小波理论基础上的NVH分析与计算.docx

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小波理论基础上的NVH分析与计算

基于哈尔小波的降低汽车发动机体振动的最优控制

摘要：

本文运用哈尔小波讨论了发动机体系统振动的建模和弹跳俯仰振动的最优控制。

作者重点集中在基于哈尔小波的降低发动机体系统振动计算的发展上，保证获得理想的L2增益性能。

引入了哈尔小波的性能，并利用它近似找到降低振动的规律和最优控制，只需求解代数方程而不用求解Riccati微分方程。

数值结果用来说明该方法的优势。

关键字：

哈尔小波发动机体系统H∞控制减振

1.引言

近年来，汽车的噪声和振动变得越来越重要[22,25,31,32,37]。

发动机产生的振动通过动力总成装置传递给底盘成为一大问题（见图1，2）。

发动机和动力总成装置通常以隔离发动机和底盘、限制发动机运动为设计标准。

发动机装置是一个有效的被动方法来隔离发动机振动传到底盘的机构。

然而，用于隔离的被动方法只在高频率范围内有效。

可是，发动机产生的振动干扰主要发生在低频率范围[8,21,25,32]。

这些振动是由于汽缸内燃油爆燃和发动机不同部件的旋转产生的（如图3）。

为了衰减发动机的低频振动，同时保证空间和数值不变，主动减振方法是必须的。

有很多控制技术，诸如比例积分导数（PID）或滞后补偿、线性二次高斯（LQG）、H2、、H∞、u-综合前馈控制等，已经被应用于振动控制系统[1，3，4，10，11，15，26，28，33，34，36，37]。

前馈控制的主要特征是：

关于干扰源的信息是可利用的，通常通过过滤x-最小平方差FX-LMS算法来实现。

可是，在反馈控制中，干扰源是假定未知的，于是存在多种不同的反馈控制方案来衰减未知烦扰，从经典方法到先进方法。

近来，通过H∞反馈控制得到的性能结果和通过用FX-LMS算法的前馈控制器得到的结果相比较，在[32，37]汽车发动机体振动系统。

通过比较发现，反馈控制器实现了干扰衰减，然而，相比于运用FX-LMS算法的前馈控制器，反馈控制器性能要差些。

另一方面，FX-LMS算法比较复杂，包含许多参数用来稳定同步。

可是，最优控制设计还没有在汽车发动机体振动系统中完全研究，仍是重要和富有挑战性的。

另一方面，小波理论相对较新，在数学研究领域中是一个新兴领域[2]。

它被广泛应用于各种工程学科，诸如信号处理、模式识别和计算图形。

近来，也有些试图用于解决表面积分方程，改进有限微分方法，求解线性微分方程和非线性偏微分方程以及建模非线性半导体方程[5-7，13，16-18，23，29].最近，正在研究用于识别控制非线性动力学系统的小波网络的应用[19]。

图1汽车发动机及机体振动系统

图2奥迪A8的前桥，摘自[24,32]

图3由发动机产生的振动传递给底盘

正交函数，像哈尔小波[13,16]，Walsh方程[7],blockpulse方程[29]，Laguerre多项式[14]，legendry多项式[5]，Chebysher方程[12]和傅立叶级数[30]，通常用来代表任意时间方程，在处理各种动力学系统中，已经获得人们相当的关注。

这些技术的主要特征是将这些问题简化为求解系统的代数方程，用微分方程描述求解问题，诸如分析线性时不变系统[16,27]，奇异摄动系统[17]，二阶系统[18]，时变系统[20,23]，模型降阶，优化控制[16-18,20]和系统辨识[13,16]。

因此，求解识别和优化过程大大降低或简化很多。

这些可利用的正交函数可以分为3类：

分段基础函数，legendry诸如哈尔小波、Walsh方程和blackpulse方程，正交多项式，诸如，Laguerre、legendry、hebysher和傅立叶级数[23]中的正余弦函数。

在这方面，我们第一次引入基于哈尔小波的用于有限最优控制解决汽车发动机体振动系统问题的计算求解。

发动机体振动结构的数学模型表现为：

用于研究最优控制的作动器和传感器被选配。

此外，哈尔小波的性质、哈尔小波积分和productoperational矩阵被给予并应用提供一个系统计算框架。

汽车发动机体振动系统的最优trajectory?

