完整版历年全国自考线性代数试题及答案.docx
《完整版历年全国自考线性代数试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版历年全国自考线性代数试题及答案.docx（39页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
完整版历年全国自考线性代数试题及答案
全国2010年7月高等教育自学考试
试卷说明：
在本卷中，
列式；E表示单位矩阵。
AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行
1•设3阶方阵A=[a1,a2,a3]，其中ai（i=1,2,3）为A的列向量,
若|B|=|[a1+2a2,a2,a3]|=6，则|A|=（）A.-12B.-6C.6D.12
3020
2•计算行列式
）A.-180B.-120C.120D.180
21050
0020
2323
12
3•设A=34，则|2A*F（
）A.-8B.-4C.4D.8
4.设a1,a2,a3,a4都是3维向量，则必有
A.a1,a2,a3,a4线性无关B.a1,a2,a3,a4线性相关
C.a1可由a2,a3,a4线性表示D.a1不可由a2,a3,a4线性表示
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,贝UR（A）=（）A.2B3C.4D.5
6.设A、B为同阶矩阵，且R（A）=R（B），则（）A.A与B相似B.A|=|B|C.A与B等价D.A与B合同
7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则|A+2E|=（）A.0B.2C.3D.24
&若A、B相似，则下列说法错误.的是（）A.A与B等价B.A与B合同C.|A|=|B|D.A与B有相同特征
9.若向量a=（1,-2,1）与B=（2,3,t）正交，则t=（）A.-2B.0C.2D.4
10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,l,0,则（）A.A正定B.A半正定C.A负定D.A半负定
二、填空题（本大题共10小题海小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
32
211山
1l.设A=01,B=，则AB=.
010
24
12.设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-l|=.
13.三元方程X1+X2+X3=0的结构解是.
14.设a=（-1,2,2），则与a反方向的单位向量是.
15.设A为5阶方阵，且R（A）=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是.
1
16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2,丄，I，则|5A-1匸.
2
17.若A、B为同阶方阵，且Bx=0只有零解，若R（A）=3，贝UR（AB）=.
22
18.二次型f（X1,X2,X3）=X1-2X1X2+X2-X2X3所对应的矩阵是.
19.设3元非齐次线性方程组
11
Ax=b有解a1=2,a2=2
33
且R（A）=2，则Ax=b的通解是
1
20.设a=2,则A=aaT的非零特征值是
3
3x3
X4
1
3x1x2
3x3
4x4
4白
勺结构解•
x15x2
9X3
8x4
0
24.求向量组
a1=
:
（1,
2,
3，4），a2=（
a4=（2，3
•，6，
8）
的秩
2
1
2
25.已知A=
5
a
3
的一个特征向量
1
b
2
23.求非齐次线性方程组
-1，2,3），
0，
全部特征向量
a3=（2，3，8，
11），
=（1，1，-1）丁，求a,b及所对应的特征值,
并写出对应于这个特征值的
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
2
0
0
2
0
0
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
1
4
3
21.计算5阶行列式D=
0
0
2
0
0
22.设矩阵X满足方程0
1
0
X0
0
1=
=2
0
1求X
0
0
0
2
0
0
0
2
0
1
0
1
2
0
1
0
0
0
2
26.用正交变换化二次型
f（X1,X2,X3）=xj2xf2xf4x2X3为标准形，并写出所用的正交变换
四、证明题（本大题共1小题，6分）27.设a1，a2，a3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系•证明a1，a1+a2，a2+a3也是Ax=0的基础解系
全国2011年1月
说明：
本卷中，At表示矩阵A转置，det（A）表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，（，）表示向量，的内积，E表示单位矩阵.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无
1.设A是4阶方阵，且det（A）=4，贝Udet（4A）=（）A.44B.45C.46D.47
2.已知A2+A+E=0，则矩阵A-1=（）A.A+EB.A-EC.-A-ED.-A+E
3.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵，且A,B可逆，AXB=C,则矩阵X=（）
A.A-1CB-B.CA-1B-1C.B-1A-1CD.CB-1A-1
4.
