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同花=>
顺子的优先级选取保留的牌。
关键词：
策略、期望值、优先级
一、问题重述
近年来，随着电子游戏的日益普及，电子游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。
对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。
在某电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的47张牌中再次随机分配。
玩家的奖金依据其最后所持有的牌型而定。
下面是一份典型的奖金分配表：
牌型
奖金（元）
同花大顺（10到A）
800
同花顺
50
四张相同点数的牌
25
满堂红（三张同点加一对）
8
同花
5
顺子
4
三张相同点数的牌
3
两对
2
一对高分对（J及以上）
1
其它
在上表中，玩家的牌型属于某一类型且不属于任何更高的类型，则赢得该牌型相应的奖金。
1、若某玩家采取以下策略，当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换牌的机会；
否则，除保留对子或三张相同点数的牌外，将手中其余的牌放弃，由机器再次随机分配。
根据上述游戏规则和策略，分析各类牌型出现的可能性，计算采取该策略能获得的期望奖金金额。
2、对上述策略进行评价。
3、是否存在更好的策略。
若有，请与上述策略进行比较。
二、模型假设
1．玩家每次游戏都看成一个独立完成的时间，不受其他外界或情绪影响。
2．玩家每次游戏都严格按照策略完成游戏，没有例外。
3．假设玩家每次都有足够的赌注。
4．假设机器不会发生任何故障，例如：
游戏系统运行正常，没有漏洞。
三、符号说明
P0：
第一次抽牌出现牌型为“其它”的概率；
P1：
第一次抽牌出现牌型为“一对高分对”的概率；
P2：
第一次抽牌出现牌型为“两对”的概率；
P3：
第一次抽牌出现牌型为“三张相同点数的牌”的概率；
P4：
第一次抽牌出现牌型为“顺子”的概率；
P5：
第一次抽牌出现牌型为“同花”的概率；
P6：
第一次抽牌出现牌型为“满堂红”的概率；
P7：
第一次抽牌出现牌型为“四张相同点数的牌”的概率；
P8：
第一次抽牌出现牌型为“同花顺Z”的概率；
P9：
第一次抽牌出现牌型为“同花大顺”的概率；
K0：
换牌之后出现牌型为“其它”的概率；
K1：
换牌之后出现牌型为“一对高分对”的概率；
K2：
换牌之后出现牌型为“三张相同点数的牌”的概率；
K3：
换牌之后出现牌型为“顺子”的概率；
K4：
换牌之后出现牌型为“同花”的概率；
K5：
换牌之后出现牌型为“满堂红”的概率；
K6：
换牌之后出现牌型为“四张相同点数的牌”的概率；
K7：
换牌之后出现牌型为“同花顺Z”的概率；
K8：
换牌之后出现牌型为“同花大顺”的概率；
E:
某抽牌策略的数学期望值；
:
在某种情况时不换牌的期望；
在某种情况时换牌的期望；
四、问题一的分析与解答
分析过程：
本题可以看作一个独立随机事件的一个离散数学模型。
在这个问题中我们需要做的事：
1.准确计算出每一个事件可能的概率；
2.分析好该某玩家采取以下策略的模型；
3.根据概率和所得奖金计算一次玩游戏玩家所得金钱的数学期望值。
解答过程：
1、玩家第一次抽牌后对应的概率：
P0=
P1=
P2=
P3=
P4=
P5=
P6=
P7=
P8=
P9=
2、玩家换牌后对应的概率：
K0=
•
+
K1=P1•
K2=P1•
+P2•
K3=P3•
+P1•
K4=P4+
K5=P5+
K6=P6+
＋
K７=P７+
K８=P８+
K９=P９+
3、通过计算得：
牌型（换牌前）
换牌后
概率
概率%
不换
1/649740
1.54E-06
3/216580
1.39E-05
1/4165
2.40E-04
6/4165
0.001440576
1277/649740
0.001965402
5/1274
0.003924647
88/4165
0.021128451
3张同点
5016/264845
满堂红
5808/4502365
