一2x|>3与/-2%>3

D-:

:

左鳥S°与（x-2）（x-3）（x+l）（x+2）<0

【答案】D

【解析】对于A：

・・•%2-4%+12=（%-2）2+8>8>0,所以一>1与咒>%2-4%+

v/x2-4x+12

12两个不等式的解集相同；

对于B：

因为|a|>|b|与a?

>沪等价，所以-3|>\2x+6\（xGR）与（x—3）2>（2x+6）2

两个不等式的解集相同：

对于C：

根据绝对值不等式|x|>a（a>0）等价于x>a或x

|x2—2x|>3与/—2x>

3或/-2x<一3的解集相同；

对于D：

根据鬻<0Q/（^（/（/（学。

知：

号船<0等价于（x-2）（x-3）（x+l）（x+

2）<0且（x+l）（x+2）工0,所以D中的两个不等式不同解，

故答案为：

D.

X.已知AABC的内角A,B,C满足sin2>l+sin（>l-B+C）=sin（C->4-B）+1,面积S满

足1SSS2,记a、b、c分别为A,B,C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）

A.bc（b+c）>8B.ab（a+b）>16逅C.6

abc<24

【答案】A

【解析】解：

TA、B、C是2L48C的内角，且满足

sin2力+sin（4—3+C）=sin（C一力一3）+f

sin2>4++sin[（n—B）—B]=—sin（4+3—C）+扌

sin2A+sin（n—2B）=—sin（兀一2C）+f

即：

sin2i4+sin2B=—sin2C+-

2

sin2>4+sin2B+sin2C=-

2

•••sin2B=sin[（B+C）+（3—C）]=sin（B+C）cos（B一C）+cos（B+C）sin（B—C）

sin2C=sin[（C+B）+（C—B）]=sin（C+E）cos（C—3）+cos（C+B）sin（C一B）

=sin（B+C）cos（E—C）一cos（B+C）sin（B—C）

/.sin2>l+sin2B+sin2C=sin2>4+2sin（B+C）cos（E—C）=f

2sin4cos力+2sin?

lcos（B—C）=f即：

2sinA[cos（B—C）—cos（B+C）]=扌

/.2sin>4・2sinBsinC=土即：

sinAsinBsinC=-

28

设外接圆的半径为R，由正弦左理得:

===2R

sinAsinBsinC

Fhs=^absinC及正弦左理得:

S=i・2RsinA・2RsinB・sinC

2

sinA-sinB-sinC=—

•••拾Y即：

R_4S

•/而积S满足1SSS2

/.4

2

又•••sinAsinBsinC=|

・•・abc=8R3X-=R3

8

/.8

显然C、D不一泄正确

A・bc（b+c）>abc>8,即：

bc（b+c）>8正确

B.ab（a+b）>abc>8,即：

ab（a+b）>8但ab（a+b）>16逅不一左正确故答案为：

A

12•设函数f（x）=logjx|在CfO）上单调递增,则f（a+l）与f

（2）的大小关系是（）

A.f（a+1）=f

（2）B.f（a+1）>f

（2）C.f（a+1）

（2）D・不能确

定

【答案】B

log,（-X）,（-8,0）

Ja

logX,xE（0,+8）

【解析】解答：

由f（x）=I%

且f（x）在（-g,0）上单调递增，易得OVaVl.

・•・l

又Tf（x）是偶函数，

/.f（x）在（0,+x）上单调递减.

・・・f（a+1）>f

（2）.

答案:

B

二、填空题：

（本题共4小题，每小题5分，共20分。

）

13.已知实数x,y,z满足：

｛”¥；'：

；2：

=336,则kl+lyl+kl的最大值为•

【答案】1+2血

【解析】首先&y,z至少有一个正数，

⑴如果x>0fy>0fz>0.则由x+y+z=3得②”z€[0,3],x2+y2+z2<27<36>不成立：

⑵若益中只有一个负数，不妨设x>0fy>0fz<0,

则一z=x+y-3,z2=（x+y）2-6（x+y）+9,又z2=36-（x2+y2）<36-^^,

・•・（%+y）2-6（%+y）+9<36-即（%+y）2-4（%+y）-18<0,

x+y<2+V22>

\x\+\y\+\z\=x+y-z=2x+2y-3

辰时等号成立；

⑶若x,y,z中有两个负数，不妨设x>0,y<0,z<0,

则一y-z=%-3,y2+z2=36-x2>

2

.・■36_x2>-2x-21<0,0<%<1+\<22,

2

kl+"I+|z|=x-y-z=2x-3S1+2n/22,当且仅当x=1+V22.y=z=l-兰时

等号成立；

综上所述,|x|+|y|+|z|的最大值是1+2屁.

故答案为：

1+2血

14.函数f（x）="—a2—4（a>0,xGR）,若p2+q2=8,则需的取值范围.

【答案】[2-阿2+两

【解析】解：

尖=竺凳=三呉，表示点严=1，与B（a+-,a+-）连线的斜率，

f（p）ap-a—4p-（a+j））=_3・、&a，

因为a>0,所以a+->2/T^=4,当且仅当a=即a=2时等号成立，

aaa

所以取点E（4,4）,因为p2+g2=8,所以广=1，在以原点为圆心，2逅为半径的圆上,b=—3.

当佃与圆的切线CE重合时，斜率最小；与DE重合时，斜率最大.

设过E的直线m

Vl+lr

所以供的最小值为2-屆兴的最大值为2+V3,

/（p）f（p）

故答案为：

[2—\'3,2+、③•

15.用一根长为12m的铝合金条做成一个"目"字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通

过的阳光最充足，则框架的宽为m；高为m.

