工程力学2Word格式文档下载.docx

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因此，对于刚体而言，力是滑移矢。

因为力是物体间的相互作用，所以一物体对另一物体有力作用的同时，也必然受到该物体的反作用力作用。

所以，力（作用力和反作用力）是成对出现的，作用在不同的物体上。

牛顿第三定律指出,两物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在两个物体上的。

若干个共点力，可以合成为一个合力。

且力的合成满足矢量加法规则。

2.1.1力的合成（几何法）

力矢量可以用平行四边形法则进行合成和分解，如图2.1（a）所示。

作用在刚体上的二个力F1、F2，只要其作用线不平行，由于力可以沿其作用线滑移，总可以移至其作用线的交点O，合力FR即可用矢量和表示为：

FR=F1+F2

合力FR与其分力F1、F2对于刚体有着相同的作用效应。

图2.1（a）之力的平行四边形，可以简化为三角形。

如图2.1（b）所示，将二分力首尾相接，则与分力首尾相对的第三边即为所求之合力FR。

这样得到的三角形，称为力三角形。

图2.1（c）中作用线汇交于同一点的若干个力组成的力系，称为汇交力系或共点力系。

利用力三角形，将各力逐一相加，可得到从第一力到最后一力首尾相接的多边形，如图2.1（d）所示；

则多边形的封闭边即为该汇交力系的合力。

用力多边形求汇交力系的合力时，同样应当注意，合力的指向是从第一力的起点（箭尾）指向最后一力的终点（箭头）。

上述力矢量求和的方法，称为几何法。

例2.1图中固定环上作用着二个力F1和F2，若希望得到垂直向下的合力FR=1kN，又要求力F2尽量小，试确定角和力F1、F2的大小。

解：

作力三角形如图。

由正弦定理有：

F1/sin=FR/sin（180-20-）

（1）

F2/sin20=FR/sin（180-20-）

（2）

由F2最小的条件，还有

dF2/d=-FRsin20cos（160-）/sin2（160-）=0（3）

由（3）式知cos（160-）=0，即=70时，F2最小。

将=70代入

（1）和

（2）式，即可求得：

F1=940N，F2=342N。

2.1.2力的合成（投影解析法）

下面讨论利用力的投影求汇交力系合力的方法。

力F在任一轴x上的投影，定义为力的大小乘以力与轴正向夹角的余弦。

如图2.3（a）所示，力F在任一轴x上的投影为：

Fx=Fcos---（2-1）

显然，若力与轴正向夹角大于90，则力在轴上的投影为负，故力的投影是代数量。

在图2.3（b）中，力F1与轴x正向夹角是锐角，投影F1x为正，其大小等于ac；

力F2与轴x正向夹角是钝角，故投影F2x为负，大小等于bc。

故也可以说力在任一轴上投影的大小等于力的大小乘以力与轴所夹锐角的余弦，其正负则由从力矢量起点到终点的投影指向与轴是否一致确定。

由图2.3（b）中，FR是F1、F2的合力，其在轴x上的投影为正且大小等于ab。

可见：

---（2-2）

即：

合力在任一轴上的投影等于各分力在该轴上之投影的代数和。

此即合力投影定理。

例2.2推力F=200N，作用在置于斜面的物体上，如图2.4（a）所示。

试求：

1）力F沿斜面法向y和切向x的分力及力F在轴上的投影。

2）力F沿铅垂方向y'

和斜面切向x的分力及其在轴上的投影。

（c）

（a）

（b）

图2.4例2.2图

1）力F沿正交坐标轴x、y的分力和力F在x、y轴上的投影。

依据平行四边形法则，以合力F为对角线，作图如图2.4（b）。

则分力的大小为：

=Fcos70=68.4N

=Fcos20=187.9N

力F在x和y轴上的投影为：

Fx=-Fcos70=68.4N

Fy=-Fcos20=187.9N

可见，力F在正交（直角）坐标系x、y中的投影分量与沿坐标轴分解的分力大小相等。

2）力F沿非正交的铅垂方向y'

和斜面切向x的分力和力F在x、y′轴上的投影。

作平行四边形如图2.4（c）。

在力三角形中F、Fx、Fy'

的对角分别为60、50、70

力F沿铅垂方向y'

和斜面切向x的分力可由正弦定理求得，即：

/sin50=F/sin60

=176.9N

/sin70=F/sin60

=217.0N

力在x、y'

轴上的投影则为：

Fx=-Fcos70=-68.4N,Fy'

