642 向量在物理中的应用举例文档格式.docx

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C.2

D.5

解析　|F1＋F2|＝|

1＋

2|＝|（2，2）＋（－2，3）|＝|（0，5）|＝5.

答案　D

2.作用于原点的两个力F1＝（1，1），F2＝（2，3），为使它们平衡，需加F3＝________.

解析　由题意知，F1＋F2＋F3＝0，

∴F3＝－F1－F2＝－（F1＋F2）＝（－3，－4）.

答案　（－3，－4）

[微思考]

如何利用向量研究力、速度、加速度、位移、功等物理问题？

提示　力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等；

力所做的功的问题一般可以利用两向量的数量积来处理，如图所示，一物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功为W＝F·

题型一　向量的线性运算在物理中的应用

【例1】　在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°

，60°

（如图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.

解　如图，两根绳子的拉力之和

＋

＝

，且|

|＝|

|＝300N，∠AOC＝30°

，∠BOC＝60°

.

在△OAC中，∠AOC＝30°

，∠OAC＝90°

，

从而|

|·

cos30°

＝150

（N），

|

sin30°

＝150（N），

所以|

|＝150（N）.

答：

与铅垂线成30°

角的绳子的拉力是150

N，与铅垂线成60°

角的绳子的拉力是150N.

规律方法　利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.

【训练1】　河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10

km/h，求小船的实际航行速度.

解　设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作

＝a，

＝b，以

为邻边作矩形OACB，连接

，如图，则

＝a＋b，且

即为小船的实际航行速度.

∴|

|＝

＝20（km/h），

tan∠AOC＝

，∴∠AOC＝60°

∴小船的实际航行速度大小为20km/h，按北偏东30°

的方向航行.

题型二　向量的数量积在物理中的应用

用向量方法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型

【例2】　质量m＝2.0kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿倾斜角θ＝30°

的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m的距离.（g＝9.8N/kg）

（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；

（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？

解　

（1）木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为

WF＝F·

s＝|F||s|cos0°

＝20（J）；

支持力FN与位移方向垂直，不做功，

所以WN＝FN·

s＝0；

重力G对物体所做的功为

WG＝G·

s＝|G||s|cos（90°

＋θ）＝2.0×

9.8×

2.0×

cos120°

＝－19.6（J）.

（2）物体所受各力对物体做功的代数和为

W＝WF＋WN＋WG＝0.4（J）.

规律方法　向量在物理学中的应用一般涉及力与速度的合力与分解，充分借助向量的平行四边形法则把物理问题抽象为数学问题，物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积.

【训练2】　已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°

，则F做的功为（　　）

A.7B.10C.14D.70

解析　F做的功为F·

s＝|F||s|cos60°

＝10×

14×

＝70.

一、素养落地

1.通过用向量的方法解决物理问题提升数学运算素养.通过探究物理中的实际问题培养数学建模素养.

2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤

一般来说分为四步：

（1）问题的转化，把物理问题转化成数学问题；

（2）模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；

（3）参数的获取，求出数学模型的相关解；

（4）问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.

二、素养训练

1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°

角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）

A.6B.2C.2

D.2

解析　由题意知F3＝－（F1＋F2），

所以|F3|2＝（F1＋F2）2＝F

＋F

＋2F1·

F2＝4＋16＝20，

∴|F3|＝2

答案　C

2.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（　　）

A.v1－v2B.v2－v1

C.v1＋v2D.|v1|－|v2|

解析　由题易知，选项C正确.

3.用两条成120°

角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为________N.

解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°

角，

且|F1|＝|F2|.

∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N，

∴每根绳子的拉力都为10N.

答案　10

4.一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________min.

解析　∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，

|v1|＝20km/h，|v2|＝12km/h，

∴|v实际|＝

＝16（km/h）.

∴所需时间t＝

＝0.05（h）＝3（min）.

∴该船到达B处所需的时间为3min.

答案　3

基础达标

一、选择题

1.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°

时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°

时，合力大小为（　　）

A.40NB.10

N

C.20

ND.10

解析　设夹角90°

时，合力为F，

|F1|＝|F2|＝|F|cos45°

＝10

当θ＝120°

，由平行四边形法则知：

|F合|＝|F1|＝|F2|＝10

N.