D.AAt是s>对称矩阵
设A是s>n矩阵（s丰n）则以下关于矩阵A的叙述正确的是（）
A.AtA是s>对称矩B.AtA=AAtC.（AtA）t=AAt
设1,2,3,4,5是四维向量，贝U（
l,2,3,4,5一定线性无关B.l,
2,3,4,
5一定线性相关
5—定可以由1,2,3,4线性表出D.
1一定可以由
2,3,4,5线性表出
设A是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足设矩阵A与B相似，则以下结论不正确.的是（
AX=0，贝U（
）
）A.A=0B.A=EC.秩（A）=n
D.0<秩（A）秩（A）=秩（B）B.A与B等价C.A与B有相同的特征值D.A与B的特征向量一定相同
8.
3
3为矩阵A=0
0
0
5的三个特征值，则123=（
2
）A.
10B.20C.24
D.30
二次型
f（X1,X2,X3）=X12
2
X2
2
X3
2X1X22X1X32X2X3的秩为（
）A.1
B.2C.3D.
10.设A,
B是正定矩阵，则
A.AB一定是正定矩阵B.A+B一定是正定矩阵C.（AB）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
T一定是正定矩阵D.
A-B一定是负定矩阵
10
11.设A=,k为正整数，则Ak=
11
.12.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵
1
A-1=3
则矩阵A=
13.设同阶方阵A,B的行列式分别为-3,5，则det（AB）=
14.设向量=（6,-2,0,4）,=
（-3,1,5,7），向量满足2+
=3,则=
2
3
0
3
1
7“丄
15.实数向量空间V={（X1,X2,
…Xn）|3X1+X2+…+Xn=0}的维数是
.16.矩阵A=
0
2
的秩
4
1
4
5
17.设1,2是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3172）=
18.设方阵A有一个特征值为0,则det（A3）=.
19.设P为正交矩阵，若（Px,Py）=8,贝卩（x,y）=.
222
6小题，每小题9分，共54分）
20.设f（xi,X2,X3）=X!
4X22x32tXM22^X3是正定二次型，则t满足
abc
2a
2a
21.计算行列式
2b
bac
2b
2c
2c
cab
三、计算题（本大题共
41
0
0
2
22.判断矩阵A=
3
0
0是否可逆，若可逆，求其逆矩阵
0
0
5
6
0
0
6
7
23.求向量组i=（1，2，-1，-2）,2=（2，5，-6，-5）,3=（3，1，1，1）,4=（-1，2，-7，-3）的一个最大线性无关组,
并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来.
2x1
3x2
X3
5x4
0
24.求齐次线性方程组
3x1
X2
2x3
4x4
0的一个基础解系及其结构解
X1
2X2
3x3
X4
0
2
25.求矩阵A=1
2
32
82的特征值和特征向量.
143
26.写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型.
f（X1,X2，X3）=xj3xf2x1x22x1x36x2x3
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.设方阵A满足（A+E）2=E，且B与A相似，证明：
B2+2B=0.
1.卜列等式中,
正确的是
（）
20
0
1
0
012
3
369
A.
2
B.3
00
1
0
2
145
6
456
1
0
0
2.设矩阵
A=
2
2
0
，那么矩阵A的列向量组的秩为
3
4
0
说明：
At表示矩阵A的转置矩阵,
3.设向量1=（-1，4），
2=（1，_2），
A*表示矩阵A的伴随矩阵,
E是单位矩阵,
|A|表示方阵A的行列式。
3=（3，-8），右有常数a,b使a1-b
2-3=0,则（
1
0
1
20
120
C.5
10
D.
0
2
0
35
035
（
）
A.3
B.2C.1
D.0
4=（4,9,0）的极大线性无关组为（
A.a=-1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2D.a=1,b=2
A.
1,
4B.
1,
3C.1,
2
D.
2,
1
3
5.
下列矩阵
车中,
是初等矩阵的为（
）
1
1
1
2
00
1
0
8
1
0
8
A.
0
1
0
B.0
20C.
0
1
0
D.
0
1
8
0
0
1
0
02
0
0
1
0
0
1
4.向量组1=（1,2,0）,
2=（2,4,0）,3=（3,6,0）,
0b
6•设A、B均为n阶可逆矩阵，且
C=0B，则C-1是（
A0
A.B1
JB.A
C.0
7.设A为3阶矩阵,
8.设=3是可逆矩阵
A的秩r（A）=3，则矩阵
A的一个特征值，则矩阵
9.设矩阵A=2
D.A1
A*的秩r（A*）=（
12，则A的对应于特征值
）A.0B.1
C.2
D.3
1
有一个特征值等于（
=0的特征向量为（
）A.