和有限时间最优控制可以大概通过H∞性能获得，H∞性能通过求解线性代数方程而不是求解微分方程求得。

一个最主要的优点是：

求解线性代数方程替代求解非线性微分Riccati方程，来优化汽车发动机体振动系统的控制问题。

另一个优点是在现实应用中基于哈尔小波的优化控制可以简单完成。

我们通过模拟结果演示这项技术的应用。

本文章的结果安排如下：

第二部分引入哈尔小波的性质，第三部分陈述了发动机体振动结构的数学模型，第四部分给出了发动机体系统的代数解，第五部分描述了基于哈尔小波的最优方法和最优控制。

发动机体振动系统的最优控制的模拟结果在第六部分表示出来，最后讨论结果。

贯穿全文的批注都是相当标准的，矩阵Ir，Or和Or*s是一致的，以及分别用r*r,r*r,r*s表示零矩阵。

符号⊕和<…>分别表示Kronecker乘积和内积.同样，tr（A）、vec（x）分别表示矩阵A的TRACE和通过将矩阵M排成一列获得的向量。

最后，所给的符号x（t）,_x（t）_2表示x（t）的L2平均数等等，_x（t）_22=_∞0x（t）Tx（t）dt？

、.

2.哈尔小波的性质

最古老、最基本的小波系统命名为哈尔小波，它是一组方波，这些方波大小为±1，在[0，1]区间[6]内。

换句话说，哈尔小波是定义在区间[0,1）

ψi（t）=ψ1（2jt−k）当i≥1时ψ0（t）andψ1（t）

我们将i写成i=2j+k对于j≥0and0≤k<2j.可以轻易看出ψ0（t）和ψ1（t）紧紧支持。

它们由相对应的功能，在不同尺度j时给予局部描述。

在接下来，我们引入哈尔小波的性质，它会应用于下面的部分。

2.1函数逼近

用在区间为[0,1）的哈尔函数{ψ0（t）,ψ1（t）,...,ψm−1（t）}术语表示的任何平方可积函数y（t）的有限次逼近值，用ˆy（t）表述可如下给出：

其中a:

=[a0a1···am−1]

_m（t）:

=[ψ0（t）ψ1（t）···ψm−1（t）]Tm=2j

以及哈尔系数ai，它们可以确定最小化平方积分错率

记录1.逼近差值_y（m）:

=y（t）−ˆy（t）由m决定，增加解析参数m可以使之趋近于0.矩阵Hm定义为

其中i/m≤ti

运用等式

（2）我们可以得到

向量M的积分可由下式逼近得到：

矩阵

表示在区间[0,1），系数m表示分段常量基本功能的积分乘法矩阵。

对于哈尔小波，平方矩阵Pm满足下面的回归方程[13]

由（4）定义的矩阵Hm及向量r同样可由下式表示

其中m>2.例如，j=3时，矩阵H8和P8可分别表示为

更多信息见[13，27]。

2.2Theproductoperationalmatrix?