=AO=-Fcos50=-128.5N。

故显然可见：

力F在非正交坐标系x、y'

中的投影分量与沿坐标轴分解的分力的大小是不相等的。

由力的投影之定义（2-1）式可见，力在任一轴上的投影的大小都不大于力的大小。

而力的平行四边形中的对角线却不一定大于二条边，故分力的大小不一定都小于合力。

如上例所示。

---（2-3）

由上述讨论可知，在正交坐标系中，若干个共点力F1、F2、…、Fn的合力FR沿坐标轴的分量FRx、FRy的大小分别等于力在坐标轴上的投影FRx、FRy，利用合力投影定理则有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx

FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy

故合力FR的大小和方向可写为：

---（2-4）

表示合力FR与x轴所夹的锐角，合力的指向由FRx、FRy的正负判定。

由（2-3）、（2-4）式求合力的方法，称为解析法。

例2.3求图示作用在O点之共点力系的合力。

取正交坐标如图，合力FR在坐标轴上的投影为：

FRx=Fx=-400N+250N×

cos45-200N×

4/5

=-383.2N

FRy=Fy＝250N×

cos45-500N+200N×

3/5=-203.2N

合力FR为：

=433.7N;

=arctan（203.2N/383.2N）=27.9。

因为FRx、FRy均为负，故在第三象限，如图2.5所示。

2.1.3二力平衡公理

现在讨论作用于物体上的二个力使物体处于平衡的最简单问题。

作用于刚体上的两个力平衡的必要和充分条件是：

这两个力大小相等、方向相反，并作用在同一直线上。

如图2.6（a）所示，这是显而易见的公理，称为二力平衡公理。

反之，若刚体在且仅在二个力的作用下处于平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且作用在两受力点的连线上。

图2.6二力平衡

图2.6（b）中的三铰拱在力F的作用下处于平衡，曲杆AB、BC二部分各自也是处于平衡的。

若不计杆的自重，则BC杆是在B、C处受二力作用而处于平衡的，故B、C处的二个力必作用在二受力点B、C的连线上，且大小相等、方向相反，如图2.6（c）所示。

这类只在二点受力的无重杆或无重构件，在工程实际中常见，称为二力杆或二力构件。

平衡的二力，对刚体的运动状态无影响。

故可推知，在力系中加上或减去一平衡力系并不改变原力系对刚体的作用效果。

2.2力偶

作用在同一平面内，大小相等、方向相反、作用线相互平行而不重合的两个力，称为力偶。

图2.7力偶

力的作用效应是使刚体的移动状态发生变化，力偶的作用效应是使刚体的转动状态发生改变。

从这个意义上说，力偶可以视为又一基本量。

图2.7中作用在oxy平面内的力偶由（F，F′）组成，两力作用线间的距离h称为力偶臂。

力偶对刚体的转动效应显然与力的大小F和力偶臂的大小h成正比。

定义F与h之积为度量力偶对刚体的转动效应的物理量，称为力偶矩。

记作

---（2-5）

上式表明，在平面内，力偶矩M是一个代数量，正负号表示其转动的方向，通常规定逆时针转动为正。

力偶矩M的单位为Nm或kNm。

因此，力偶对刚体的作用效应，决定于力偶的作用平面、转向和力偶矩的大小，这就是力偶的三要素。

这三个要素，可以用一个矢量来描述。

如图2.7中的矢量M，其长度（按一定的比例）表示力偶矩的大小；

其作用线是力偶作用平面的法线；

其指向则按右手螺旋法则确定了力偶的转动方向，图中右手四指沿力偶转动方向时母指向上，故M的指向应向上。

如此定义的矢量M称为力偶矩矢。

因为力偶矩M是力偶对刚体转动效应的度量，故在同一平面内的二个力偶，只要其力偶矩相等，则二力偶等效。

这就是平面力偶等效定理。

图2.8中，同一平面内的各力偶之力偶矩均为M=+24Nm，因此，它们对于刚体的转动效应是相同的。

故可有如下推论：

a）力偶可以在刚体内任意移转。

由此可知，故对于刚体而言，力偶矩矢M的作用点可以在平面上任意移动，即力偶矩矢是自由矢。

b）在保持力偶矩不变的情况下，可以任意改变力和力臂的大小。

由此即可方便地进行力偶的合成。

图2.9给出了二个力偶合成的例证。

只须将图2.9（a）中力偶M2（F2，F2'