答案　B

2.已知作用在点A的三个力F1＝（3，4），F2＝（2，－5），F3＝（3，1）且A（1，1），则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为（　　）

A.（9，1）B.（1，9）

C.（9，0）D.（0，9）

解析　F＝F1＋F2＋F3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0），设合力F的终点为P（x，y），则

＋F＝（1，1）＋（8，0）＝（9，1）.

答案　A

3.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝（4，－3）（即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位）.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（　　）

A.（－2，4）B.（－30，25）

C.（10，－5）D.（5，－10）

解析　设（－10，10）为A，5秒后P点的坐标为A1（x，y），则

＝（x＋10，y－10），

由题意有

＝5ν.

即（x＋10，y－10）＝（20，－15）

所以

解得

4.关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（　　）

A.船垂直到达对岸所用时间最少

B.当船速v的方向与河垂直时用时最少

C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样

D.以上说法都不正确

解析　根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少.

5.已知两个力F1，F2的夹角为90°

，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°

，那么F1的大小为（　　）

A.5

NB.5NC.10ND.5

解析　如图，有|F1|＝|F|cos60°

＝5（N）.

二、填空题

6.飞机以300km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°

角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h.

解析　如图所示，

|v1|＝|v|cos30°

＝300×

（km/h）.

答案　150

7.一物体在力F1＝（3，－4），F2＝（2，－5），F3＝（3，1）的共同作用下从点A（1，1）移动到点B（0，5）.在这个过程中三个力的合力所做的功为________.

解析　∵F1＝（3，－4），F2＝（2，－5），F3＝（3，1），

∴合力F＝F1＋F2＋F3＝（8，－8）.

又∵

＝（0－1，5－1）＝（－1，4），

∴F·

＝8×

（－1）＋（－8）×

4＝－40，

即三个力的合力做的功等于－40.

答案　－40

8.一个重20N的物体从倾斜角为θ，斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10J，则θ＝________.

解析　∵WG＝G·

s＝|G||s|·

cos（90°

－θ）

＝20×

1×

－θ）＝10（J），

∴cos（90°

－θ）＝

，∴θ＝30°

答案　30°

三、解答题

9.如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°

，∠BCW＝120°

，求A和B处所受绳子的拉力的大小（忽略绳子质量）.

解　设A，B处所受绳子的拉力分别为F1，F2，物体的重力用F表示，则F1＋F2＝F.以重力作用点C为F1，F2的始点，作平行四边形CFWE，则CW为对角线，

＝F2，

＝F1，

＝F，

∠ECW＝180°

－150°

＝30°

∠FCW＝180°

－120°

＝60°

∴∠FCE＝90°

∴四边形CFWE为矩形.

|cos30°

＝5

（N）.

|cos60°

∴A处受绳子的拉力大小为5

N，B处受绳子的拉力大小为5N.

10.已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）.

（1）求F1，F2分别对质点所做的功；

（2）求F1，F2的合力F对质点所做的功.

解　

（1）

＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15），

W1＝F1·

＝（3，4）·

（－13，－15）

＝3×

（－13）＋4×

（－15）＝－99（J），

W2＝F2·

＝（6，－5）·

＝6×

（－13）＋（－5）×

（－15）＝－3（J）.

∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J.

（2）W＝F·

＝（F1＋F2）·

＝[（3，4）＋（6，－5）]·

＝（9，－1）·

＝9×

（－13）＋（－1）×

（－15）

＝－117＋15＝－102（J）.

∴合力F对质点所做的功为－102J.

能力提升

11.河水的流速为2m/s，一艘小船以10m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________m/s.

解析　设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2m/s，|v|＝10m/s.

所以|v2|＝|v－v1|＝

＝2

（m/s）.

答案　2

12.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.

解　设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到风速为v－a，

设

＝－a，

＝－2a，

＝v，因为

＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，

因为

，所以

＝v－2a.

于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是

由题意：

∠PBO＝45°

，PA⊥BO，BA＝AO，

从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝

a，

即：

|v|＝

a.

所以实际风速是每小时

a千米的西北风.

创新猜想

13.（多选题）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（　　）

A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小

C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变

解析　设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ（0<

θ<

）.则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝

∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大.

∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小.

答案　AC

14.（多填题）一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°

，受风力影响，静水中船的漂行速度为3km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2

km/h的速度横渡，则船本身的速度大小为________，船航行的方向为________.

解析　如图，设水流的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.可求得a的方向是北偏东30°

，a的大小为3km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2

km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°

，大小是

km/h.

答案　

km/h　北偏西60°