人教版七年级数学下册教案第八章二元一次方程组.docx
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人教版七年级数学下册教案第八章二元一次方程组
8．1 二元一次方程组
1．了解二元一次方程（组）及其解的定义；（重点）
2．会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．（难点）
一、情境导入
小红到邮局寄挂号信，需要邮费3元8角．小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种票额的邮票？
这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？
如果设需要票额为6角的邮票x张，需要票额为8角的邮票y张，你能列出方程吗？
二、合作探究
探究点一：
二元一次方程及其解的定义
【类型一】利用二元一次方程的定义求参数的值
已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．
解析：
根据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，即可求得m、n的值．根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.故填0.
方法总结：
二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数的项的最高次数均为一次；（3）方程是整式方程．
【类型二】二元一次方程的解
已知
是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是（ ）
A．1B．3C．－3D．－1
解析：
将
代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.故选A.
方法总结：
根据方程的解的定义知，将x，y的值代入方程中，方程左右两边相等，即可求解．
探究点二：
二元一次方程组及其解的定义
【类型一】识别二元一次方程组
有下列方程组：
①
②
③
④
⑤
其中二元一次方程组有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：
①方程组中第一个方程含未知数的项xy的次数不是1；②方程组中第二个方程不是整式方程；③方程组中共有3个未知数．只有④⑤满足，其中⑤方程组中的π是常数．故选B.
方法总结：
识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：
一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.
【类型二】利用二元一次方程组的解求参数的值
甲、乙两人共同解方程组
由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为
乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
试计算a2014＋（－
b）2015的值．
解析：
由方程组解的定义知：
甲看错了方程①中的a得到方程组的解为
说明
是方程②的解；同样
是方程①的解．
解：
把
代入②，得－12＋b＝－2，所以b＝10.把
代入①，得5a＋20＝15，所以a＝－1.所以a2014＋（－
b）2015＝（－1）2014＋（－
×10）2015＝1－1＝0.
方法总结：
利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．
探究点三：
列二元一次方程组
小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设他购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张，那么可列方程组（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
根据题意可得到两个相等关系：
（1）1元贺卡张数＋2元贺卡张数＝8（张）；
（2）1元贺卡钱数＋2元贺卡钱数＝10（元）．设他购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张，可列方程组为
故选D.
方法总结：
要判断哪个方程组符合题意，可从题目中找出两个相等关系，然后代入未知数，即可得到方程组，进而得到正确答案．
三、板书设计
二元一次方程组
通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解
8.1二元一次方程组
【教学目标】
1．认识二元一次方程和二元一次方程组.
2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.
【教学重点与难点】
1.理解二元一次方程组的解的意义.
2.求二元一次方程的正整数解.
【教学过程】
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
思考：
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？
设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
这两个条件可以用方程
x＋y＝22
2x＋y＝40
表示.
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22
2x＋y＝40
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
探究：
满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？
把它们填入表中.
x
y
上表中哪对x、y的值还满足方程②
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
例1
（1）方程（a＋2）x+（b-1）y=3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.
（2）方程x∣a∣–1+（a-2）y=2是二元一次方程，试求a的值.
例2 若方程x2m–1+5y3n–2=7是二元一次方程.求m、n的值
例3 已知下列三对值：
x＝－6 x＝10 x＝10
y＝－9 y＝－6 y＝－1
（1）
哪几对数值使方程
x－y＝6的左、右两边的值相等？
（2）哪几对数值是方程组 的解？
例4 求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
课堂小结
作业布置
8.1.1 二元一次方程组
（1）
教学目标1.能说出二元一次方程，二元一次方程组和它的解的概念；2.会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程，二元一次方程组的解。
3.通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型，能设两个未知数并列方程（组）表示实际问题中的两种相关的等量关系。
4.通过对本课知识的探究与应用，提高学生的逻辑思维能力和分析，解决问题的能力。
重点：
二元一次方程，二元一次方程组及它的解的含义，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程（组）的解。
难点：
理解二元一次方程组的解。
教学过程
一、创设情境，引入课题
世界篮坛的神话，林书豪！
机会总会垂青于有准备的人。
只要你坚持，只要你自信，每个人都会创造属于自已，属于世界的奇迹。
提出问题：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。
某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
（1）你会用已经学过的一元一次方程解决这个问题吗？
（2）在上面的问题中，要求的是两个未知数，能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？
二、目标导学,探索新知
目标导学1：
掌握二元一次方程和二元一次方程组的概念
活动1引导学生设两个未知数，列方程：
设胜的场数是x，负的场数是y，则有：
x+y=22
（1）2x+y=40
（2）
思考
（1）它与你学过的一元一次方程比较有什么区别?
（2）上述两个方程有何共同点？
共同点：
未知数的个数都是2；2：
含有未知数的项最高次数是1次；3：
含有未知数的项是整式而不是分式（即分母不含有未知数）
（3）你能给它取名吗?
（4）你能给它下一个定义吗?
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？
并说明理由。
（1）2x+5y=10
（2）2x+y+z=1（3）x2+y=20
（4）2x+1=0（5）（6）2x+10xy=0
在上面的方程x+y=22和2x+y=40中,X，Y的含义分别相同吗?