）之力和力臂的大小同时改变，使力臂等于h1,并保持力偶矩M2=F2h2不变，移转M2，即可得到图2.9（b）,进而得到合力偶M=M1+M2。

由此可知，同平面内若干个力偶M1、M2、…、Mn组成的力偶系，可以合成为一个合力偶，合力偶矩M等于力偶系中各力偶之矩的代数和。

这就是合力偶定理。

即对于平面力偶系有：

---（2-6）

对于力和力偶的基本认识可汇总于表2-1。

表2-1力和力偶的比较

力

力偶

力的作用是使物体沿其作用线移动。

力偶的作用是使物体在其作用面内转动。

力矢量是滑移矢。

力偶矩矢量是自由矢。

平面力偶矩是代数量。

力的三要素是其大小、方向与作用线。

力偶的三要素是其大小、方向与作用面。

共点力系可合成为一合力。

平面力偶系可合成为一合力偶。

合力投影定理：

FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy

合力偶定理：

M=Mi

2.3约束与约束力

可以在空间作任意运动的物体称为自由体。

运动受到限制的物体则为非自由体。

工程力学中研究的物体基本上都是非自由体，如重物受到绳索的限制（如图2.10）；

火车受到铁轨的限制；

传动轴受到二端轴承的限制等等。

非自由体的运动受到限制，是因为有周围物体的约束。

限制物体运动的周围物体，称为约束。

如绳索是所吊重物的约束，铁轨是火车的约束，轴承是轴的约束等等。

约束是通过力的作用来限制被约束物体的运动的。

例如，图2.10中绳索作用于重物的拉力FT，限制了重物向下的运动。

约束作用于被约束物体的力，称为约束力。

约束力是被动力，其大小取决于物体受到的主动力，故通常是未知的。

例如图2.10中，绳索作用于重物的拉力FT的大小取决于重物的重量W。

约束力作用在约束与被约束物体的接触面上。

由于约束力是被动力，工程中常称约束力为约束（或支承）反力。

约束力的作用方向应与约束所能限制的物体运动方向相反。

分析约束对于物体运动的限制，常常可以帮助我们确定约束力的作用方向。

下面分类讨论常见约束的约束力。

1）可确定约束力方向的约束

柔性约束：

如绳索、皮带、链条等。

只能限制物体沿柔性体自身使柔性体伸长的运动，故其约束力只能是沿柔性体自身的拉力，如图2.11所示。

光滑约束：

是指不考虑接触面间摩擦的光滑接触。

光滑约束只能限制物体沿接触面公法线方向朝向约束的运动，故约束力是沿接触处的公法线且指向物体的压力，如图2.12所示。

齿轮二接触面公法线与其节圆切向的夹角称为压力角，约束力如图。

2）可确定约束力作用线的约束

滚动支座：

又称滚动铰或可动铰，如图2.13所示。

它可以沿支承面滚动，故只能限制物体在铰接处垂直于支承面的运动，约束力的作用线通过铰链中心且垂直于支承面。

其指向取决于物体受力情况，未知待定。

滑块受滑道的约束，滑套受导轨的约束，如图2.14所示。

滑道、导轨只能限制物体在垂直于滑道或导轨方向的运动，并不能限制物体沿滑道或导轨的运动。

故其约束力应垂直于滑道、导轨，指向亦待定。

当物体自重可以不计，且只在二点受约束力作用而处于平衡时（如图2.14中的AC杆），是二力杆或二力构件。

二力杆两约束处的约束力必作用在二点的连线上，大小相等、方向相反，指向待定。

3）可确定作用点的约束

固定铰链：

固定铰链约束如图2.15（a）所示，它只允许物体绕铰链中心A转动。

在销钉与孔接触处有约束力（压力）作用。

假定接触在K处，约束力则为FAR。

固定铰链约束力FAR的作用线沿销钉与孔接触面的公法线，故必通过铰链中心。

其大小和方向待定，均取决于作用在物体上的主动力。

为方便起见，固定铰链的约束力可用作用于铰链中心A的二个相互垂直的分力FAx、FAy表示，其待定指向可任意假设。

连接二物体的中间铰如图2.15（b）所示，中间铰的约束力同样也可由该处二相互垂直的分力FCx、FCy表示。

4）几种常见约束

图2-16列出了若干常见约束。

空间球形铰链：

简称为球铰，如图2.16（a）所示。

