中考数学押轴题型费马点相关问题Word文件下载.docx

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尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：

在△ABC内求一点P，使 

PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”． 

二、探索费马点 

1． 

当三角形有一个内角大于或等于120°

的时候，则费马点就是这个内角的顶点． 

下面来验证这个结论：

如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得AC′=AC， 

作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=AP． 

即把△APC以A为中心做旋转变换． 

则△APC≌△AP′C′， 

∵∠BAC≥120°

，∴∠PAP′≤60°

． 

∴在等腰三角形PAP′中，AP≥PP′， 

∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ 

P′C′>

BC′=AB+AC． 

所以A是费马点．

2． 

如果三个内角都在120°

以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 

120°

的点． 

如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°

到△A′BP′． 

因为旋转60°

，且PB=P′B，所以△P′PB为正三角形． 

因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC． 

由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC为最小． 

当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°

，∴∠A′P′B=∠APB=120°

同理，若P′，P，C共线时，则∵∠BPP′=60°

， 

∴∠BPC=120°

所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°

的点．

费马点相关问题

等腰直角三角形,已知在直角平分线上的一点P,PA+PB+PC最小值为√6+√2，求直角边的长度？

解答：

如图

将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD=60度，

三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，

所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DE+PD+PB最小，这时角BPC=120度，角APC=EDC=120。

下证这时的点P就在角ACB的平分线上。

在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度，

得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，点P在角ACB的平分线上。

所以点P是这样一个点：

它使角APC=BPC=APB=120度（这个点叫三角形的费马点）。

延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，

设PF=x，则PA=PB=2x 

，AF=CF=√3*x，PC=（√3-1）x，

有 

2x+2x+（√3-1）x=√6+√2，x=1/3√6。

所以 

AF=CF=√2，AC=√2*CF=√2*√2=2。

向左转|向右转

求角CBN90度的方法：

1.四边形内角和等于360度；

2.在直角三角形ABC中，由AC等于AB的一半知角CBA等于30度

“费马点”与中考试题 

费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一． 

费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点． 

费尔马的结论：

对于一个各角不超过120°

的三角形，费马点是对各边的张角都是120°

的点，对于有一个角超过120°

的三角形，费马点就是这个内角的顶点． 

下面简单说明如何找点P使它到ABC△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

这就是所谓的费尔马问题． 

解析：

如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°

得到△AP′C′，连接PP′． 

则△APP′为等边三角形，AP= 

PP′，P′C′=PC， 

所以PA+PB+PC= 

PP′+ 

PB+ 

P′C′． 

点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°

而得的定点，BC′为定长 

，所以当B、P、P′、C′ 

四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小． 

这时∠BPA=180°

-∠APP′=180°

-60°

=120°

∠APC=∠A 

P′C′=180°

-∠AP′P=180°

∠BPC=360°

-∠BPA-∠APC=360°

-120°

因此，当ABC△的每一个内角都小于120°

时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°

，可在AB、BC边上分别作120°

的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；

当有一内角大于或等于120°

时，所求的P点就是钝角的顶点． 

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法:

是运用旋转变换． 

本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考． 

例1 

（2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为26

，求此正方形的边长