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高中数学考试必备的知识点整理

温馨提示：

在复习的同时，也要结合课本上的例题去复习，重点是课本，而不是题目应该怎样去做，所以在考前的一天必须回归课本复习，心中无公式，是解不出任何题目来的，只要心中有公式，中等的题目都可以解决。

必修一：

一、集合的运算：

交集：

定义：

由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为AB

并集：

定义：

由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为AB

补集：

定义：

在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为CUA

二、指数与指数函数

1、幂的运算法则：

（1）am•an=am+n，

（2）am÷an=am-n，（3）（am）n=amn（4）（ab）n=

an•bn

⎛a⎫n

an1n

（5）ç⎪=（6）a0=1（a≠0）（7）a-n=（8）am=man（9）

⎝b⎭bnan

a-n1

m=

2、根式的性质

（1）（na）n=a.

（2）当n为奇数时，

=a；当n为偶数时，

=|a|=⎧a,a≥0.

⎨-

5.指数式与对数式的互化：

6、对数的运算法则：

logaN=b⇔ab=N（a>0,a≠1,N>0）.

⎩a,a<0

（1）ab=N<=>b=logaN

（2）loga1=0（3）logaa=1

（4）logaab=b（5）alogaN=N（6）loga（MN）=logaM+loga

N

M

（7）loga（）=logaM-logaN（8）logaNb=blogaN（9）换底公式：

logaN=

N

logbN

logba

（10）推论：

logbn=nlog

b（,且,,且,,）.

（11）log

m

a

N=1

logNa

a>0a>1m,n>0m≠1n≠1N>0

ma

（12）常用对数：

lgN=log10N（13）自然对数：

lnA=logeA

必修4：

角α

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

1、特殊角的三角函数值

角α

的弧度数

0

π

6

π

4

π

3

π

2

π

3π2

2π

Sinα

0

1

2

2

2

3

2

1

0

-1

0

Cosα

1

3

2

2

2

1

2

0

-1

0

1

tanα

0

3

3

1

3

不存在

0

不存在

0

2、诱导公式：

函数名不变，符号看象限（把α看成锐角）

公式一：

Sin（α+2kπ）=Sinα公式二：

Sin（α+π）=-Sinα

Cos（α+2kπ）=CosαCos（α+π）=-Cosα

tan（α+2kπ）=tanαtan（α+π）=tanα

公式三：

Sin（-α）=-Sinα公式四：

Sin（π-α）=Sinα

Cos（-α）=CosαCos（π-α）=-Cosα

tan（-α）=-tanαtan（π-α）=-tanαππ

公式五：

Sin（-α）=Cosα公式六：

Sin（+α）=Cosα

22

ππ

Cos（-α）=SinαCos（+α）=-Sinα

22

3、两角和与角差的正弦、余弦和正切公式

①sin（+）=sincos+cossin②sin（-）=sincos-cossin

③cos（+）=coscos-sinsin④cos（-）=coscos+sinsin

tan+tantan-tan

⑤tan（+）=1-tantan⑥tan（-）=1+tantan

4.二倍角的正弦、余弦和正切公式

①sin2=2sincos②cos2=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1

2tan

③tan2=

④sin2=1-cos2

⑤cos2=1+cos2

1-tan222

sincos=1sin2

2

5、向量公式：

→→x1y1→→

①a∥b⇔x=（x2,y2≠0）（a∥b⇔x1y2-x2,y1=0）

→→

②a+b

===

③cos=

→→

a⋅b=

→→

a⋅b

x1x2+y1y2（求向量的夹角）

x2+y2

→→→→→

④a⊥b⇔a⋅b=0⑥平面内两点间的距离公式：

设a=（x,y）,则

→2→

a=x2+y2或a=

→

⑦平面内两点间的距离公式：

a=

高中数学必修5知识点归纳

第一章解三角形

1、正弦定理：

在∆ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为∆ABC的外接圆

的半径，则有a

sinA

=b

sinB

=c

sinC

=2R．

2、正弦定理的变形公式：

①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

②sinA=a，sinB=

2R

b

，sinC=

2R

c

；③a:

b:

c=sinA:

sinB:

sinC；

2R

④a+b+c

sinA+sinB+sinC

=a

sinA

=b

sinB

=c．

sinC

（正弦定理用来解决两类问题：

1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

（一解、两解、无解三中情况）

3、余弦定理：

在∆ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，

c2=a2+b2-2abcosC．

4、余弦定理的推论：

cosA=

b2+c2-a2

2bc

，cosB=

a2+c2-b2

2ac

，cosC=

a2+b2-c2

．

2ab

（余弦定理解决的题型：

1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他

两角.）

5、三角形面积公式：

S

∆ABC

=1bcsinA=1absinC=1acsinB

222

6、如何判断三角形的形状：

设a、b、c是∆ABC的角A、B、C的对边，则：

①若a2+b2=c2，则C=90；②若a2+b2>c2，则C<90；③若a2+b290．附：

三角形的五个“心”；

重心：

三角形三条中线交点.

