圣维南原理及其证.docx
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圣维南原理及其证
圣维南原理及其证
650091
圣维南原理（Saint-Venant’sPrinciple）是弹性力学的基础性原理，圣
维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中
最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工
作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、
一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了
建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意
义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣
维南原理研究的繁荣和发展。
圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义
0343.2
AMSSubjectClassifications:
74G50
弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了
[1,2]。
早期有关原理有重要
[39],[3][4]的文章。
波西涅克（Boussinesq）于1885年、勒夫（Love）于1927年
[5]分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises陈述的否证，又可以
[6]看作是对具有特殊条件的Mises陈述的证明。
Sternberg赞同Mises的修改，
1
他的论证也可以既看作是对Mises陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性
弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理
的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，
圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说
破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
Zanaboni[79],“证明”了一个定
[11,12]理，并称和圣维南原理有关。
图平（Toupin）列举了更多的反例说明
波西涅克和勒夫的一般性陈述不真，并建立了一个能量衰减的定理，这个定理
被认为是柱体圣维南原理的数学证明，似乎具有里程碑的意义。
Berdichevskii[13]推广了图平定理。
诸多学者仿效着推导出一些定理来建立图平型衰减，并
把原理推广到连续介质物理学的各个领域，诸如流体流动和热传导问题等，发
[1416],展了许多方法。
Horgan和Knowles对原理的进展跟踪作了评论，其后
又有不少新的工作。
本文将对圣维南原理的发展历史作出综述，对最重要的结
果加以评论。
1.
1885年法国学者圣维南在研究柱体变形问题时发现，当把外力加载到等横截
面长弹性柱体的两个端面时，除开端面附近的区域，柱体中横截面上的各点的应
力与各点到柱体端面的距离无关。
但是，根据弹性力学的数学理论，只有当端面
的外力均匀分布时，柱体中才能产生这种均匀的变形。
圣维南是非常重视实际应用的工程师，他不研究没有实际应用价值的问题。
实际结构中，外力均匀分布的情况很少发生。
工程师和试验师通常只知道作用在
2
梁端面上的外力的合力和合力矩而不能确定外力力系的分布。
考虑到他的结果的
实际应用，圣维南觉得有必要解释，为什么他的由特殊分布外力得到的结果可以
应用到一般性的、难于求解或未曾求解的实际情况。
为此他声称，作用在梁两端
面上具有给定合力和合力矩的外力系的作用方式（即分布），除开端面附近以外，
并不影响梁中的应力分布。
端面分布着相同的合外力和合外力矩的所有梁问题的
解，都随着离开端面的距离很快地趋近一个共同的解。
这个解就是他自己给出的
解。
圣维南因推广他的弹性柱体扭转问题和弯曲问题的解而形成的思想是：
对无
体力的、侧面自由的、处在静力平衡状态的弹性柱体，如果端面的载荷被静力等
效的力系所代替，柱体中除端面邻域以外的应力场和应变场将近似保持不变。
[1,2]
2
