第二章 点直线平面之间的位置关系 单元测试人教A版必修2Word格式文档下载.docx

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A．三条交线为异面直线

B．三条交线两两平行

C．三条交线交于一点

D．三条交线两两平行或交于一点

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°

，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（　　）

A．5B．8

C．10D．6

解析　这些直角三角形是：

△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．

6．下列命题正确的有（　　）

①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；

②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；

③三条直线两两相交，则这三条直线共面．

A．0个B．1个

C．2个D．3个

解析　易知①与②正确，③不正确．

答案　C

7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是（　　）

A．过点P且垂直于α的直线平行于β

B．过点P且垂直于l的直线在α内

C．过点P且垂直于β的直线在α内

D．过点P且垂直于l的平面垂直于β

8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（　　）

A．与AC，MN均垂直相交

B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与MN垂直，与AC不垂直

D．与AC，MN均不垂直

解析　易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.

答案　A

9．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：

①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．

其中真命题是（　　）

A．②③④B．①③④

C．①②④D．①②③

解析　将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.

10．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是（　　）

A．平面ABC必平行于α

B．平面ABC必不垂直于α

C．平面ABC必与α相交

D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内

解析　排除A、B、C，故选D.

11．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是（　　）

A．①和②B．②和③

C．③和④D．②和④

12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝

，则下列结论错误的是（　　）

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A—BEF的体积为定值

D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

解析　易证AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥BE.

∵EF在直线B1D1上，易知

B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，

VA－BEF＝

×

1×

＝

.

∴A、B、C选项都正确，由排除法即选D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．已知A，B，C，D为空间四个点，且A，B，C，D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．

解析　如图所示：

由图知，AB与CD为异面直线．

答案　异面

14．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．

答案　BD

15．如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：

（1）BD与CD的关系为________；

（2）∠BAC＝________.

解析　

（1）AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD⊥AD，CD⊥AD，

∴∠BDC为二面角的平面角，∠BDC＝90°

，

∴BD⊥DC.

（2）设等腰直角三角形的直角边长为a，则斜边长为

a.

∴BD＝CD＝

∴折叠后BC＝

＝a.

∴折叠后△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°

答案　

（1）BD⊥CD　

（2）60°

16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：

①四边形BFD′E一定是平行四边形；

②四边形BFD′E有可能是正方形；

③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；

④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.

以上结论正确的为__________．（写出所有正确结论的编号）

∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四边形BFD′E为平行四边形．∴①正确．

②不正确（∠BFD′不可能为直角）．③正确（其射影是正方形ABCD）．④正确．当E，F分别是AA′，CC′中点时正确．

答案　①③④

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：

EF，HG，DC三线共点．

证明　∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．

∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.

∵BE∥C1H，且BE＝C1H，

∴四边形EBC1H是平行四边形．

∴EH∥BC1，∴GF∥EH.

∴E，F，G，H四点共面．

∵GF≠EH，故EF与HG必相交．

设EF∩HG＝I.

∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，

∴I∈平面CC1D1D.

同理可证I∈平面ABCD.

∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．

18．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.

（1）试确定点M的位置，并说明理由；

（2）求四棱锥P－ABCD的表面积．

解　

（1）点M为PD的中点．理由如下：

连接BD，设BD∩AC＝O，则点O为BD的中点，连接OM，

∵PB∥平面ACM，∴PB∥OM.

∴OM为△PBD的中位线，故点M为PD的中点．

（2）∵PA⊥底面ABCD，又底面是边长为1的正方形，

∴S正方形ABCD＝1，S△PAB＝S△PAD＝

1＝

S△PBC＝

，S△PCD＝

故四棱锥P－ABCD的表面积为

S＝1＋2×

＋

＝2＋

19．（12分）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝

a，如图．

（1）求证：

MN∥面BB1C1C；

（2）求MN的长．

解　

（1）证明：

作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，

∴

∴MP∥AA1∥BB1，

∴面MPN∥面BB1C1C.

MN⊂面MPN，

∴MN∥面BB1C1C.

（2）

，NP＝

a，

同理MP＝

又MP∥BB1，

∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.

在Rt△MPN中MN＝

20．（12分）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°

，P，Q分别为AE，AB的中点．

（1）证明：

PQ∥平面ACD；

（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

因为P，Q分别为AE，AB的中点，

所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，

又PQ⊄平面ACD，

从而PQ∥平面ACD.

（2）如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC，

EB∥DC，

所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.

故CQ⊥平面ABE.

由

（1）有PQ∥DC，又PQ＝

EB＝DC，

所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ.

因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，

在Rt△DPA中，AD＝

，DP＝1，

sin∠DAP＝

因此AD和平面ABE所成角的正弦值为

21．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．

求证：

（1）直线EF∥面ACD；

（2）平面EFC⊥平面BCD.

证明　

（1）在△ABD中，

∵E，F分别是AB，BD的中点，

∴EF∥AD.

又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，

∴直线EF∥平面ACD.

（2）在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，

∴EF⊥BD.

在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，

∴CF⊥BD.

∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，

又∵BD⊂平面BCD，

∴平面EFC⊥平面BCD.

22．（12分）已知四棱锥P－ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．

（1）求正视图的面积；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积；

（3）求证：

AC⊥平面PAB.

解　

（1）过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.

又∵△PBC为正三角形，

∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC，

∴PE2＝PC2－CE2＝3.

∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE.

∴PA2＝PE2－AE2＝2，即PA＝

正视图的面积为S＝

2×

（2）由

（1）可知，四棱锥P－ABCD的高PA＝

，底面积为S＝

·

CD＝

∴四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝

S·

PA＝

（3）证明：

∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC.

∵在直角三角形ABE中，AB2＝AE2＋BE2＝2，

在直角三角形ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝2，

∴BC2＝AA2＋AC2＝4，∴△BAC是直角三角形．

∴AC⊥AB.

又∵AB∩PA＝A，∴AC⊥平面PAB.