外心：

三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：

三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：

三角形三边上的高相交于一点

7、

（1）测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题均可结合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解．在解决与测量问题有关的题目时，要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含义，合理的构造三角形求解，即把实际问题数学化．

（2）解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况，如下：

①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之

②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．

第二章数列

1、数列：

按照一定顺序的一列数称为数列。

2、项：

①首项:

数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数（a1）

②数列记为{an}：

a1、a2、a3⋯an⋯

③通项：

an

a=⎧s1=a1（n=1）

nns-s

4、已知S求a的公式：

n⎨

⎩nn-1

（n≥2）

[注]：

①an=a1+（n-1）d=nd+（a1-d）（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数

②等差{a}前n

列也是等差数⎛列d⎫）→⎛若dd不⎫为0，则是d等差数列充分条件）.

nnç2⎪ç12⎪2

⎝⎭⎝⎭

要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

5、数列：

按照一定顺序排列着的一列数．

6、数列的项：

数列中的每一个数．

7、有穷数列：

项数有限的数列．

8、无穷数列：

项数无限的数列．

9、递增数列：

从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：

an+1>an）．

10、递减数列：

从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：

an+1

11、常数列：

各项相等的数列（即：

an+1=an）．

12、摆动数列：

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

13、数列的通项公式：

表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系的公式．

14、数列的递推公式：

表示任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系的公式．

an=2an-1+1（n＞1）

15、结论：

n是奇数，2n是偶数，2n-1和2n+1是奇数。

等差数列

1、等差数列定义：

一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

这个常数叫做等差数列的公差；符号表示:

an+1-an=d

2、看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①an-an-1=d（n≥2,d为常数）②2an=an+1+an-1（n≥2）③an=kn+b（n,k为常数

3、等差中项：

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为a与b的等差中项．若b=a+c，则称b为a与c的等差中项．

2

1

4、通项公式：

若等差数列{an}的首项是a，公差是d，则an=a1+（n-1）d．

5、等差数列通项公式的变形：

①an=am+（n-m）d；②a1=an-（n-1）d；

③d=an-a1；④n=an-a1+1；⑤d=an-amn-1dn-m

6、结论：

若{an}是等差数列，且m+n=p+q（m、n、p、q∈N*），则

n

am+an=ap+aq若{a}等差数列，且2n=p+q（n、p、q∈N*），则2an=ap+aq．

7、等差数列的前n项和的公式：

①Sn

=n（a1+an）；②S

2n

=na1

+n（n-1）d．

2

③sn=a1+a2++an

8、等差数列的前n项和的性质：

①若项数为2n（n∈N*），则S2n=n（an+an+1），且

S-S=nd

S奇an

=

，．

偶奇

偶n+1

②若项数为2n-1（n∈N*），则S

=（2n-1）a

，且S-S=a

，S奇=n（其中

2n-1

n奇偶

nn-1

S奇=nan，S偶=（n-1）an）．

⎧a≥0

9、在等差数列｛a｝中,有关S的最值问题：

（1）当a>0,d<0时，满足

nn1

⎧am≤0

m

a

⎨

⎩m+1≤0

的项数m

使得s取最大值.

（2）当a<0,d>0时，满足

m1

⎨

a≥0

的项数m使得s取最小值。

在解含绝

m

⎩m+1

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

等比数列

1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：

an+1=q（注：

①等比数列中不会出

an

现值为0的项；②同号位上的值同号）

注：

看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①an=an-1q（n≥2,q为常数,且≠0）②an2=an+1⋅an-1（n≥2，anan+1an-1≠0）

③an=cqn（c,q为非零常数）.④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（n＞1）成等比数列.

2、等比中项：

在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G2=ab，则称G为a与b的等比中项．（注：

由G2=ab不能得出a，G，b成

等比，由a，G，b⇒G2=ab）

=aq

3、通项公式：

若等比数列{a}的首项是a，公比是q，则an-1

n1n1

4、通项公式的变形：

①a=aqn-m；②a=aq-（n-1）

n-1an

qn-m

=an．am

nm1n

；③q

=；④

a1

5、性质：

若{an}是等比数列，且m+n=p+q（m、n、p、q∈N*），则am⋅an=ap⋅aq；

若{a}是等比数列，且2n=p+q（n、p、q∈N*），则a2=a⋅a

n

⎧⎪na1（q=1）

npq

6、等比数列{an}的前n项和的公式：

①Sn=⎨a（1-qn）

a-aq．

⎪1-q

②sn=a1+a2++an

7、几种常见的数列的思想方法：

=1n（q≠1）1-q

①等差数列的前n项和为Sn，在d＜0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有

两种方法：

一是求使an

的性质求n的值.