对线性弹性力学，叠加原理对载荷和形变均有效，任意两个静力等效的力系
之间的差是平衡力系，于是波西涅克和勒夫分别将圣维南的思想一般化，提出了
和圣维南思想等价的陈述的两种形式，并冠以“圣维南原理”的称谓：
波西涅克陈述[3]:
施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给
定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的
形变是可以忽略的。
勒夫陈述[4]：
根据这个原理，由施于弹性体表面某一小部分的静平衡力系在
距离大于该部分的一维线尺度的地方产生的应变是可以忽略的。
3.Mises
3
[5]3.1.MisesMises
因为波西涅克处理了半无限大空间的边界（）上作用着非平（z,0）z,0
衡力系而远处的应力是小量的问题，所以Mises在文[5]中提出勒夫陈述不很清
楚。
他说“这种形式的陈述不太清楚。
因为根据陈述施加给静止物体的力在任
何情况下都必须处在平衡状态，谈及加上或减去一个非平衡力系可能是没有意
义的。
原理正确的表达方式可能是：
如果作用在物体上的力局限于物体表面的若干小部分上，所有部分都包含
在一个半径为
的小球内，那么，当每个小部分上的力系为平衡力系时，产生
于物体内离所有这些小表面都为有限距离处的应变和应力的数量级小于各小
表面上的力系为非平衡力系的情况。
”
他接着说：
“如果这个陈述为真，它必须能够用数学予以证明。
也就是说，
它必须是弹性理论基本微分方程的结果。
但是在通常的教科书里没有尝试提供
任何证明。
大多数教科书里举出的是波西涅克的结果，以此作为对它证明的参
考。
但是，波西涅克处理的半无限大空间
（z,0）的边界（z,0）上作用着的
222是法向力。
波西涅克证明了，如果外力系作用于,，,,,,,,,0点且，当外
力合力为零时，物体中,点上的应力的数量级为，而当力系的合力矩也x,y,z
2同时为零时，该点上的应力的数量级为,z,0。
下面我们将证明，如果在点
上允许作用切向力分量，一般来说情况并非如此。
…从实际应用的观点看，本
文主要的结果是：
如果所有的力都是平行的，而且不沿物体表面的切向，圣维
南原理是适用的，但原理不能用在更加一般性的条件下。
”
Mises推出在半无限大体表面（,,,,0X,Y,Z）点作用着外力分量,,,,,,,1,2,3...（）时，半无限大体内（）点上的平均正应力的公式：
x,y,z
4
6,3r,,xX，yY，zZ,,,,,,k,3
122，[（3x,r）,X，3xy,Y,,,,,,2r
，3xz,Z，3xy,X,,,,,,
22，（3y,r）,Y，3yz,Z]，...,,,,,,
从公式中看出：
“如果,和的数量级是，我们可以得到结论：
如果合力分,,,,
量,，，为零，（）处的应力（和应变）的数量级为；当XYZx,y,z,,,,,,
且仅当6个线性距，，也为零,X,,Y,Z,,X,Y,,Z,,,,,,,,,,,,,,,,,,
2时，（,）处的应力（和应变）的数量级才为。
平衡力系的情况，也就是x,y,z
===0，一般来说并没有超越上述6个线形距,Z,Z（,Y,,X）,,,,,,,,,,,
的条件（innowaydistinguished）。
只有当所有的力都互相平行，或者垂直于物体边界面，或者和边界面斜交不为零的角度，三个平衡条件才包含（6个线形距中的）另外三个条件。
一般而论，当且仅当作用在物体表面小部分的外力转动任意角度时仍然保持处在平衡状态（无定向平衡，astaticequilibrium），物体内部的应变才减至2,数量级。
”
这就是说，一般而论，当边界上作用着平衡力系时，物体内点上的应x,y,z力的数量级为,，和作用着合力为零但合力矩不为零的非平衡力系的情况下应力
2的数量级相同而不是更小。
也就是说，物体内部的应力要减至,数量级，平衡力系的条件是不充分的，还需要具备特殊的条件。
这就证明了，Mises自己提出的修改的圣维南原理并不一般性地成立。
一般地，只有当力系是无定向的平衡力系时，物体内2,点上的应力才具有的数量级。
这可以看作是对一般的Misesx,y,z
陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises陈述的证明。
Mises还以圆盘问题为例证明，他的修改的圣维南原理也不成立。
由此他
5
认为，圣维南原理不能推广至有限大物体。
[6]3.2.Sternberg
Sternberg在文[6]中赞同Mises对波西涅克和勒夫陈述进行澄清和修改的
观点和做法。
他说：
“正如Mises指出的，上面的陈述需要澄清，因为陈述要