X,Y的含义分别相同.因而X,Y必须同时满足方程x+y=22和2x+y=40把它们联立起来,得{x+y=222x+y=40
结论：
像这样把含有两个相同未知数的二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。
判断下列方程组哪些是二元一次方程组？
一元一次方程与二元一次方程组的对比表
学习目标2：
掌握二元一次方程组的解
活动2
满足方程x+y=22①且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？
在一元一次方程中使方程两边的值相等的未知数的值叫一元一次方程的解，故可类推出使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
抛开实际意义，二元一次方程有无数个解.
发现x＝18,y＝4是这两个方程的公共解，
，把x＝18,y＝4叫做二元一次方程组的解，这个解通常记作
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
二元一次方程组有且只有一组解。
你能告诉大家如何检验它们的解吗？
答：
判断一对数是不是方程组的解,应把这对数值代入方程组里的每个方程，同时满足所有方程的一对未知数的值才是方程组的解.
学习目标3：
利用二元一次方程组解实际问题
著名的“鸡兔同笼”问题：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
”
解：
设鸡有x只，兔y只，根据题意，得
三、巩固训练，熟练技能
1．下列方程中，是二元一次方程的是（）
A．3x－2y=4zB．6xy+9=0
C．
+4y=6D．4x=
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
A．
3．二元一次方程5a－11b=21（）
A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解
4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）
A．
5．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）
①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③
+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2
⑥6x－2y⑦x+y+z=1⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1B．2C．3D．4
6.若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．
7．已知
是方程x－ky=1的解，那么k=_______．
8．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
9．以
为解的一个二元一次方程是_________．
10．已知
的解，则m=_______，n=______．
四、归纳总结，板书设计
1.方程方程中含有两个未知数（x和y）,并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2.把两个一次方程合在一起后共有两个未知数，就组成了一个二元一次方程组。
3.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
4.一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5.二元一次方程有无穷多个解；二元一次方程组有且只有一组解。
五、课后作业，目标检测
见本教辅同步内容
【教学备注】
【教学提示】给学生时间独立解决此问题，教师巡视对个别同学进行指导.
【教学提示】针对学生列出的这两个方程，提出问题。
【教学提示】合情推理，顺势引，得出结论。
【教学提示】学生独立思考，然后再分组交流，教师深入小组，参与活动，关注、学生能否理解概念，并紧扣概念解决问题。
【教学提示】根据一元一次方程的解的概念类比出二元一次方程的解的概念。
【教学提示】根据一元一次方程的解检验方法类推出二元一次方程的检验方法。
【教学提示】可根据解一元一次方程实际问题的步骤来解决二元一次方程组的实际问题。
【教学提示】学生练习，老师巡视，个别指导。
教学反思
“二元一次方程组”概念教学是“二元一次方程组”一章中较重要的知识，它承接了二元一次方程组，又是以后代数学习的基础。
本节课我设计了三个教学内容:
一认识二元一次方程和二元一次方程组；二知道二元一次方程和二元一次方程组的解的概念；三会判段一组数是不是二元一次方程和二元一次方程组的解，也是本节课的教学重点。
教学流程是：
组织上课、回忆旧知、导入新课、讲解新课（主要是学生讲）教师点评，小测。
通过本节课的教学，使学生认识二元一次方程组，能够分享不同类型的方程。
教学后发现，绝大部分学生能掌握二元一次方程组的概念，对变式的、复杂一点的二元一次方程组，需要进一步强调。
有一部分学生的积极性还没有课堂上没有顾及到全体学生，虽然有大部分学生都参与到了教学过程当中，但调动起来，他们还没有真正完全的参与到教学当中。
我要学会因材施教，教学能容要以课本为依据，瞄准大多数学生，让学生们在低的起点下也能很好的完成知识的掌握。
8．2 消元——解二元一次方程组
第1课时 代入法
会用代入法解二元一次方程组．（重点）
一、情境导入
《一千零一夜》中有这样一段文字：
有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上．树上的一只鸽子对地上的鸽子说：
“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多．”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？
我们可以设树上有x只鸽子，地上有y只鸽子，得到方程组
可是这个方程组怎么解呢？
有几种解法？
二、合作探究
探究点：
用代入法解二元一次方程组
【类型一】用代入法解二元一次方程组
用代入法解下列方程组：
（1）
（2）
解析：
对于方程组
（1），比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组
（2），应将方程组变形为
观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x＝
.
解：
（1）由②，得x＝1－5y.③
把③代入①，得2（1－5y）＋3y＝－19，
2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.
把y＝3代入③，得x＝－14.
所以原方程组的解是
（2）将原方程组整理，得
由③，得x＝
.⑤
把⑤代入④，得2（3y＋1）－3y＝－5，
3y＝－7，y＝－
.
把y＝－
代入⑤，得x＝－3.
