北师大版数学八年级上册第五章二元一次方程组.docx
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北师大版数学八年级上册第五章二元一次方程组
第五章 二元一次方程组
5．1 认识二元一次方程组
1．通过对实际问题的分析，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型．
2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．（重点）
阅读课本P103～105，完成预习内容．
（一）知识探究
1．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
2．共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
3．适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
4．二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
5．二元一次方程有无穷多个解；二元一次方程组有且只有一组解．
（二）自学反馈
1．哪些是二元一次方程？
为什么？
（1）x2＋y＝20；
（2）2x＋5＝10； （3）2a＋3b＝1；
（4）x2＋2x＋1＝0； （5）2x＋y＋z＝1.
解：
（3）是二元一次方程，理由略．
判定二元一次方程的标准有两点：
（1）方程含有两个未知数；
（2）每个未知数的指数都是1.
2．哪些是二元一次方程组？
为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
（1）、（3）是二元一次方程组，理由略．
方程组（3）也是二元一次方程组——只要两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们就组成一个二元一次方程组．
活动1 小组讨论
例1 在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：
“累死我了”，小马说：
“你还累，这么大的个，才比我多驮了2个．”老牛气不过地说：
“哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！
”小马天真而不信地说：
“真的？
！
”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
解：
设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹．老牛驮的包裹数比小马驮的多2个，由此得方程x－y＝2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：
x＋1＝2（y－1）．
例2 昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票花了34元．每张成人票5元，每张儿童票3元．那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？
同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？
解：
设他们中有x个成年人，y个儿童．我们可以得到方程x＋y＝8和5x＋3y＝34.
我们把这两个方程用大括号联立起来，写成
从而得出二元一次方程组的概念：
像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．注意：
在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象．
例3
（1）x＝6，y＝2适合方程x＋y＝8吗？
x＝5，y＝3呢？
x＝4，y＝4呢？
解：
x＝6,y＝2是方程x＋y＝8的一个解，记作
x＝5，y＝3是方程x＋y＝8的一个解，记作
x＝4，y＝4是方程x＋y＝8的一个解，记作
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解．
（2）x＝5，y＝3适合方程5x＋3y＝34吗？
x＝2，y＝8呢？
解：
x＝5，y＝3适合方程5x＋3y＝34，记作
x＝2，y＝8适合方程5x＋3y＝34，记作
（3）你能找到一组x，y值，同时适合方程x＋y＝8和5x＋3y＝34吗？
解：
是方程x＋y＝8的一个解，同时
又是方程5x＋3y＝34的一个解．所以
就是二元一次方程组
的解．
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
活动2 跟踪训练
1．下列各组数中，不是x＋y＝5的解的是（B）
A.
B.
C.
D.
2．在方程组
中，是二元一次方程组的有（A）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．下列各组数是二元一次方程组
的解的是（A）
A.
B.
C.
D.
4．如图，设他们中有x个成人，y个儿童，根据图中的对话可得方程组（C）
A.
B.
C.
D.
5．若方程xm－1－3yn＋1＝5是关于x、y的二元一次方程，则m＋n＝2．
6．已知方程组
是二元一次方程组，求2m＋4n的值．
解：
根据二元一次方程组的概念，可知
－2＝1，2n＋m＝1，m＋1≠0.由
－2＝1，解得m＝5或m＝－1.因为当m＝5时，m＋1＝5＋1＝6≠0；当m＝－1时，m＋1＝（－1）＋1＝0，所以m＝5.把m＝5代入2n＋m＝1中，解得n＝－2.所以2m＋4n＝2×5＋4×（－2）＝2.
活动3 课堂小结
二元一次方程（组）相关概念
5．2 求解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
1．会用代入消元法解二元一次方程组．（重难点）
2．了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．
阅读课本P108～109，完成预习内容：
自学反馈
1．方程5x－3y＝7，变形可得x＝
，y＝
．
2．解方程组
应消去y，把①代入②，方程组的解是
_．
活动1 小组讨论
例1 解方程组：
解：
将②代入①，得3（y＋3）＋2y＝14，
解得：
y＝1.
将y＝1代入②，得x＝4.