求施加给静止物体的力在任何情况下都必须处在平衡状态。
只有当物体延伸至
无穷，而且我们需要无穷远处的应力衰减为零时，谈及由施加于物体表面的有
限部分的非平衡力系‘产生’的应变才有意义。
而且，在这种情况，无论载荷
是否是自平衡的，由给定载荷产生的应变在离加载区域足够远的各点是任意小
的。
另一方面，在无体力的情况下，选择载荷足够大或足够小，弹性体中固定
点的应力和应变可以任意大或任意小。
这些观察事实进一步确认了澄清陈述的
需要。
”
Sternberg举出了Mises修改陈述,然后说：
“应该指出，这样一个解释隐含
在通常的圣维南原理的应用当中。
而且，从波西涅克证明原理的努力明显地看
出，这就是他头脑中的思想。
为了达到证明的目标，波西涅克考虑集中力垂直
作用在具有平面边界的半无限大体。
他证明了，如果载荷作用点处在半径为
的小球内，只要作用力的合力为零，物体内固定点的应力分量具有,的数量
2级；而如果作用力的合力矩也为零，则该点的应力分量具有,的数量级。
”
“1945年Mises在他的对该问题的启发性的（illuminating）论文中，用两
个特例证明了，如果不具备有利的条件，恰当地澄清了的原理的通常陈述不可
能成立。
Mises选择的两个例子是三维半空间的问题和圆盘的二维问题，两个
问题的载荷都是集中力表面载荷。
在这两个例子的基础上，Mises提出了一个
改进的（amended）原理。
”
6
“本文的目的是要对Mises修改的（modified）圣维南原理提供一个一般
性的证明。
论证针对分片连续的外力，然后延伸到集中力的情况。
论证对任意
连接的有限域和无限域均成立。
”
Sternberg考虑任意连接而成的（即不需要单连的条件）正则区域B。
外力分布在B内的互不相交的m个相邻的闭域中，所有的闭域都位于一个半径为
的小球内。
除非B的边界D延伸至无穷远，每个闭域中的力都应该是平衡,0
力系。
Sternberg采用的度量是体积膨胀率，讨论物体内载荷区域（0,,,,）S（,）0
Q（,,（,）是载荷区域的半径）外的Q点的体积膨胀率，得到的结论是：
（a）如果外力的合力不为零（考虑无限大体），即
Q2F,（,）,0（,）T时，一般而论。
（,）d,,0（,）,,S（,）
Q3（b）如果F,（,）,0（,）（,）,0，则或更小。
（c）如果F（,）,0，T（,）,d,,0,T（,）,d,,0,,,S（,）S（,）
Q4则,,（,）,0（,）或更小，式中，是文中引入的两个径矢参数。
（d）如果外力是平衡力系，即F（,）,0（,）,0，M，
Q3则,（,）,0（,）或更小。
Q3“于是，如果,（,）,0（,）S（,）上的力系是自平衡力系，则或更小。
这个结
论和引言中的圣维南原理的传统陈述的解释相矛盾。
根据传统的陈述，当S（,）上
Q的力系是自平衡力系时，,（,）S（,）的数量级应该总是比上的外力为非自平衡力
系时要小。
”
于是，Sternberg的工作可以看作是对Mises陈述（Sternberg称为圣维南原
理的传统陈述）的一般性的否证，但也可以看作是对附加了条件的Mises陈述
7
的证明，因为从（c）的条件可以导出（d）的条件方程，反之则不然。
4.
1959年Truesdell[10]指出：
“数学是研究材料的强有力的工具，不仅可以从已接受的理论预测结果，而且可以在建立新的经验模型时清晰地界定概念。
”
他指出：
“第一个足够好的关于扭转的理论是圣维南的。
许多关于力学概念
的最精细的研究会聚起来构造了该理论的基础。
”其后对这些研究进行了综述。
Truesdell指出：
在Fresnel和Navier的思想影响下，Cauchy建立了小弹性形变的一般性的线性理论，“在这个理论中，要解决扭转问题就必须知道轴端面
上的应力或位移分布，而实际应用中这些信息是不可能得到的。
然而，轴的扭转
变形或多或少地与这些分布无关。
这个事实启发了圣维南，他构建了一个扭转问
题的漂亮的特解，并且设想，在端面载荷和该特解所设的不一样而仅只是和它静
力等效的情况下，用该特解来作为扭转问题的结果是足够精确的。
这样一个推广
为‘关于等效载荷的圣维南原理’的思想，对线性弹性力学带来一个重要的问题，
因为如果其结果为真，它必须是一般方程的数学推论。
”
这样一来，Truesdell就从理性力学的视角原则而明确地提出了圣维南原理的
数学证明问题或圣维南原理数学证明的任务。
5.Zanaboni
在Mises
[5][6][10]、Sternberg和Truesdell明确地提出圣维南原理的证明问
题之前，Zanaboni于1937年发表了一个定理来处理任意形状的物体中能量衰减