≥0，an+1＜0，成立的n值；二是由Sn

=dn2+（a21

-

d）n利用二次函数2

②数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

数列

通项公式

对应函数

等差数列

an=a1+（n-1）d=dn+（a1+d）

y=dx+b（d≠C时为一次函数）

等比数列

a=aqn-1=a1⋅qn

n1q

y=aqx（指数型函数）

数列

前n项和公式

对应函数

等差数列

S=na+n（n-1）d=dn2+（a-d）n

n12212

y=ax2+bx（a≠0时为二次函数）

等比数列

a1（1-qn）a1na1S==-⋅q+

n1-q1-q1-q

y=aqx+b（指数型函数）

综合数列的知识点部分

1、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

（1）定义法:

对于n≥2的任意自然

数,验证an

-

an-1

（an）为同一常数。

（2）通项公式法。

（3）中项公式法:

验证2aan-1

n+1

=an

+

an-2

（a

2

n+1

=an

an+2

）n∈N都成立。

2、数列求和的常用方法

①公式法:

适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

⎧c⎫

②裂项相消法:

适用于⎨aa⎬其中{

an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理

⎩nn+1⎭

数列、含阶乘的数列等。

③错位相减法:

适用于{anbn}其中{an}是等差数列，{bn}是各项不为0的等比数列。

④倒序相加法:

类似于等差数列前n项和公式的推导方法.3、常用结论：

①1+2+3+...+n=

n（n+1）

2

②1+3+5+...+（2n-1）=n2③

333⎡1⎤2

1+2

++n

=⎢⎣2n（n+1）

⎦

④12+22+32++n2=1n（n+1）（2n+1）

⑤1=1-1

6

1=1（1-1）

n（n+2）2nn+2

n（n+1）

nn+1

⑥1=1（1-1）（p

4、求通项的方法：

①累加法，如：

a

n+1

-an

=f（n）②累乘法，如：

an+1=

f（n）

③构造法：

如：

a

n+1

=Aan

+B⇒an=1

+BA-1

=A（an+

n

B）

A-1

第三章不等式

1、常见用语的符号表示：

“不超过”：

≤“超过”：

＞“超不过”：

＜

2、比较大小的方法：

a-b>0⇔a>b；a-b=0⇔a=b；a-b<0⇔a

技巧：

优先考虑加减，后考虑两边平方。

回顾：

作差法的步骤：

作差；变形；定正负；得出结论。

3、不等式的8条性质（利用生活上的一些事情去记忆，例如两（三）人比谁有钱；比谁高…）：

①a>b⇔b

②a>b,b>c⇒a>c；（第三个是中间人时）

③a>b⇒a+c>b+c；（C无需任何条件）（三个游戏）

④a>b,c>0⇒ac>bc，a>b,c<0⇒ac

⑤a>b,c>d⇒a+c>b+d；（四人游戏，大+大，小+小）

⑥a>b>0,c>d>0⇒ac>bd；（大×大，小×小）

⑦a>b>0⇒an>bn（n∈N,n>1）；（分身术）

⑧a>b>0⇒>

（n∈N,n>1）．

关于等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据。

4、一元二次不等式：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

5、一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax＞b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a>0）解的讨论.

∆=b2-4ac

∆>0

∆=0

∆<0

二次函数

y=ax2+bx+c

（a>0）的图象

一元二次方程

ax2+bx+c=0

（a>0）的根

有两相异实根

x1,x2（x1

有两相等实根x=x=-b122a

无实根

ax2+bx+c>0（a>0）的解集

{xxx

12

⎧b⎫

⎨xx≠-2a⎬

⎩⎭

R

ax2+bx+c<0（a>0）的解集

{xx

12

∅

∅

对于a＜0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。

二元一次不等式：

含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

6、二元一次不等式组：

由几个二元一次不等式组成的不等式组．

7、二元一次不等式（组）的解集：

满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对

（x,y），所有这样的有序数对（x,y）构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0,y0）．

①若B>0，Ax0+By0+C>0，则点P（x0,y0）在直线Ax+By+C=0的上方．

②若B>0，Ax0+By0+C<0，则点P（x0,y0）在直线Ax+By+C=0的下方．

9、线性规划：

①、画直线（边界）②虚、实线区别：

虚线：

＞/＜实线：

≥/≤

③分边：

取特殊点（在线内外）检验

注意：

直线未经过原点时，优先使用（0,0）判定；直线过原点则选择数轴上的点。

10、线性约束条件：

由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条

件。

目标函数：

欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式。

线性目标函数：

目标函数为x，y的一次解析式。

线性规划问题：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。

可行解：

满足线性约束条件的解（x,y）。

可行域：

所有可行解组成的集合。

最优解：

使目标函数取得最大值或最小值的可行解。

11、设a、b是两个正数，则a+b称为正数a、b的算术平均数，称为正数a、b的几

2

何平均数．

12、均值不等式定理：

若a>0，b>0，则a+b≥2

22

，即a+b≥．

a2+22

13、常用的基本不等式：

①a+b≥2ab（a,b∈R）；②ab≤（a,b∈R）；

⎛a+b⎫2

a2+b2⎛a+b⎫22

③ab≤ç2⎪

（a>0,b>0）；④2≥ç

（a,b∈R）．

2

⎝⎭⎝⎭

高中数学选修1—1知识点归纳

第一章常用逻辑用语

1、命题：

可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题；

（注意：

疑问句、祈使句、感叹句。

一般都不是命题；要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

2、命题的条件与结论：

“若p，则q”的形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。

注意：

有些命题虽然表面上不是“若p