华北电力大学硕士研究生课程考试试题A卷矩阵论规范标准答案.docx
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华北电力大学硕士研究生课程考试试题A卷矩阵论规范标准答案
华北电力大学硕士研究生课程考试试题
（A卷）（2013-2014）
一、判断题侮小题2分，共10分）
1.方阵A的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。
（X）
见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，
几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n,后者小于等于n
2.设1,2丄,m是线
性无关的向量,则
dim（span{1,2丄，m}）m
正确，线性无关的向量张成
一组基
3.如果Vl，V2是V的线性子空间,则VV2也是V的线性子空间•
错误，按照线性子空间的定义进行验证。
4.n阶-矩阵A）是可逆的充分必要条件是A（）
的秩是n•
见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数
5.n阶实矩阵A是单纯矩阵的充分且必要条件是A的最小多项式没有重根.
见书90页。
题
1
2
3
4
5
二、填空题（每小题3分，共27分）
210
A021,
（6）003贝q
A
e的Jordan标准型为
e210
0e20,
00e3
首先写出
A
e然后对于若
当标准型要求非对角兀部
分为1.
301
002
（7）
030
的Smith
标准型为
100
030
00（3）
（2）
见书61-63页，将矩阵做
变换即得
（8）设
1
0
0
A
0.1
0.3
0.2
0
0.4
0.5
则
1
0
0
lim
An
0
0
0
n
0
0
0
见书109页，可将A对角
化再计算即得。
3
2
（9）
4
5
在基
11
12
0
000
00,
00,
1
3,21
下的坐标为（h1,2,1）见书12页，自然基下坐标
为（2,3,4,-5）T,再写出
过渡矩阵A,坐标即A的逆乘以自然基下坐标。
对于本题来说。
由于第一行实际上只和前两个基有关，第二行只和后两个基有关。
因此不用那么麻烦，只需要计算
（1,1）x+（1,2）y=（2,3）
就可得解为1,1.再解（1，
-3）x+（2,1）y=（4,-5）
就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。
（10）设
423
A243
537，则
IA15。
见书100页，计算每行的绝对值的和。
（11）
sin2x1cosx
limln（1x）e2x1
x0
sinx2x3
20
03
对矩阵中的每个元素求极
限。
12设
ARmn,BRpq,CRmq
是已知矩阵，则矩阵方程
AXB
C的极小
范数最小一乘解是
uuur
X（AIBt）+c
见书113-115页，将矩阵
方程拉直，再用广义逆的定义去算。
（12）若n阶方阵A满足
A0，则
cosAE2A。
见书121页，A30，所
以后面的项都为零。
（13）方阵A的特征多项
式是
（2）3（3）3（5），
最小多项式是
（2）2（3）（5），则
A的Jordan标准形是diag（J（2,1）,J（2,2）,3E3,5）
特征多项式决定了A的阶数以及各个特征值的重根数，即有3个2,3个3，1个5.最小多项式决定了若当块的大小，如2有1个1
阶和1个2阶，3和5都只有1阶的若当块三（7分）、设
121
B
200102
012,C225
202140
证明AXXBC有唯一一解。
见书114页，本题需要验
证A和-B没有相同的特征
值，具体解法如下。
AE3+E3Bt
证明:
非奇异。
显然，b的特征值为
2,1,2,下证明：
2，1，2不是A的特征值:
（1）方法1:
用圆盘定理
A的三个行圆盘分别是
B（12,4）,B（7,2）,B（8,1）
2,1,2都不在
B（12,4）B（7,2）B（8,1）
中，因此A与B没有相同
的特征值，从而0不是
AE3+E3B的的特征值，故AE3+E3B可逆，从而
AXXBC有唯一解。
（2）方法2:
求出A的特征多项式，再证明
2，1，2不是A的
特征值
方法3:
直接写出
AE3+E3B，再证明它非奇异。
四（8分）、设3维内积空间在基15厶3下的矩
阵
211
A150
103。
求
span{1+2+a}
的正交补空间。
见书28页，内积空间在基下的矩阵是指度量矩阵。
按照内积定义给出正交补空
间中元素应该满足的条件。
然后求解。
解：
设
=Xi1+X22+X33（span{1+2+3}）
则（X"Xbx3）满足方
程
（Xi,X2,X3）A（1,1,1）0
2x1+6x2+2x3=0
它的基础解系为
1=（-3,1,0）T,2=（0,1,3）T
因此
五（10分）、设5阶实对称矩阵A满足
（A3E）2（A5E）30,
rank（A3E）1，求A
的谱半径和Frobenius范数AL。
注意A满足的方程说明那
个式子是零化多项式，并不是最小多项式，也不是特征多项式。
只说明A的特征根为3和-5，再根据后面的条件才知道有4个3和1个-5.然后根据范数定义得到结果。
解：
因为实对称矩阵A是5
阶矩阵，且满足
（A3E）2（A5E）30,
rank（A3E）1，因此
存在正交矩阵P,使得
PtAPdiag（3,3,3,3,5）
由于正交变换不改变矩阵
的Frobenius范数，因此
IAIf|diag（3,3,3,3,5）||f丁4925V61
六（10分）、求
5
0
2
1
4
5
5
1
3
3
0
5
1
2
7
见书184页，首先对矩阵满秩分解，再按广义逆的计算公式计算得到结果。
七（14分）、P3（t）的线性变换
232
T（a。
a,a?
t已3七）（a。
a?
）佝a3）t（a?
a°）t（a?
ajt
（1）求R（T）,N仃）的基。
（2）求t的一个三维不变子空间。
见书34-37页，要求相空间及零空间的基即对线性变换在自然基下的矩阵做
初等行变换。
然后观察可得。
解:
（1）求T在下的矩阵。
解：
基1,t,t,t，因为
1
0A
1阵0
1
0
1
0
0
1
0
1。
T
（1）1t,T（t）tt,T（t2）1t2,T（t3）1t3
1010
0101A
1010
0101
1010
0101
0000
0000
23
因此1t,tt是R（T）的基，
3
1+t,t+t是N（T）的基。
（-3）取
Uspan{1t2,tt3,1+t2}
易见1t2,tt3,1+t2线性
无关，因此
Uspan{1t2,tt3,+t2}
是三维的，且
T（U）=R（T）U,因此U是
T的一个三维不变子空间。
八（14分）、已知
321
A141
123
（1）求A的Jordan标准
型。
（2）求InA.
本题为三阶矩阵，因此首先
计算A的特征多项式，发现特征根为2和6,然后判断最小多项式，即可得到若当标准型。
见书72-75页。
求lnA的方法见书127页。
或者126页，或者123页。
6
Ja
2
解：
2
f（A）
f（6）A
f
（2）Az
A4（a
4
2E）A
1（A
6E）
ln6
（A2E）
In2/
6E）
InA-
4
4（A
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