[7]的问题。
这个结果在圣维南原理的历史上有着重要的影响，因为它首次应用了
功和能作为讨论的度量，而在此之前的工作，包括著名的Mises修改，都是以应
8
力和应变作为度量而研究的。
在研究碰到困难、一片沉寂的情况下使人们重新建
立起信心，看起来是独辟蹊径，开创了一条用应变能衰减来解决圣维南证明问题
[12][17]的路子。
特别是，Zanaboni定理给于图平以重要的启发。
Zanaboni定理为：
设任意形状的弹性体中的小球加载任意的平衡力系,和是球S'S''BPB以外的两个互不相交的任意截面，离开比更远。
物体被截成两个部分，S''S'S'B
作用在上的面分布力为，并设为仅有作用时由其单独引起的两个部分US'R'R'R'
"中的总应变能。
同样，S和U分别表示了面上的面分布力和由它单独诱发R''R''
的两个体积中的总应变能（见图1）。
对这样的弹性体，Zanaboni给出
0,U,U.（5.1）R''R'
[7,17]作者的证明如下：
设物体C，C由下列步骤建成（见图2）：
12
第一步，对
SCS加载力系。
第二步，和分别加载表面力系。
选取PR112
SSCC使得变形的面和精确地互相吻合，以至于和中的质点不仅应力R1212
连续，而且位移也连续。
第三步把CCS和连为一体，仅仅为界面。
这样拼接12
9
的结果相当于把和在自由状态下连接起来，然后对组合体加载平CCC，CP1212
衡力系。
于是
（5.2）U,U，U，U，U1，21R1R2PR
式中是中的应变能,是在第一步所作的功，是在UC，CUUPR1，2121R2
第二步中对C作的功，U是假定处在自由状态下对作的功，U是CCR2R111PR对在第二步中由引起的位移上作的功。
CPR1
其后应用最小余能原理。
设想以的比例增加，于是U和U1:
（1，,）RR1R2
22分别增至（1，,）U（1，,）U和，因为载荷和形变都分别增至原值的（1，,）R1R2
倍。
将增至，因为不变而形变将增至原值的倍。
于是，U（1，,）U（1，,）PPRPR
U将变为1，2
2U',U，（1，,）（U，U），（1，,）U.（5.3）1，21R1R2PR
U的增量为1，2
2,U,,（2U，2U，U），,（U，U）（5.4）1，2R1R2PRR1R2
由（5.4）式，U取极小的条件为1，2
2U，2U，U,0（5.5）R1R2PR
代（5.5）式入（5.2）式,Zanaboni得到
U,U,（U，U）（5.6）1，21R1R2
对UU和（见图1）重复使用（5.6）式,有1，（2，3）（1，2），3
U,U,（U，U），（5.7）1，（2，3）1R'1R'（2，3）
U,U,（U，U）（1，2），31，2R''（1，2）R''3
（U，U）,U,（U，U）,（5.8）R'，'（12）R''31R1R2
让（5.7）式和（5.8）式相等，得到
10
U，UU，U.（5.9）,U，U，R'1R'（2，3）R''，（12）R''3R1R2
因为是正定的，所以由（5.9）式有U，UR1R2
U，UU，U，（5.10）,R'1R'（2，3）R''，（12）R''3
按图1所示改写（5.10）式即证得（5.1）式。
6.Zanaboni
Zanaboni定理不成立，因为定理的证明是错误的。
证明的主要错误是最小余
能原理的误用，其次是混淆了功和能，详情见附录A。
7.Toupin’stheorems7.1.图平在文[11]中对勒夫陈述提出了新的反例。
图平用两个例子说明，柱体
的几何形状对物体形变有重要的影响，以至于物体内的应变并不衰减。
例如，把
任一小而非零的纵向力系施加到矩形横截面长柱的一端，在任何离该端有限远的
狭缝附近，其应变具有任意大的量值。
图平还复述了Mises在文[5]中提出的反例。
图平提出，对圣维南原理的定量处理需要包容这些定性的、直观的观察事实。
图平指出，圣维南的弹性静力等效载荷的原理只对规则的柱体成立，勒夫给
出的对任意形状物体的圣维南原理的广泛性陈述可能不真，圣维南本人曾间接地
提出过警告。
图平于是讨论了体积域为
C、仅在近端加载任意平衡力系、无体力、常B0
[11]横截面、半无限长弹性柱体的问题，该问题的平衡方程是
t,0（x,B）（7.1）,ijji
应力边界条件是
t,0（x,,B,C）,（7.2）（n）ii0
11
（7.3）tda,0（n）i,C0
以及（7.4）xtda,0[i（n）j],C0
（式中t,0（x,C））。
（n）ii0
图平从问题的基本方程出发，推出
dQ（s,l）s（l,,），Q（s,l）,0（7.5）cds
11式中,sl,,,为特征衰减长度。
然后，图平选择s（l,,）.当（,）,[*，]cc22,,,l（）0