球铰只允许被约束物体绕球心转动，限制沿所有方向的移动，故约束力以作用线过球铰中心的FAx、FAy、FAz三个分力表示。

如果讨论的是xy平面内的问题，力系中各力都作用在xy平面内，则z方向不存在移动，相当于固定铰，约束反力用FAx、FAy二分力表示。

一对轴承：

一对轴承作为轴的约束，使轴只能绕轴线（x轴）转动，故在空间中约束力共有五个。

在轴承A端用FAx、FAy、FAz三个分力表示，其中x方向的约束力FAx限制轴沿x方向的移动（可以用台阶或推力轴承实现）；

另一端用FBy、FBz二个分力表示，x方向没有约束力，以适应轴因热胀冷缩发生的轴向尺寸的微小改变。

对于平面力系问题，轴不能在平面内作任何移动或转动，故共有三个约束反力，在轴承一端用FAx、FAy二个分力表示，另一端只有一个反力FBy，如图2.16（b）所示。

固定端：

固定端限制物体的所有运动，即沿x、y、z三个方向的移动和绕三个坐标轴的转动，故共有六个约束力，用沿坐标轴的三个反力FAx、FAy、FAz和绕坐标轴的三个反力偶Mx、My、Mz表示，如图2.16（c）所示。

若讨论的是平面问题，则固定端限制物体在平面内的运动，用二个力和一个力偶表示即可。

图中xy平面内的力偶MA，在空间状态中就是绕z轴转动的力偶MZ。

指向不能确定的约束力，可以任意假设一个指向。

以后求解的结果为正，说明所设指向是正确的；

若求解结果为负，则实际指向应与假设相反。

2.4受力图

将所要研究的对象（物体或物体系统）从周围物体的约束中分离出来，画出作用在研究对象上的全部力（包括力偶），这样的图叫做受力图。

也称为分离体图。

画受力图时必须清楚：

研究对象是什么？

作用在研究对象上的已知力和力偶有哪些？

将研究对象分离出来需要解除哪些约束？

所解除的约束处如何正确分析其约束力？

画受力图是对物体进行受力分析的第一步，也是最重要的一步。

如果对于作用在物体上的力（尤其是约束力）的表达有错误，则分析计算不可能得到正确的结果。

因此，必须十分认真仔细。

例2.4球G1、G2置于墙和板AB间，BC为绳索，试画出图2.17中各物体或物体系统的受力图。

1.系统整体：

以板、球系统整体为研究对象，解除绳索、墙面及固定铰A之约束，将其分离出来，如图2.17（b）所示。

图2.17（b）之研究对象上，已知的力为重力G1、G2。

绳索为柔性约束，约束力是沿绳索自身的拉力FT；

墙与球之间是光滑约束，约束力为垂直于墙面且过该球球心的压力FD；

A处为固定铰，约束力用作用于A处的二分力FAx、FAy表示。

整体受力图一般可画在原图2.17（a）上。

2．球G1或G2：

图2.17（c）中分别画出了球G1、G2的受力图。

研究对象球G1除受重力G1作用外，有墙、板、球G2三处（D、E、K）光滑约束的反力，即约束力FD、FE、FK，均为压力且作用线沿接触处的公法线，通过球心。

同样，研究对象球G2除受重力G2作用外，有板、球G1二处光滑约束的反力，即约束力FH、F′K，作用线通过球心。

注意FK为球G2对球G1的作用力，画在球G1的受力图上；

则球G1对于球G2的约束力F′K与FK是作用力与反作用力的关系，二者等值、反向、共线，作用在不同物体上。

3.二球系统：

图2.17（d）将二球作为一个物体系统取为研究对象，作用在其上的除重力G1、G2外，只有板、墙对其有约束，约束力作用在三个接触点处，即FD、FE、FH。

注意，取出此研究对象时并不解除二球间的相互约束，故二球间的作用力与反作用力（FK与F′K），对于取二球为系统的研究对象而言是内力，不画出。

4.板AB：

图2.17（e）是以板AB为研究对象的受力图。

板自重不计。

受周围物体绳、球G1、球G2与固定铰A的约束，故有绳的反力FT、球的反力F′E、F′H和固定铰约束力FAx、FAy。

同样要注意到F′E、F′H与FE、FH间的作用力与反作用力关系。

还要注意，固定铰约束力FAx、FAy的指向必须与整体受力图一致，因为它们都是固定铰A对板的约束力。

例2.5连杆滑块机构如图2.18所示，受力偶M和力F作用，试画出各构件和整体的受力图。

解:

