初中几何辅助线中点辅助线构造.docx
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初中几何辅助线中点辅助线构造
几何辅助线——中点辅助线的构造
一、知识归纳
1.掌握倍长中线或类中线构造全等三角形方法
A
A
B
D C
M
B D
C
E
N
2.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接，用“三线合一”
3.已知三角形一边的中点，可以考虑三角形的中位线
4.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
5.有些题目中的中点不直接给出，此时需要找出隐藏的中点，例如等腰三角形底边的中点，
直角三角形斜边的中点等，然后添加辅助线△ABC 中 AD 是 BC 边中线
一、典例精讲
例
：
ABC 中，AB=20，AC=12，求中线 AD 的取值范围
B
A
D C
例
：
已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC
于 F，求证：
AF=EF
A
E
F
B
D C
例
：
已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 AF=EF，延长 BE 交 AC
于 F，求证：
BE=AC
A
E
F
B
D C
例 4：
已知：
如图，在∆ABC 中， AB ≠ AC ，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DF //BA
交 AE 于点 F，DF=AC.求证：
AE 平分∠BAC
A
F
B
D E C
例 5：
如图，在
ABC 中，∠BAC=90°，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 上的
点，且 ED⊥FD，试判断线段 BE、EF、FC 的数量关系.
例 6：
已知 AD 为 △ABC 的中线 ， ∠ADB ， ∠ADC 的平分线分别交 AB 于点 E ，交 AC
于点 F 。
求证：
BE ＋CF ＞EF 。
1
例
：
在ABC 中，D 是 BC 的中点，DM⊥DN，如果 BM2+CN2=DM2+DN2，求证：
AD2=（AB2+AC2）.
4
例
：
已知ABC 中，AB ＝AC ，CE 是 AB 边上的中线，延长 AB 到 D ，使 BD＝AB ，求证：
CD ＝2CE
例 9 已知在△ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，
求证：
BD=CE
A
D
BC
F
E
例 10 问题 1：
如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 并
延长，分别与 BA、CD 的延长线交于点 M、N，求证：
∠BME=∠CNE．
问题二：
如图 2，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中
点，连接 EF，分别交 DC、AB 于点 M、N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论；
问题三：
如图
，在ABC 中，AC＞AB，D 点在 AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，
连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若∠EFC=60°，连接
，判断AGD 的形状并证
明．
三、即时巩固
1：
如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC，求证：
EF∥AB.
A
F
B
E D C
2：
已知 CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE 是△ABD 的中线，求证：
∠C=∠BAE
A
B
E D C
3：
如图，在△ABC 中，BC ＝18 ，BD ⊥AC 于 D ，CE ⊥AB 于 E ，F 、G 分别是 BC 、
DE 的中点，若 ED ＝10 ，则 FG 的长为_____ 。
4：
如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是 DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.
5：
在四边形 ABCD 中，AB∥DC，E 为 BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与 DC 的延长线相交
于点 F。
试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.
A
D
B
E
C
F
6：
在△ABC 中，∠ACB=90°，AC= 1
2
BC，以 BC 为底作等
腰直角△BCD，E 是 CD 的中点，求证：
AE⊥EB 且 AE=
7：
已知△ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角
形，求证 EF=2AD
8：
如图 ， 等腰梯形 ABCD 中 ，CD ∥AB ， 对角线 AC 、BD 交于 O ， ∠ACD＝60 °，
点 S 、P 、Q 分别是 OD 、OA 、BC 的中点。
求证：
△PQS 是等边三角形。
9：
已知：
在 Rt∆ABC 中， AB = BC ，在 Rt∆ADE 中， AD = DE ，连结 EC ，取 EC 的中点 M ，
连结 DM 和 BM ．
⑴ 若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图①，探索 BM 、 DM 的关系
并给予证明；
⑵ 如果将图①中的 ∆ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45°的角，如图②，那么⑴中的结论是否
仍成立？
如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
B
E B
E
M
D M
A
D
C A
C
图1
图2
四、训练提升
1：
已知：
∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：
EF=AC
2：
已知，E 是 AB 中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求 DC
3：
如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边的中点，G、F 分别为 AD，BC 边上的点，若 AG=1，
BF=2，∠GEF=90°，则 GF 的长为多少.
4：
如图，在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AD 上一点，BE＝AC，BE 的延长线交 AC 于点
F，求证：
∠AEF=∠EAF
5：
如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 中点，EF∥AD 交 CA 的延长线于点 F，
交 EF 于点 G，若 BG=CF，求证：
AD
ABC 的角平分线.
6：
如图，在五边形 ABCDE 中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，F 为 CD 的中点．求证：
BF=
7：
在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥DF，试判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论。
8：
△ABC 中，D 为 BC 边的中点，在三角形内部取一点 P，使得∠ABP=∠ACP．过点 P 作 PE
⊥AC 于点 E，PF⊥AB 于点 F．
（1）如图 1，当 AB=AC 时，判断的 DE 与 DF 的数量关系，直接写出你的结论；
（2）如图 2，当 AB≠ AC，其它条件不变时，（ 1）中的结论是否发生改变？
请说明理由．
A
A
F
EPFE
P
BDCBDC
9：
在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为 BC 和 AB 的中点求证：
AM=AD
F
B
A D
M
E C
10：
如图甲，操作：
把正方形 CGEF 的对∠线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上（CG
＞BC），取线段 AE 的中点 M．
（1）探究线段 MD、MF 的位置及数量关系，直接写出答案即可；
（2）将正方形 CGEF 绕点 C 逆时针旋转 45°（如图乙），令 CG=2BC 其他条件不变，结论是
否发生变化，并加以证明；
（3）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：
线段 MD，MF
的位置及数量关系，并加以证明．
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