*,s（l）,为正值时的最小值（7.6）c2,,（l）0
由（7.5）式出发证明了能量衰减的不等式
（s,l）/s（l）cU（s）,U（0）e（7.7）
式中s是储于超过离开平衡力系载荷的距离的部分柱体的应变能，U（s）U（0）
s（l）CC是柱体总应变能，是特征衰变长度最小值，是横截面和l（l,0）css，l
之间的长度距离，选择来使得s（l）取一个小值。
式（7.6）中c
*2,,,/,，（7.8）Mm
,和分别是最大和最小弹性模量，它们的定义是mM
22,e,cee,,e；（7.9）mijklijklM
CC是物体的质量密度；是横截面和之间的柱体的一小段的自由振动的,0ss，l
最低特征圆频率。
为了对应变进行估计，又给出一个不等式
U20e,K（7.10）V
式中eUV是一个固体球的形变能，是球体的体积，是物理常数，是K0
球体中心的应变。
等价于（7.10）式的应力估计的式子在文[12]中给出。
12
本文中分别称不等式（7.7）和（7.10）为图平定理1和图平定理2。
我们可以从图平文章的论证逻辑的角度推知，图平认为他的两个定理可以解
决他作为反例提出的问题。
从文章的标题可以看出，他认为这两个定理是圣维南
原理的数学证明或数学表达。
7.2.图平在文[12]中首先称圣维南是19世纪最著名、最杰出的工程师之一，并引用了Pearson发表在Nature上的对圣维南的介绍和评价，然后追溯了圣维南独特思想的起源以及演进的过程。
图平在文中称勒夫陈述为“经典的原理”（ClassicalPrinciple）或圣维南原理的传统陈述（trditionalstatemantoftheSaint-Venant’Principle），举出一个形如长音叉的弹性物体的反例。
设等大反向的一对力分别作用在音叉的U形部分前端的两个端头，在离开前端最远的U形根部附近的应力比音叉内任何地方的应力都要大。
图平说：
“从这个例子人们可能会认为，原因在于加载的表面部分（无论其多么小）不是单连的。
所以，加上单连体这个条件，原理的表达就可能正确。
然而，从下面的例子可以看出，情况并非如此。
”
于是，图平举出两个单连体的例子，就是在文[11]中举出的例子，其中一个是矩形横截面柱体中存在狭缝的反例。
另一个反例中，梁由一块狭长的、水平的薄连接板（athinweb）和两个椭圆横截面的粗大瓣柱（twomassivelobes）构成，连接板的上下两个面各自并接一个瓣柱。
在梁的一端的横截面的两个瓣叶上分别施以合力矩M和-M以满足勒夫陈述的所有条件。
设梁的长度是横截面线度的许多倍。
选择板的厚度足够小，任意远离载荷端面的薄板中的一点P的应力和载荷端面邻近的类似点P’的应力之比可以无限接近于1，是一个难于忽略的比率。
13
他总结说：
“面临着如此多的对圣维南原理的传统陈述的反例，我们必须承认，该陈述中存在着某种错误。
在力学文献中我们在这里因尊重传统而称为‘原
理’（principle）的圣维南的思想有着各种不同的称谓，称为‘公理’（axiom）、‘公设’（postulate）、‘假设’（assumptions）或者‘定律’（law）。
现在需要的不
是新的原理或新的假设，而是逻辑地从已经建立的弹性形变的数学理论导出的定
理。
这些定理应该以精确的方式反映圣维南提出的柱体或更一般的物体中应力场
的共同性质。
”
在介绍了Zanaboni定理后，他说：
“我们从Zanaboni的结果得到的主要思想是，虽然我们知道不可能期待应力逐点值总是随着离物体表面的负载部分的距离而衰减，但是我们可以预期平均应力的某个恰当的度量（measure）总是衰减的。
弹性体中任一部分的平均应力最自然的度量是储存在该部分的弹性能。
有可能把Zanaboni定理的结果精细化，导出弹性能随着离开弹性体表面负载部分的距离减小的衰变率。
”
上面的语句充分地反映出图平建立他的定理的思想。
文中图平介绍了他自己在文[11]中得到的两个定理。
8.
从上节末所引的图平的语句看出，图平从Zanaboni那里接受的主要思想是：
（1）“不可能期待应力逐点值总是随着离物体表面的负载部分的距离而衰减，”
这意味着对波西涅克和勒夫陈述的质疑或否定。
（2）“我们可以预期平均应力的某个恰当的度量总是衰减的。
”这意味着要用“平均应力的某个恰当的度量”来代替“应力”研究“衰减”定理。
14
（3）“弹性体中任一部分的平均应力最自然的度量是储存在该部分的弹性能。
”
图平认为“有可能把Zanaboni定理的结果精细化，导出弹性能随着离开弹性体表面负
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