所以原方程组的解是
上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”．已知其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解．
例2 解方程组：
解：
由②，得x＝13－4y.③
将③代入①，得2（13－4y）＋3y＝16，
解得y＝2.
将y＝2代入③，得x＝5.
所以原方程组的解是
1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法．
2．代入消元法的关键是用含一个未知数的代数式表示另一未知数．
活动2 跟踪训练
用代入消元法解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
活动3 课堂小结
学生试述：
今天我们学习了二元一次方程组的解法——代入消元法，你有什么体会？
第2课时 加减消元法
1．会用加减消元法解二元一次方程组．（重难点）
2．进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．
阅读课本P110～112，完成预习内容．
自学反馈
解方程组：
解：
方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据相反数的和为零将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的．这种方法叫加减消元法．
活动1 小组讨论
例1 解方程组：
分析：
观察到方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
解：
②－①，得8y＝－8.解得y＝－1.
把y＝－1代入①，得2x＋5＝7.解得x＝1.
所以方程组的解为
例2 解方程组：
解：
①×3，得6x＋9y＝36.③
②×2，得6x＋8y＝34.④
③－④，得y＝2.
把y＝2代入①，得x＝3.
所以原方程组的解是
1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．
2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
（1）变形——找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数；
（2）加减消元，得到一个一元一次方程；
（3）解一元一次方程；
（4）把求出的未知数的值代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．
活动2 跟踪训练
1．用加减法解方程组
时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形结果：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中变形正确的是（B）
A．
（1）
（2）B．（3）（4）C．
（1）（3）D．
（2）（4）
2．解方程组
时，用加减法消去y，需要（C）
A．①×2－②B．①×3－②×2
C．①×2＋②D．①×3＋②×2
3．用加减消元法解方程组
若先求出x的值，应先将两个方程相加；若先求出y的值，应先将两个方程相减．
4．用加减消元法解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
活动3 课堂小结
学生试述：
1.本节课主要学习了用加减法解二元一次方程组，到现在我们学习了哪些解二元一次方程组的方法？
2．用加减法解二元一次方程组的思路是什么？
你学到了什么数学思想？
3．具体是如何用加减法解二元一次方程组的？
在解题的过程中需要注意些什么？
5．3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
1．能分析简单问题中的数量关系，建立方程组解决问题．（重难点）
2．经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识．
阅读课本P115～116，回答下列内容．
自学反馈
今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何？
（1）“上有三十五头”的意思是什么？
“下有九十四足”呢？
（2）你能根据
（1）中的数量关系列出方程组吗？
（3）你能解决这个有趣的问题吗？
解：
（1）“上有三十五头”的意思是鸡和兔的头共有35个，“下有九十四足”的意思是鸡和兔的脚共有94只．
（2）设有x只鸡，y只兔，依题意，得
（3）能．
当题中含有多个等量关系时，列方程组可降低思维难度．但一般情况是一个相等关系只能用一次．
活动1 小组讨论
例 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？
题目大意是：
用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是几尺？
解：
设绳长x尺，井深y尺，则
①－②，得
－
＝4，
＝4，x＝48，
将x＝48代入①，得y＝11.