【答案】3

【解析】设窗户的宽为x,则英高为6-2%,要使阳光充足，只要而积最大,S=%（6-2%）=

2x（3-%）<2X=p当且仅当x=|lht等号成立，这时髙为3m.

故答案为：

I；3

16.泄义f（a,b）=f+[V°，其中max{a,b}表示a,b中较大的数.对HxGR,

'7•max{a,b}#a+b>0,

设a=x29b=-x2+2x9函如O）=f（a,b）,贝叽

<1）<7（-l）=；

（2）若g（%）>g（x2）,则实数x的取值范围是•

【答案】<1）-3.

（2）{x|-1<%<0或0VxV1}

【解析】

（1）先求出eb,再求g（—l）得解；

（2）先求出g（x）fg（x2）的解析式，再分类讨论解不等式得解.

三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）

17（12分）.已知集合A={x\m-5<%

立义域为B.

（I）当m=2时，求AUB,AHB;

（口）若ACB工0，求实数m的取值范吊I.

【答案】解：

（I）当TH=2时，得4={%|-3

由一以+%+6>0，得B={x|—2VxV3},

于是4UB={%|-3<%<3},

AC\B=（x\-2

（II）若ACBH0,

得一1VmV8.

【解析】（l）利用对数貞•数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合由此求得SU3,

AHB•（II）根据ACBH0列不等式组，解不等式组求得实数m的取值范用.

18（12分）.已知函数f（x）=ax2+（a-3）x+2（其中aSR）.

（1）当a=-l时，解关于x的不等式f（x）<0：

（2）若f（x）>—1的解集为R,求实数a的取值范围.

【答案】

（1）解：

当a=-l时，由/（%）<0得，一以一4兀+2<0,

所以xz+4x-2>0,所以不等式的解集为（一8,-V6-2）U（V6-2,+叼

19（12分）•设函数f（£）=|%+l|—冈的最大值是m・

（1）求m的值；

（2）若正实数a、b满足4a+3b=m,求二2■最小值及此时a、b的值；

2a+ba+b

（3）若正实数a、b满足a+b=2m,求二上+吕的最小值及此时a、b的值.

ab+1

【答案】

（1）解：

根据绝对值三角不等式：

k+ll—kl

值为1，即得出m=l；

（2）解：

由

（1）可知4a+3b=l,因为a>0,b>0,

（2（a+b）

2a+b

J2a+b

a+b

>3+2

=3+2^2

当且仅'［黯=空，即2a+b=y/2（a+b）,又4a+3b=l,所以a=等，b=3—2逅时取等号；

所以2a+b-a+b

1+岛最小值为3+2血此时“宁，b=3-2竝

（3）

b+1

解：

由

（1）得a+b=2.a>0,b>0,所以M+二=a+三+丄）匸2（中+1）+丄ab+1a

2121

ak7b+1ab+1

a+b+12112（b+1）a

"++亍〔3+^+中]

当且仅当竺巴即°=6-3返』=3返一4时取等号:

ab+1

【解析］

（1）根据绝对值三角不等式:

|x+l|-|x|<|x+l-x|即可求岀门幻的最大值为1,即得出m=X

（2）由⑴可知4°+3b"所以岛+岛=（岛+岛）［（2a+b）+2（a+b）］利用乘"T法求岀最小值;（3）由

（1）得a+b=2,a>0,b>0,所以普+磊=

1+^3+呼+尙］,再利用基本不等式计算可得：

20（12分）•已知函数/（%）=ax2-（a+l）x+ItaER・

（1）若不等iV（x）>-X一2对xER]b成立，求实数Q的取值范用；

（2）当aER时，求关于x的不等式f（x）>0的解集.

【答案】

（1）解：

由题意得ax2-（a+l）x+l>-x-2对xGR恒成立

HPax2-ax+3>0对兀6R恒成立

若。

=0,则不等式3>0恒成立

综上，实数a的取值范用为[0,12）

（2）解：

不等式f（x）>0为（x-l）（ax-l）>0.若a=0,则不等式为一（咒—1）>0»%<1

若a>0,则不等式可化为（X-1）（%一》>0,

1当扌>1即0VaVl时，不等式解为x^,

2当扌=1即a=1时，不等式解为尤工1,

3当右V1即a>1时，不等式解为尤>1或％V土,aa

若aV0,则不等式可化为（咒一1）（%一扌）V0解得扌<%<1,

综上，当aVO时，不等式解集为

当a=0时，不等式解集为（—8,1）,当OVaVI时，不等式解集为（-8,l）u（=+8）,

a

当a=1时，不等式解集为（一8,i）u（1,+Q）,

当a>1.时，不等式解集为（一8,»U（1,+叼.

【解析】

（1）/（%）>-%-2^fx6R恒成立转化为ax2-ax+3>0）^xGR恒成立，结合二

次项情况可得解；

（2）对a分情况讨论，再解一元二次不等式可得答案.

21（12分）•已知函数/（%）=2x（xGR）・

（1）解不等式f（咒）一/（2x）>16-9X2”：

（2）若函数f（x）=g（x）+g）,其中g（x）为奇函数，々x）为偶函数，若不等式2ag（x）+h

（2x）>0对任意xG[1,2]恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】

（1）解：

设t=2*,由f（X）>16-9x2x得：

t・t2>16・9t,

即t2-10t+16<0

・•・不等式的解集为（1,3）.

・•・2

22x+2-2«_（2X_2-^）2+2_12

2ag（x）+h（2x）>0,RP（2X—2-x）aH亍——>0.对任意xG[lt2]恒成立,

XxG[l,2]时，令t=2J2=tG[|£],

2（2X-2'X）"~（2X-2"X）—亍（t+p

在羽上