D.-
3
D.（0,1,1）T
A.（0,0,0）tB.（0,2,-1）TC.（1,0,-1）T
10.下列矩阵中是正定矩阵的为（）
1
1D.
23303
A.B.C.
233631
、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）
111
11•行列式123
149
1
:
.12.设矩阵A=2
3
1
2,B=（1,2,3）,贝UBA=
1
3
中第4行各元素的代数余子式之和为
1
13.行列式
0
14.设A，B为n阶方阵，且AB=E，A-1B=B-1A=E，贝UA2+B2=.
15.设向量=（1,2,3,4）,贝U的单位化向量为.
16.设3阶方阵A的行列式AF1，则|A3|=.
2
17.已知3维向量=（1,-3,3）,=（1,0,-1）贝9+3=.
18.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为n-1,则齐次线性方程组Ax=0的通解为
19.设1,2,…,n是n阶矩阵A的n个特征值，则矩阵A的行列式|A|=.
20.二次型f（X1,X2,X3）=X1X2+X1X3+X2X3的秩为.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
1
21.已知矩阵A=2
1
11
10,B=
01
10
21
02
0
0,求：
（1）AtB；
（2）|AtB|.
1
123
QA
1
3
22.设A=221
21
B=,
C=2
0,且满足AXB=C,求矩阵X
53
343
3
1
23.求向量组1=（1,2,1,0）t,2=（1,1,1,2）T,3=（3,4,3,4）T,4=（4,5,6,4）T的秩与一个极大线性无关组
x1x23x3x41
24.判断线性方程组2X1X2X34X42是否有解，有解时求出它的解.
x14x35x41
25.
2=（-1,0,1）T,
（1）用施密特正交化方法将
设向量1=（1,1,0）T,
1,2化为正父的1,2；
（2）求3,使1,2,3两两正父.
222
26.已知二次型f=X1X2X3
2
2X1X3,经正交变换x=Py化成了标准形f=y1
2
2y2,求所用的正交矩阵
P.
四、证明题（本大题共6分）
27.设A为5阶反对称矩阵，证明|A|=0.
1
0
1
1.设A3
5
0，则
aat
=（
0
4
1
2•设A为3阶方阵，且A4，则2A
3.设A,B为n阶方阵，且A=-A,BT=B,
）A.-49B.-7C.7
D.
49
（）A.-32B.
-8C.
8D.32
则下列命题正确的是（
）
A.（A+B）T=A+BB.（AB）T=-ABC.A2是对称矩阵D•B2+A是对称阵
4.设A,B,X,Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）
A.若A2=0,
则A=0B.
.（AB）2=A2B2C.若AX=AY，贝UX=YD.若A+X=B,
贝UX=B-A
1
1
3
1
0
2
1
4
5.设矩阵A=
，则秩（A）=（）A.1B.2C.3
D.4
0
0
0
5
0
0
0
0
kx
z
0
6.若方程组
2x
ky
z
0仅有零解，则k=（）A.-2B.-1C.0
D.2
kx
2y
z
0
7.实数向量空间
V={
（X1,
X2,X3）|X1+X3=0}的维数是（）A.0B
.1C.2D.3
X1
2x2
X3
1
&若方程组
3x2
X3
2有无穷多解，则
=（）A.1B.2C.3D.4
X2
x3
（3）（4）
（2）
1
0
0
9.设A=0
1
0,
则下列矩阵中与A相似的是（）
0
0
2
020B.
22
）A.正定B.不定C.负定D.半正定
10.设实二次型f（捲兀*）X2X3，则f（
11.设A=（-1,1,2）t,B=（0,2,3）T,则|ABt|=.
12.设三阶矩阵A1,2,3,其中i（i1,2,3）为A的列向量，且|A|=2，则12,2,123
0
1
0
1
设Aa
0
c，且秩（A）=3，贝Ua,b,c应满足
.14.矩阵Q2
2的逆矩阵是
1
1
3
b
0
2
2
2
三兀方程
X1+X3=1的通解是.16.已知A相似于
10，则|A-E|
02
0
0
1
矩阵A
0
1
0
的特征值是
1
0
0
1
2
与矩阵A
2
1
相似的对角矩阵是
1
00
设A相似于
0
10，则A4.
