高考数学理一轮复习题库29函数模型及其应用Word格式.docx
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2．“对勾”函数
形如f（x）＝x＋
（a>
0）的函数模型称为“对勾”函数模型：
（1）该函数在（－∞，－
]和[
，＋∞）上单调递增，在[－
，0）和（0，
]上单调递减．
（2）当x>
0时，x＝
时取最小值2
，
当x<
0时，x＝－
时取最大值－2
.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．（ √ ）
（2）幂函数增长比直线增长更快．（ ×
）
（3）不存在x0，使
（ ×
（4）在（0，＋∞）上，随着x的增大，y＝ax（a>
1）的增长速度会超过并远远大于y＝xa（a>
0）的增长速度．（ √ ）
（5）“指数爆炸”是指数型函数y＝a·
bx＋c（a≠0，b>
0，b≠1）增长速度越来越快的形象比喻．（ ×
1．（教材改编）已知某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog3（x＋1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到（ ）
A．100只B．200只C．300只D．400只
答案 B
解析 由题意知100＝alog3（2＋1），
∴a＝100.∴y＝100log3（x＋1），
当x＝8时，y＝100log39＝200.
2．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系用图象表示为（ ）
解析 根据题意得解析式为h＝20－5t（0≤t≤4），其图象为B.
3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A.
B.
C.
D.
－1
答案 D
解析 设年平均增长率为x，则（1＋x）2＝（1＋p）（1＋q），
∴x＝
－1.
4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
A．3B．4C．6D．12
答案 A
解析 设隔墙的长度为x（0<
x<
6），矩形面积为y，则y＝x×
＝2x（6－x）＝－2（x－3）2＋18，
∴当x＝3时，y最大．
5．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）＝40Q－
Q2，则总利润L（Q）的最大值是________万元．
答案 2500
解析 L（Q）＝40Q－
Q2－10Q－2000＝－
Q2＋30Q－2000＝－
（Q－300）2＋2500.
当Q＝300时，L（Q）的最大值为2500万元．
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1
（1）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
（2）（2016·
日照模拟）物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ）
答案
（1）C
（2）B
解析
（1）小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
（2）由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
（1）构建函数模型法：
当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
（2）验证法：
当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
设甲、乙两地的距离为a（a>
0），小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为（ ）
解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，应随时间增大而增大，故排除A，C；
又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
题型二 已知函数模型的实际问题
例2
（1）某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量（kg）与其运费（元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.
（2）一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案
（1）19
（2）16
解析
（1）由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.
（2）当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝
a，
∴e－8b＝
，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝
a，e－bt＝
＝（e－8b）3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min.
思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该模型求解实际问题．
（2015·
四川）某食品的保鲜时间y（单位：
小时）与储藏温度x（单位：
℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析 由题意得
∴e22k＝
＝
，∴e11k＝
，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝（e11k）3·
eb＝
3·
×
192＝24.
题型三 构造函数模型的实际问题
命题点1 构造二次函数模型
例3 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为（ ）
A．85元B．90元
C．95元D．100元
答案 C
解析 设每个售价定为x元，则利润y＝（x－80）·
[400－（x－90）·
20]＝－20[（x－95）2－225]．
∴当x＝95时，y最大．
命题点2 构造指数函数、对数函数模型
例4 光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y.
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的
以下？
（参考数据：
lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
解
（1）光线通过1块玻璃后，强度y＝（1－10%）k＝0.9k；
光线通过2块玻璃后，强度y＝（1－10%）·
0.9k＝0.92k；
光线通过3块玻璃后，强度y＝（1－10%）·
0.92k＝0.93k；
……
光线通过x块玻璃后，强度y＝0.9xk.
故y关于x的函数解析式为y＝0.9xk（x∈N*）．
（2）由题意，得0.9xk<
即0.9x<
，两边取对数，得xlg0.9<
lg
因为lg0.9<
0，所以x>
又
≈13.14，
且x∈N*，所以xmin＝14.
故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的
以下．
命题点3 构造分段函数模型
例5 （2017·
武汉调研）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：
千米/小时）是车流密度x（单位：
辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；
当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：
当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：
辆/小时）f（x）＝x·
v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
解
（1）由题意可知当0≤x≤20时，v（x）＝60；
当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b，显然v（x）＝ax＋b在[20,200]上是减函数，由已知得
解得
故函数v（x）的表达式为
v（x）＝
（2）依题意并由
（1）可得
当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×
20＝1200；
当20≤x≤200时，f（x）＝
x（200－x）≤
[
]2＝
，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，所以，当x＝100时，f（x）在区间[20,200]上取得最大值
综上，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值
≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3333辆/小时．
思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
（1）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：
驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车．（精确到1小时）
（2）大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R（x）＝
则总利润最大时，该门面经营的天数是________．
答案
（1）5
（2）300
解析
（1）设经过x小时才能开车．
由题意得0.3（1－25%）x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5.
（2）由题意，总利润
y＝
当0≤x≤400时，y＝－
（x－300）2＋25000，
所以当x＝300时，ymax＝25000，
当x>
400时，y＝60000－100x<
20000，
综上，门面经营的天数为300时，总利润最大为25000元．
2．函数应用问题
典例 （12分）已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且R（x）＝
（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？
并求出最大利润．
思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论．
规范解答
解
（1）当0<
x≤40时，W＝xR（x）－（16x＋40）
＝－6x2＋384x－40，[2分]
40时，W＝xR（x）－（16x＋40）
＝－
－16x＋7360.
