/（X）eC[Ci,可，m"Kb—a>性质6（积分中值定理）
.b
/（X）€=>3^g[f/（x）dx=/（§）（A-a}.
J证/（x）eC[a,b]3加Mj加M/（*）mM
b>—_>Jy（X）dxmJMdx====A/Jdx==A/{b—a\即：
J"/（x）dxMM（h-a）,同理可证:
m（b-a）^J*/（x）dx.
=>m（b—a）Mf/（jf）dxMM（h-a）.Ja
••・mSCf（x）dxVM,
b—a）u
由闭区间上连续函数的介值定理知,
1,
使/（^）=f/（x）dx,
b—a几
J
ft
/（x）dx=/（G（*-a）.
几何意义：
可用矩形面积取代曲变形面积
19
积分中值公式的几何解释：
在区间上至少存在一个点使得以区间方］为底边，以曲线y=/（X）为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为/（§）的一个矩形的面积.
一般称I/（x）dx为连续函数/（X）在la.b]
b-aJa
例1比较积分与J」n（l+”）肛的大小.
思路：
被积函数比大小.
解令/（X）=X-ln（l+X）,
则/7x）=1-丄=X>0,X0,
1+X1+X
于是/（工）单调增加，/./（x）>/（«）=»,
X>111（1+X）,X>0•
于是fxdx>fln（l+x）dx・
J0Jo
2-2X
例2证明下列不等式：
一<[=-
思路:
5J]XZ+
被积函数求最值.
X
/（小2r
X+1
即/（X）单调下降,
1_X*则/7x）=<（）,1（厂+1）2
所以/nUn=/
（2）=二，/„«x
3
即-<八兀）<丄，于是:
dx*
525J'*2+12
ff
例3估计积分套
4
XcosX
厂（尢）=2
X
一sinXcosx（x-tanx）
V0,
X•
7t7C
/⑴在SQ上单调下降,
7C
7C
M=/（-）=
4
兀
丁b—a=—
244
2nf7sinX■
2VI
1-vsinX■
•卫严
VI
2
例4设7*（X）可导，且lim/（X）=1,
X->+g*x+23
求liiiif（sin一/（rW•
x->+0O
nsJx/
解由积分中值定理矩有［兀，X十2］,
…33
使Lrsin=^sin-/（^）（x+2-x）.
limsin—/（/）rf/=2limgsin彳/（§）
r—>+ODJ*（+00g
=2lim3/（G=6.
例5设/（工）在［0,1］上可微，且满足/（!
）=2jjxf（x}^x,试证：
存在€（0,1）,使/，（?
）=一上空・
§
思路：
化为罗尔定理（构造函数）.
证设F（x）=xf（x）.
=>F（l）=/（!
）=2j"x/（x）dx=2j；F（x）dx,
g）在［0,1］上连续，由积分中值定理，吩（0,-）.使
F⑴二2j：
F（x）cU=2-■/'（;?
）=F（7）,
即f
（1）=F（77）,F'（x）=/（xHxf（X）.
在［tj,11±对F（a:
）应用罗尔定理，
3歹e（",l）u（UJ）,使F7^）=0.
即/（G+"'（G=o,
而歹＞0,即有/'（G=-上尹
证毕.
27
-/（r>0
J"（小2"曲边梯形的面积的负值
几何意义:
它是介于X轴.函数/（X）的图形及两条
直线X=b之间的各部分面积的代数和.
在X轴上方的面积取正号！
在X轴下方的面
积取负号.
29
例2・利用定积分的几何意义，说明下列等式:
XX
J7sinxdx=0;
2
1・J7cosxdx=2J2cosxdx~y
2.「Jl-xQx=乞
Jo4
由1得：
偶函数在对称区间的积分等于0;
偶函数在对称区间的积分等于它在半区间积分的两倍口诀：
偶倍奇零
由2得：
L（4-（X一2）2dx=2兀・
1.定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
2.典型问题
（1）估计积分值；
（2）不计算定积分比较积分大小.
*思考题
定积分性质中指出，若/（x）,g（x）ma,6]上都可积，则/（-V）+g（x）或/（Eg（工）在[4,0]上也可积.这一性质之逆成立吗？
为什么？
思考题解答
由/（X）+g（x）或八X）g（«r）在［a,0］上可积，不能断言/（x）,g（x）在上都可积。
练习题
显然f（x）+g（x）和/（x）g（jr）在［0,11上可积，但f（x）,g（x）在［0,1］上都不可积•
一、填空题：
1、如果积分区间［a」］被点分成［«,门与［<：
力］,则
定积分的可加性为1/（xMx=;
2、如果/（X）在上的最大值与最小值分别为
M与加，Wj：
/（x）必有如下估计式：
3、当U>b时，我们规定必与厶的关
系是;
4、积分中值公式
［八xbir=八6）"一a）MM巧的几何意义是
5、下列两积分的大小关系是：
（1）JX^dxJX^dx
（2）JInxdxf（Inx）^dx
（X+1）u
（3）£e'^dx
二、证明：
JkJ{x}dx=A:
Jf{x}dx（k是常数）.
三、估计下列积分上巨口“cotxdx的值・
J
四、证明不等式*J：
厶+皿2VI.
六、用定积分定义和性质求极限:
1.lim（++.«+一
"-*•«+1n+22n
2.limJ*sin"xdx.
七、设/'（X）及g（JC）在［M,方］上连续，证明；
1.
0,
若在［］-t/（x）■（）;
2.若在［a,/>］_h,/（X）^（），且/'（JT）不恒等于<>t则Jfixjdx>05
3.若在［a,Z»］_h/（x）g{x）,且
Jf（x）dx=£^（X）dlr,则在［a,b］_t/（x）■（x）,
4、
5、
2、
练习题答案
J/（X+J/（x）dr；
in（h-a}Jf（X）dxSM{h-a}（1）>:
（2）>；（3）>.
打•、$2
—I1Xarctanxdx—n；
9$3
1dx3
—SFWarcsin—
2Jo』4一2x-x'+x'5
练习:
P245习题六
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