所以绳长48尺，井深11尺．
总结列二元一次方程组解应用题的步骤：
（1）审清题意，设未知数；
（2）弄清各个量之间的关系，找出等量关系；
（3）列出方程，联立方程，得二元一次方程组；
（4）解二元一次方程组；
（5）作答．
活动2 跟踪训练
1．《一千零一夜》中有这样一段文字记载：
有一群鸽子，其中一部分在树上唱歌，另一部分在地上觅食，树上的鸽子对地面上的鸽子说：
“若从你们中飞上来1只，则地上的鸽子数是整群鸽子数的
；若从树上飞下去1只，则地上、树上的鸽子一样多．”你知道原来树上、地上各有多少只鸽子吗？
解：
设原来树上有x只鸽子，地上有y只鸽子．依题意，得
解得
答：
树上有7只鸽子，地上有5只鸽子．
2．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算术题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？
如果译成白话文，其意思是：
有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？
解：
设大和尚有x人，小和尚有y人．根据题意，得
解得
所以，大和尚有25人，小和尚有75人．
活动3 课堂小结
学生试述：
今天学到了什么？
5．4 应用二元一次方程组——增收节支
1．能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题．（重难点）
2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识．
阅读课本P117～118，完成预习内容．
自学反馈
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总收入、总支出各是多少万元？
我们可以注意到这个例子中蕴涵的数量关系比较复杂，我们是否可以用列表的形式将今年和去年的总支出和总收入列表进行对比，从而使它们的关系一目了然．
设去年的总收入是x万元，总支出是y万元，根据题意，填充下面表格：
总收入/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
x
y
200
今年
（1＋20%）x
（1－10%）y
780
根据上表，可以列出方程组
，
解得
．
因此，去年的总收入是2_000万元，总支出是1_800万元．
活动1 小组讨论
例 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
分析：
找出等量关系．
每餐甲原料中含蛋白质量＝0.5×每餐甲原料的质量，
每餐乙原料中含蛋白质量＝0.7×每餐乙原料的质量，
每餐甲原料中含铁质量＝1×每餐甲原料的质量，
每餐乙原料中含铁质量＝0.4×每餐乙原料的质量，
由于相等关系中的数量关系复杂，所以可以选取用列表格的方法来表示各数量之间的关系，有利于根据相等关系列方程．
甲原料x克
乙原料y克
所配制的营养品
其中含蛋白质量
0.5x
0.7y
0.5x＋0.7y
其中含铁质量
x
0.4y
x＋0.4y
解：
设每餐需甲原料xg、乙原料yg，根据题意，得
化简，得
①－②，得5y＝150,y＝30.
将y＝30代入①，得x＝28.
所以每餐需甲原料28g，乙原料30g.
活动2 跟踪训练
1．一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班学生的体育达标率为75%，那么一、二两班各有多少名学生？
设一、二两班分别有学生x名、y名，填写下表并求出x，y的值．
一班
二班
两班总和
学生人数
x
y
100
达标学生人数
87.5%x
75%y
81%（x＋y）
解：
根据上表可列出方程组
解得
答：
一、二两班各有48名、52名学生．
2．甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇．甲、乙两人的速度各是多少？
设甲、乙两人的速度分别是xkm/h、ykm/h，填写下表并求x，y的值．
甲行走的路程
乙行走
的路程
甲、乙两人行走的路程之和
第一种情况
（甲先走2h）
（2＋2.5）x
2.5y
（2＋2.5）x＋2.5y
第二种情况
（乙先走2h）
3x
（2＋3）y
3x＋（2＋3）y
解：
根据上表可列出方程组
解得
答：
甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h.
活动3 课堂小结
学生试述：
今天学到了什么？
5．5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
1．能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题．
2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会模型思想，发展应用意识．
3．归纳列方程组解决实际问题的一般步骤．
阅读课本P120～121，完成预习内容．
（一）知识探究
1．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为10b＋a；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为10a＋b．
2．一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为100y＋x．
3．有两个两位数a和b，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为100a＋b；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为100b＋a．
（二）自学反馈
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下面是小明每隔1h看到的里程情况．你能确定小明在12：
00时看到的里程碑上的数吗？
12：
00时，是一个两位数，它的两个数字之和为7.
13：
00时，十位与个位数字与12：
00时所看到的正好互换了．
14：
00时，比12：
00时看到的两位数中间多了个0.
如果设小明在12：
00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
（1）12：
00时小明看到的数可表示为10x＋y，
根据两个数字和是7，可列出方程x＋y＝7；
（2）13：
00时小明看到的数可表示为10y＋x，
12：
00～13：
00间摩托车行驶的路程是（10y＋x）－（10x＋y）；
（3）14：
00时小明看到的数可表示为100x＋y，
13：
00～14：
00间摩托车行驶的路程是（100x＋y）－（10y＋x）；
（4）12：
00～13：
00与13：
00～14：
00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？
你能列出相应的方程吗？
解：
相等，可列方程（10y＋x）－（10x＋y）＝（100x＋y）－（10y＋x）．
活动1 小组讨论
例 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
分析：
设较大的两位数为x，较小的两位数为y.
在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x＋y；
在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为100y＋x.
解：
设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意，得
化简，得
即
解得
所以这两个两位数分别是45和23.