所以W＝
[4分]
（2）①当0<
x≤40时，W＝－6（x－32）2＋6104，
所以Wmax＝W（32）＝6104；
[6分]
②当x>
40时，W＝－
－16x＋7360，
由于
＋16x≥2
＝1600，
当且仅当
＝16x，
即x＝50∈（40，＋∞）时，取等号，
所以W取最大值为5760.[10分]
综合①②知，
当x＝32时，W取得最大值6104万美元．[12分]
解函数应用题的一般步骤：
第一步：
（审题）弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：
（建模）将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：
（解模）求解数学模型，得到数学结论；
第四步：
（还原）将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：
（反思）对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是（ ）
A．y＝2xB．y＝x2－1
C．y＝2x－2D．y＝log2x
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；
根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；
将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：
前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（ ）
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）
A．118元B．105元
C．106元D．108元
解析 设进货价为a元，由题意知132×
（1－10%）－a＝10%·
a，解得a＝108.
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：
每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元收费；
用水超过10m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（ ）
A．13m3B．14m3
C．18m3D．26m3
解析 设该职工用水xm3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝
则10m＋（x－10）·
2m＝16m，
解得x＝13.
5．（2016·
北京朝阳区统一考试）设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x（0<
100，x∈N*）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）
A．15B．16C．17D．18
解析 由题意，分流前每年创造的产值为100t（万元），分流x人后，每年创造的产值为（100－x）（1＋1.2x%）t，
则由
解得0<
x≤
因为x∈N*，所以x的最大值为16.
6．（2016·
武汉检测）某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：
万元）为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润（单位：
万元）为y2＝2x，其中x为销售量（单位：
辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A．10.5万元B．11万元
C．43万元D．43.025万元
解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16－x）辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2（16－x）＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1（x－
）2＋0.1×
＋32.
因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝
－
（x>
0）．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．
答案 4
解析 由题意得L＝
2（x>
0）．当
＝0，即x＝4时，L取得最大值21.5.
故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．
8．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt（其中k为常数，t表示时间，单位：
小时，y表示病毒个数），则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
答案 2ln2 1024
解析 当t＝0.5时，y＝2，
∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，
当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.
9．（2016·
宝鸡模拟）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为________m.
答案 20
解析 设内接矩形另一边长为y，
则由相似三角形性质可得
解得y＝40－x，
所以面积S＝x（40－x）＝－x2＋40x
＝－（x－20）2＋400（0<
40），
当x＝20时，Smax＝400.
*10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>
a）以及实数x（0<
1）确定实际销售价格c＝a＋x（b－a）．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c－a）是（b－c）和（b－a）的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．
答案
解析 依题意得x＝
，（c－a）2＝（b－c）（b－a），
∵b－c＝（b－a）－（c－a），
∴（c－a）2＝（b－a）2－（b－a）（c－a），
两边同除以（b－a）2，得x2＋x－1＝0，
解得x＝
∵0<
1，∴x＝
11．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：
m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3
（其中a、b是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.
（1）求出a、b的值；
（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解
（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3
＝0，即a＋b＝0；
当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog3
＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组
得
（2）由
（1）知，v＝－1＋log3
.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，即－1＋log3
≥2，即log3
≥3，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
12．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）＝－2t＋200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g（t）＝
t＋30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格为g（t）＝45（31≤t≤50，t∈N）．
（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
（2）求日销售额S的最大值．
解
（1）依题意得
S＝
即S＝
（2）①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－（t－20）2＋6400，
∴当t＝20时，S取得最大值为6400.
②当31≤t≤50，t∈N时，
S＝－90t＋9000为递减函数，
∴当t＝31时，S取得最大值为6210.
综合知，当t＝20时，日销售额S有最大值6400.
*13.（2016·
济南模拟）某旅游景点2016年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：
万人）与x的关系近似地满足p（x）＝
x（x＋1）（39－2x）（x∈N*，且x≤12）．已知第x个月的人均消费额q（x）（单位：
元）与x的近似关系是q（x）＝
（1）写出2016年第x个月的旅游人数f（x）（单位：
人）与x的函数关系式；
（2）试问2016年第几个月旅游消费总额最大？
最大月旅游消费总额为多少万元？
解
（1）当x＝1时，f
（1）＝p
（1）＝37，
当2≤x≤12，且x∈N*时，
f（x）＝p（x）－p（x－1）
x（x＋1）（39－2x）－
（x－1）x（41－2x）
＝－3x2＋40x，
验证x＝1也满足此式，
所以f（x）＝－3x2＋40x（x∈N*，且1≤x≤12）．
（2）第x个月旅游消费总额为
g（x）＝
即g（x）＝
①当1≤x≤6，且x∈N*时，
g′（x）＝18x2－370x＋1400，令g′（x）＝0，
解得x＝5或x＝
（舍去）．
当1≤x<
5时，g′（x）>
0，
当5<
x≤6时，g′（x）<
∴当x＝5时，g（x）max＝g（5）＝3125（万元）．
②当7≤x≤12，且x∈N*时，g（x）＝－480x＋6400是减函数，
∴当x＝7时，g（x）max＝g（7）＝3040（万元）．
综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3125万元．
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