0
01
二次型f（X1,X2,X3）=X1X2-X1X3+X2X3的矩阵是
•二、计算题
（本大题共
13.
15.
17.
18.
19.
20.
21.
23.
24.
25.
26.
27.
6小题，每小题9分，共54分
计算4阶行列式D=
.22.
设A=
，而X满足AX+E=A2+X,求X.
求向量组：
13,
1
的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余
1的特
X
2x2
2x3
0
为何值时，齐次方程组2X1
X2
X3
0有非零解？
并求其全部非零解
3X|
X2
X3
0
的向量表示成该极大无关组的线性组合
当
已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量1（1,1,1$、2（2,2,1）T是A的对应于12
征向量，求A的属于31的特征向量.
求正交变换Y=PX，化二次型f（X1,X2,X3）=2X1X2+2X1X3-2X2X3为标准形.四、证明题（本大题6分）
设1,2,3线性无关，证明1,122,133也线性无关.
接下来是答案
全国2010年7月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题课程代码：
04184
*
试卷说明：
在本卷中，人1表示矩阵A的转置矩阵（行列对换）；A*表示A的伴随矩阵；A-1=A_（重要）
IA
求A-1和A*时，可用这个公式，A*太复杂了自己看看
1
0
0
2
0
0
r（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式;E表示单位矩阵。
E0
1
0
2E0
2
0，每一项都乘2
0
0
1
0
0
2
一、单项选择题[]表示矩阵，矩阵乘矩阵还是矩阵；||表示行列式，计算后为一个数值，行列式相乘为数值
运算
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选
均无分。
1•设3阶方阵
A=（a1，a2，a3），其中ai（i=1,2,3）为A的列向量，若|B|=（a什2a2，a2，a3）|=6,则|A|=（C）
A.-12
B.-6ai（i=1,2,3）为A的列向量，3行1列
C.6
D.12
2•计算行列式
3
2
0
2
0
10
0
3
0
0
0
3
=（A
）=3*-2*10*3=-180
A.-180
B.-120
C.120
D.180
3•若A为3阶方阵且
|A-1
|=2,则|2A|=（c）=23|A|=8*1/2=4
B.2
A.-
2
C.4D.8
4.设a1，a2，a3，a4都是3维向量，则必有（B）n+1个n维向量线性相关
A.a1，a2，a3，a4线性无关B.a1，a2，a3，a4线性相关
C.a1可由a2，a3，a4线性表示D.a1不可由a2，a3，a4线性表示
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r（A）=（C）
A.2B.3n-r（A）=解向量的个数=2,n=6
C.4D.5
6.设A、B为同阶方阵，且r（A）=r（B），则（C）A与B合同r（A）=r（B）PTAP=B,P可逆
A.A与B相似
B.|A|=|BI
C.A与B等价
D.A与B合同
7•设A为3阶方阵，其特征值分别为
2,1,0则|A+2E|=（D）,|A|=所有特征值的积=0
A.OB.2A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2,|A+2E|=4*3*2
C.3D.24
8•若A、B相似，则下列说法错误.的是（B）
A.A与B等价B.A与B合同
C.|A|=|B|D.A与B有相同特征值
A、B相似A、B特征值相同|A|=|B|r（A）=r（B）;若A〜B,B〜C,则A〜C（〜代表等价）
9若向量a=（1,-2,1）与3=（2,3,t）正交，则t=（D）T0,即1*2-2*3+1*t=0,t=4
A.-2B.0
C.2D.4
10•设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（B）,所有特征值都大于0，正定；
A.A正定B.A半正定所有特征值都小于0,负定；
C.A负定D.A半负定所有特征值都大于等于0,半正定；同理半负定；其他情况不定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11.设
A=0
1,B=21
1
，贝UAB：
=（A
的每
一行与B
的每一列对应相乘相加）
2
4
01
0
3*2
2*0
3*1
2*1
3*
12*0
6
53
a11a12
a13
=0*2
1*0
0*1
1*0
0*
11*0
=0
10
升级会员 