在解决具体问题时，不一定直接设未知数，间接设未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段．
活动2 跟踪训练
1．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（A）
A．16B．25C．52D．61
2．学校到县城有28千米，全程需1小时，除乘汽车外，还需要步行一段路，已知汽车的速度为36千米/时，人步行的速度为4千米/时，则步行用了（C）
A．13分钟B．14分钟C．15分钟D．16分钟
3．已知某桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共有1分钟，整列火车在桥上的时间为40秒．设火车的速度为每秒x米，车长为y米，所列方程正确的是（B）
A.
B.
C.
D.
4．请根据下列诗意列方程组解应用题．
（1）周瑜寿属：
而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：
周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数；
（2）悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少请算清．（提示：
1里＝500米，1千里＝500千米）
解：
（1）设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，
根据题意，得
解得
.
答：
这个两位数是36.
（2）设风速为x千米/分钟，悟空的速度为y千米/分钟．
由题意，得
解得
答：
风速为25千米/分钟．
活动3 课堂小结
今天学到了什么？
5．6 二元一次方程与一次函数
1．体会二元一次方程与一次函数的关系．
2．能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，发展几何直观．（重点）
阅读课本P123～124，完成预习内容．
（一）知识探究
（1）一次函数与二元一次方程的关系：
①方程x＋y＝2可化为y＝－x＋2；
②直线y＝2－x上的任意一点的坐标（x，y）都是方程x＋y＝2的解；
③任何一个二元一次方程都可以化为一次函数的形式．
（2）一次函数与二元一次方程组的关系：
①方程5x－y＝20可以化为y＝5x－20，方程5x＋y＝120可以化为y＝－5x＋120；
②如图，直线y＝5x－20与直线y＝－5x＋120的交点坐标为（m，n），则m，n符合方程组
_；
③解关于x、y的方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当x为何值时，两个函数的值相等以及y为多少；从“形”的角度看，相当于确定两条直线y＝kx＋b与y＝mx＋n的交点．
（二）自学反馈
1．点（2，3）在一次函数y＝2x－1的图象上；x＝2，y＝3是方程2x－y＝1的一组解．
2．若方程组
的解为
则直线y＝－x＋a与y＝x－b的交点坐标为（11，4）．
活动1 小组讨论
例1 在同一直角坐标系内分别画出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，这两个图象有交点吗？
交点的坐标与方程组的解有什么关系？
解：
如图所示．
一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象的交点为（2，3），而
就是方程组
的解．
求二元一次方程组的解实质是求组成方程组的两个方程的公共解，也可以看作是求两条直线的交点坐标．
例2 在同一直角坐标系内，一次函数y＝x＋1和y＝x－2的图象（如图）有怎样的位置关系？
方程组
解的情况如何？
你发现了什么？
解：
一次函数y＝x＋1和y＝x－2的图象平行，方程组
无解．
二元一次方程组无解⇔一次函数的图象平行（无交点）
二元一次方程组有一解⇔一次函数的图象相交（有一个交点）
二元一次方程组有无数个解⇔一次函数的图象重合（有无数个交点）
活动2 跟踪训练
1．下列图象中每条直线上的点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解是（C）
A B C D
2．若直线y＝3x＋6与y＝2x－4的交点坐标为（a，b），则
是下列哪组方程组的解（D）
A.
B.
C.
D.
3．如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组
的解是（C）
A.
B.
C.
D.
4．方程3x＋y＝10的解有无数个，请写出其中的两组解为答案不唯一，如：
_
；在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在（填“在”或“不在”）一次函数y＝－3x＋10的图象上．
5．一次函数y＝2x＋3与y＝2x－3的图象的位置关系是平行，即没有交点（填“有”或“没有”），由此可知
的解的情况是无解．
6．在同一坐标系中画出函数y＝2x＋1和y＝－2x＋1的图象，并利用图象写出二元一次方程组
的解．
解：
画图略．
活动3 课堂小结
今天学到了什么？
5．7 用二元一次方程组确定一次函数的表达式
1．进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化．
2．了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式．（重难点）
阅读课本P126～127，完成预习内容．
（一）知识探究
归纳：
一次函数表达
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