四张相同
176/195755
198/4165
0.047539016
8514/195755
792/195755
1408/10829
0.130021239
一对高分对
5425024/58530745
1216512/58530745
三同点
870144/58530745
15488/11706149
4224/11706149
34381/43316
0.793725182
有一对（不是高分对）
3168/10829
其他（一对）
12206304/58530745
2737152/58530745
1957824/58530745
34848/11706149
9504/11706149
没有对（散牌）
1277/2548
43904537/110369168
449504/6898073
126423/5306210
三张相同
28094/2653105
6385/3246152
1630729/1655537520
3831/5306210
1277/10612420
同花顺Z
3831/551845840
同花大顺
1277/1655537520
表1对应的P0-P９概率
总概率
15/6492304
135/6492304
27902569/11472026020
3980923/337412530
19155/6492304
19125/3246152\）
44651662/573601301
773599563/5736013010
5885309408/37284084565
361710672853/596545353040
表2总概率
图1各牌型出现情况
图2（换牌之前）
4、综合以上分析该对策模型的期望值为：
E=799（P9+K9）+49（P8+K8）+24（P7+K7）+7（P6+K6）+4（P5+K5）+3（P4+K4）+2K3+1K2-1K0
5、代入数据计算得：
Ｅ＝
≈－0.1425元
五、问题二的分析与解答
问题一的策略是，当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换牌的机会；
根据我们上题的结果，我们可以看出，这样的策略是存在较高风险的，期望的结果值为-0.1425，也就是说，平均起来玩家每下注一次就会输掉0.1425元。
我们假设玩家为“局中人”，问题一的策略为玩家规定的“策略”，于是，当玩家跟策略都给定后，对策结果也确定了。
而根据对策模型理论，局中人应该选取一组策略最为“局势”，这时每个局中人都有所得失，“得失”是“局势”的函数，称之为支付函数。
对策论就是要研究当局中人的策略集和支付函数均为已知时，如何确定自己的策略以争取尽可能好的结果。
因此，问题一的策略就显得过于单一了，在我们现实下注中，我们要准备好多种不同的策略，根据不同的情况使用不同的策略，在问题一的策略中，我们明显可以列举出很多种不同的具体策略来实现更高的期望值：
1、当拿到34568时，我们不要全部换，只换8，这样最终的期望值会高很多；
2、当有4个花色一样的，我们只换花色不一样的那张，期望值也会比较高；
3、或者拿到34566时，我们不要放弃345，而是放弃6；
…………
对策模型的种类很多，并且存在多种分类的方法。
主要的对策模型的类别可由下图表示：
六、问题三的分析与解答（模型的设计与优化）
根据问题二的分析，我们对抽到各种类型牌之后的换牌策略进行分析，修改和设计。
主要策略：
假设第1次抽牌抽到以下其中一种情况：
1、同花大顺：
不换牌的期望为
=799，应为799已经是最高奖金了，不可能博取更高的奖金，不换无疑是最好的策略。
2、同花顺、四张相同点数的牌、满堂红：
不换牌的期望
>
且同花大顺、同花顺、四张相同点数的牌、满堂红的概率都极低，所以我们也不改变策略。
3、同花：
若有4张是顺牌而且点数是10，J，Q，K，A五种里的其中4个点数的话我们尝试选择换其中一张不顺的牌:
1、不换的话:
=4；
2、换的话:
（1）如果刚好是10，J，Q，K这4种点数：
=
=18.234>
；
如果是10，J，Q，K，A五种点数里除10，J，Q，K这种点数组合外的其他情况：
=17.787>
因为期望值提升非常大，所以在这种情况下应该选则换一张的策略。