整体受力如图2.18（a）所示。

作用于研究对象上的外力有力偶M和力F。

A处为固定铰，约束力用FAx、FAy表示，滑道约束力FC的作用线垂直于滑道；

指向分别假设如图。

杆BC的受力如图2.18（b）所示。

注意自重不计时，杆BC是二力杆。

约束力FCB与FCB沿B、C二点的连线，图中假设指向是压力。

图2.18（c）是杆AB的受力图。

外载荷有力偶M（因此不是二力杆）。

A处固定铰约束力FAx、FAy也是铰链A作用于杆AB的力，故应注意与整体图指向假设的一致性。

B处中间铰作用在AB杆上的约束力F′BC与作用在BC杆上FBC互为作用力与反作用力，故F′BC应依据图2.18（b）上的FBC按作用力与反作用力关系画出。

图2.18（d）为滑块的受力图。

铰链C处的约束力F′CB与作用于BC杆上的FCB互为作用力与反作用力，其指向同样应依据二力杆BC的受力图确定，滑道的约束力仍为FC。

最后要注意，若将各个分离体受力图（b）、（c）、（d）组装到一起，则成为系统整体；

此时FCB与F′CB，FBC与F′BC成为成对的内力，相互抵消，应当得到与整体受力图相同的结果。

正确画出的受力图，必须满足这一点。

例2.6试画出图2.19所示梁AB及BC的受力图。

对于由AB和BC梁组成的结构系统整体图2.19（a），承受的外载荷是AB梁上的均匀分布载荷q和BC段上的集中力F。

A端的约束是固定端约束，其二个反力和一个反力偶分别用FAx、FAy和MA表示，方向假设如图。

C端为滚动支座，约束反力FC的作用线垂直于支承面且通过铰链C的中心。

梁AB的受力如图2.19（b）所示。

梁上作用着分布载荷q。

固定端A处约束力的表示应与图2.19（a）一致，即有FAx、FAy和MA。

B处中间铰约束反力用FBx和FBy表示。

图2.19（c）中梁BC受外力F作用，依据图2.19（b），由作用力与反作用力关系可将B处中间铰对梁BC的约束力表示为F'

Bx和F'

By。

C处约束力即图2.19（a）中的FC。

综上所述，可将正确画出受力图的一般步骤归纳为：

1）选取研究对象。

所选取的研究对象可以是单个物体，可以是若干相邻物体组成的系统，也可以是系统整体。

解除周围物体对研究对象的约束，将研究对象分离出来，画

出其轮廓图形。

2）画出研究对象所受到的全部力（包括力偶），应考虑：

已知外力：

包括问题中给出的已知力、力偶以及需要考虑的体积力。

约束力：

逐一考察将研究对象从物体系统中分离出来所必须解除的约束处的约束力，约束力应按前述的约束性质、类型的分析来表示；

或依据约束所能限制的运动分析确定，切忌想当然。

包含在研究对象内不必解除的约束，不画约束力。

3）注意不考虑自重且只在二点受力的物体，判断是否二力杆。

4）注意作用力与反作用力的关系。

若约束力指向待定，则当其中之一假设了指向之后，互相作用的另一个物体上的力，必须按照作用力与反作用力关系画出。

5）注意各构件受力图与整体受力图中同一约束处反力的一致性，不可有相互矛盾的指向假设。

2.5平面力系的平衡条件

选取研究对象，解除其约束，画出受力图之后，就得到了该研究对象的一个力学模型。

这一模型中，重要的不是研究对象的形状、尺寸等，而是作用在物体（在此先将其视为刚体）上的一个力系。

若力系中各力和力偶都在同一平面内，则力系称为平面力系。

下面研究平面力系的简化及其平衡条件。

2.5.1力的平移与力对点之矩

若力系中各力均汇交于一点，即可求其合力，或者说不难将该力系简化；

但平面力系中各力一般并不汇交于一点。

那么，能否将一个力平行地移到另一点呢？

回答如果是肯定的，则可以方便地讨论平面力系的简化，进而研究其平衡条件了。

1.力的平移定理

作用在刚体上力的F，可以平移到其上任一点，但必须同时附加一力偶，力偶之矩等于力F对平移点之矩。

如图2.20所示，要将力F平移至O点，可在O点加一对平衡力（F′，F'

′），使F′平行于F，且F'

=F'

′=F。

由于在刚体上加上一对平衡力，并不改变原来的力或力系的作用效果，故变换是等效的。

因为（F，F'

'

）组成一力偶，则原来的力F就等效地变换成为作用在o点的