所以原方程组的解是
方法总结：
用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
【类型二】整体代入法解二元一次方程组
解方程组：
解析：
把（x＋1）看作一个整体代入求解．
解：
由①，得x＋1＝6y.把x＋1＝6y代入②，得2×6y－y＝11.解得y＝1.把y＝1代入①，得
＝2×1，x＝5.所以原方程组的解为
方法总结：
当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．
【类型三】已知方程组的解，用代入法求待定系数的值
已知
是二元一次方程组
的解，则a－b的值为（ ）
A．1B．－1C．2D．3
解析：
把解代入原方程组得
解得
所以a－b＝－1.故选B.
方法总结：
解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
三、板书设计
解二元一,次方程组）
回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力
第1课时代入法
【教学目标】
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.
3．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.
【教学重点与难点】
1.重点：
用代入消元法解二元一次方程组.
2.难点：
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
【教学过程】
复习提问：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到38分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解：
设这个队胜x场，根据题意得
解得
x＝18
则 20－x＝2
答：
这个队胜18场，负2场.
新课：
在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，
设胜的场数是x，负的场数是y，
x＋y＝20
2x＋y＝38
那么怎样求解二元一次方程组呢？
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝20说明y＝20－x，将第2个方程
2x＋y＝38的y换为20－x，这个方程就化为一元一次方程
.
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
归纳：
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
例1 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
（1）2x－y＝3
（2）3x＋y－1＝0
例2 用代入法解方程组
x－y＝3 ①
3x－8y＝14 ②
例3 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2:
5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把
（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入
（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
课堂小结
作业布置
8.2 代入消元法
教学目标
1、会用代入法解二元一次方程组。
2、初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”。
3、通过对方程中未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和体会化归的思想。
重点：
代入消元法解简单的二元一次方程组；
难点：
体会解二元一次方程组的思路是“消元；
教学过程
一、创设情境，引入课题
根据篮球比赛规则:
赢一场得2分,输一场得1分.在某次篮球联赛中,七
（1）班,打完22场比赛后积40分,问该球队赢了多少场?
输了多少场?
二、目标导学,探索新知
目标导学1：
掌握代入消元法的解题步骤
问题1 你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？
问题2 这个实际问题能列一元一次方程求解吗？
解：
设胜x场，则负（22－x）场．
2x+（22－x）=40．
问题3 对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？
活动1把下列方程改写成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式：
消元思想：
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想叫做.
代入消元法：
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
变：
1、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
代：
2、用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
求：
3、把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；
写：
4、写出方程组的解。
学习目标2：
利用代入消元法解题
1.用代入法解下列二元一次方程组
三、巩固训练，熟练技能
1.用代入法解方程组
先把方程-
（1）--变为-----------，在代入方程------，求得------的值，然后再求-------的值。
2.用代入法解下列方程
3.已知方程组
，的解使等式2x+y=1成立，求a的值？
4.已知
=0，求x，y的值？
四、归纳总结，板书设计
五、课后作业，目标检测
见本教辅同步内容
【教学备注】
逐步探究中规范解法，总结代入法的解题步骤。
【教学提示】在含有一个未知数的式子表示另一个未知数可先示范一例，其他学生完成。
【教学提示】根据上面的探究得出消元思想和代入消元法的解题步骤。
【教学提示】学生动手，老师启发引导即可。
要提醒学生注意解题规范。
【教学提示】老师引导学生根据二元一次方程组的定义得出相应的等量关系，得出二元一次方程组，再用代入法求解即可。
教学反思
通过用“代入法解二元一次方程组”这节课的教学，主要有以下几点反思:
1、对教材的分析要到位。
本课时的内容对于学生而言比较简单，解二元一次方程组的基本思想是消元。
但对于教师，面对这部分内容一定要做到通过对教材的分析去体会其中的数学本质，反过来结合数学本质去剖析教材内容，这样才能真正做到将数学知识传授给学生。
2、课堂上尽可能多给学生创造合作交流的机会。
由于本课的内容是纯计算问题，学习解方程组的方法，似乎没什么可让学生交流的机会，但是作为教师应尽可能地给学生创造交流机会，例如：
让几名学生上黑板板演，采用小组及个人纠错的方式，找出错误所在，加深印象等。
由此让我感觉到学生在学习过程中需要不断地启发，但启发的人不一定一直都是老师，而且学生的思路往往比老师的更好。
因此在教学过程中一定要有意识地多为学生创造这种合作交流的机会。
3、课堂教学中每一个学生的学习速度与接受能力是不同的，尤其在问题情境教学中，学生必然有一个摸索的过程，在这个过程中难免遇到许多困难，或多或少会走一些弯路，在这个时候，教师的态度非常重要，教师若以亲切和蔼的话语鼓励赞许的目光面对学生，就能创设一个平等和谐的学习氛围，从而给学生无穷的探究热情，激发整个探究过程，否则就会扼杀学生的探究意愿。
因此，在今后课堂教学中还要善于关注学生的个性差异，尊重不同形式在知识、能力、兴趣等方面的需要，有针对性的设计不同层次、不同类型的问题，使学生都有机会参与的教学活动中去，让他们自己有主人翁的感觉，切实与其他同学真诚合作，体验完成一项活动任务的成功喜悦。
让他们都能在学习过程中有所收获的。
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