（2）若是其中的4张可以筹同花顺的牌:
缺头或缺尾：
=2.277<
（不换）；
5张缺中间一张或1,2,3,4这种牌型：
=1.530<
（3）其他情况
更加小，所以选择不换。
4、顺子：
若顺子的点数是10，J，Q，K，A而且花色有4张相同的话我们尝试换那张不同花色的牌：
1、不换的话
=3；
（1）如果是10，J，Q，K这4张牌同花色：
=18.170>
如果顺子的点数是10，J，Q，K，A且同花的组合不是10，J，Q，K的情况：
=17.809>
（2）若是其中的4张同花:
顺子头或尾不是同花:
=2.533<
5张中间的一张不是同花:
=1.667<
牌型是1,2,3,4,且5与其他四张花式不同：
5、三张相同点数的牌、两对、一对高分对、其他（有一对）:
原来的玩家策略基本和主要策略一致，我们不加以修改。
6、其他（没有对）：
不换的话
=-1，这个期望是在一次单独实验的最小值，只要换牌
，所以一定要换；
参考顺子和同花的分析，换牌原则应该为：
1、保留最接近的同花大顺、同花顺、同花、顺子的牌，以接近的张数（即缺少的牌最少）优先；
2、所有在接近的张数相同的情况下按：
同花顺=>
顺子的优先级选取保留的牌:
若把1次概率设为x,奖金为f（x）则根据表1可得
通过这几个散点我们可以总结出随着概率的降低奖金的增加速度也在加快，所以我们应该按同花顺=>
七、模型的评价
评价:
无论用什么采用什么策略E<
0恒成立，所以这种赌博性质的游戏在大量重复的试验中玩家一般总是吃亏的一方。
优点:
我们把原来的模型进行了部分修改和重新设计，我们尽量在每一种情况下设计了一个期望值尽量高的换牌对策,从理论上优化了原来的模型，使期望值可尽量最大，在大量重复的试验中，期望值的一般性就可以体现出来。
缺点:
在这个策略中我们求的是期望的最大值，不考虑风险的因数，在实际操作中，我们的模型策略只有在大量的试验中才能体现出来效果，少量个别的试验有一定的局限性。
最后，如果时间允许的话，我们还能建立出更加优化、更加完善、更加和实际生活相符合的数学模型。
八、模型的推广
在现实生活中，我们常常会遇到类似的问题，题目中我们建立的模型其实就是对策模型中的一种，我们根据对策论的思想，把扑克游戏中的策略经过收集，变化成为对策论中所说的“局势”，从而根据概率学计算出每一种策略的期望值。
因此，我们的模型根据对策论的原理，可以推广到更多的领域，比如囚徒困境对策、价格战对策、贸易战对策等。
下面我们举一个例子进行说明：
贸易战对策论
这个问题对于加入WTO的中国而言尤为重要。
任何一个国家在国际贸易中都面临着保持贸易自由与实行贸易保护主义的两难选择。
贸易自由与壁垒问题，也是一个“纳什均衡”，这个均衡是贸易双方采取不合作对策的策略，结果使双方因贸易战受到损害。
X国试图对Y国进行进口贸易限制，比如提高关税，则Y国必然会进行反击，也提高关税，结果谁也没有捞到好处。
反之，如X和Y能达成合作性均衡，即从互惠互利的原则出发，双方都减少关税限制，结果大家都从贸易自由中获得了最大利益，而且全球贸易的总收益也增加了。
对策论是一个热得烫手的概念。
它不仅仅存在于数学的运筹学中，也正在经济学中占据越来越重要的地位，但如果你认为对策论的应用领域仅限于此的话，那你就大错了。
实际上，对策论甚至在我们的工作和生活中无处不在！
诺贝尔经济学奖获得者包罗·
萨缪尔逊如是说：
要想在现代社会做个有价值的人，你就必须对对策论有个大致的了解。
也可以这样说,要相赢得生意,不可不学对策论；
要想赢得生活,同样不可不学对策论。
参考文献
[1]吴坚，计算机应用数学，北京：
科学出版社，2004
[2]张小红、张建勋，数学软件与数学实验，北京：
清华大学出版社，2004
[3]李瑛，决策统计分析，天津：
天津大学出版社，2005
[4]杜栋、庞庆华，现代综合评价方法与案例精选，北京：
清华大学出版社，2005
[5]（美）SheldonRoss（著），赵选民等（译），概率论基础教程，北京：
机械工业出版社，2006
[6]老衲还俗2007、ppaggv，对策论，
[7]曹·
国正著，博弈圣经，
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