乘积操作矩阵？

估计两个哈尔函数向量[13,20]的乘积通常是必要的。

现定义

Rm（t）满足如下回归方程

有

和

更多的，我们需要如下性质来简化Theproductoperationalmatrix

其中a1=a0

图4发动机体振动系统结构

图5由在参数j=5时哈尔小波和解析解得到的底盘振动比较

3发动机体系统的数学模型

对于控制设计来说，一个发动机体系统的模型是必须的。

通过[37]，可以扩展出一个数学模型来模拟此系统。

图4表示一个图解形式的发动机体振动系统，用于这一控制系统的作动器和传感器选定被配置。

对于一个有轻微阻尼的结构，这是一种理想的布置，来保证这一闭环系统的稳定性[28]。

此外，该控制器可检测单频率信号，在某一特定频率可用来模拟发动机干扰。

在我们的研究中，只考虑发动机和机体的弹跳俯仰振动。

质量为Me、转动惯量为Ie的发动机，通过弹簧刚度为ke阻尼为ce悬置安装在机体上。

前装置为主动装置，可以通过电信号控制力的输出。

主动装置包括一个主缸，它的惯性质量上下变动，这个惯性质量由电磁力驱动，电磁力通过磁圈产生，由输入电流控制。

质量为Mb转动惯量为Ib的汽车车体由前后轮胎支撑，每一个部分作为一个包含弹簧刚度为kb阻尼为cb的系统。

这样，一个四自由度的振动悬架模型如图4，可以用如下等式描述：

x1（t）,x2（t）,x3（t）andx4（t）分别表示发动机及机体的弹跳和俯仰状态。

通常x2（t）作为输出。

输入力f（t）用来当作主动力补偿振动传递给汽车车体（或底盘）。

更多的，由内部不同部件上下运动产生的发动机干扰de（t）能被激发。

系统（14）可以由下面的状态空间形式表示：

其中，x（t）∈R4表示状态，f（t）∈R是控制输入。

de（t）∈R是干扰输入，它属于L2[0,∞）,z（t）∈R3是控制输出，C1∈R1*4,C2∈R1*4,C3为主动标尺。

状态空间矩阵也可定义为

本文中，必须满足下列条件，优化反馈控制器才能计算出：

1.闭环系统是渐近稳定的。

2.在零初始条件下，闭环系统满足_z（t）_2<γ_de（t）_2。

对于任何非零de（t）∈[0,∞）,r>0可精确标定。

4系统方程的代数解

在这一部分，我们研究发动机体系统的二阶微分方程的求解问题，运用哈尔小波和扩展适当的代数方程进行内部控制和外部干扰。

在区间为[0，1]的哈尔小波定义基础上，我们通过考虑t=Tfσ来重新调节有限时间区间[0,Tf）到[0,1），用时间范围来标准化系统如下：

在区间[0,σ]对系统积分可得

为了避免小波的差别，我们再一次在区间[0,σ）内对（17）积分如下

运用扩展的哈尔小波，我们可以表示方程（15）的解，输入力f（σ）和发动机干扰de（σ）用哈尔小波表示为

其中X∈R4*m,F∈R1*m,De∈R1*m分别代表x（σ）,f（σ）和de（σ）的系数。

x（0）and˙x（0）的初始条件可分别由x（0）=X0_m（σ）和x˙（0）=Xˉ0_m（σ）,矩阵{X0,Xˉ0}∈R4*m分别被定义为

这样，通过扩展小波，关系式（18）变为

而且，通过方程（6）中的小波积分operational矩阵Pm，我们可以这样重新写方程（24）为

等价的，我们有

为了计算矩阵X，我们在方程（26）中运用操作向量（.）。

根据Kronecker乘积的性质vec（ABC）=（CT⊗A）vec（B）,我们有

求解方程（27），导入向量（X）

其中矩阵『△1，△2』∈R4m*m,{△3,△4}∈R4m*4m这样定义

于是，运用（28）（29）和Kronecker乘积的性质，系统（15）的解可近似求解为

我们也可以清楚的找出系统的逼近解，我们只要反向通过4m*4m求解矩阵

Tf（PTm⊗C）+T2f（P2Tm⊗K）+Im⊗M一次即可。

5基于哈尔小波最优控制设计

控制的目标是运用H∞性能找到逼近的最优控制f（t）,这样f（t）可当作主动力来补偿传给车身（或底盘）的振动，保证预期的L2。

接下来，我们将在零初始条件下建立系统（15）的H∞性能。

最后，我们引入

众所周知，对于每一个de（t）∈L2[0,∞）来说，不等式J<0对达到干扰衰减[35,38]是一个充分条件。

因此，我们将根据

建立条件。

根据（15），方程（31）可表示为

其中S˜=diag（S1,S2）andC˜=diag（CT1C1,CT2C2）.用时间范围t=Tfσ标准化（33）有

运用方程（19）和关系式x˙（σ）=Xˉ_m（σ）,，其中Xˉ∈R4*m代表哈尔小波基本方程扩展后的x˙（σ）的小波系数，我们有

和

而且，根据[18]的记录2，在vec（X）和vec（Xˉ）中满足下面的关系

通过运用（34）方程的限定（35）和根据扩展小波（19）--（21），我们有

上面的cost方程也可以写成

其中，矩阵{Mm,Mmf}∈Rm*m分别定义为

记录2根据哈尔小波的性质和2.2部分哈尔小波乘积操作矩阵，矩阵Mm可由下面回归方程计算

，其中M1（t）=1

，其中ei=[01×（i−1）,1,01×（m−i）]fori=1,2,...,m.

利用Kronecker乘积的性质tr（ABC）=vecT（AT）（I⊗B）vec（C）,我们可以将（39）式写成

根据vec（ABC）=（CT⊗A）vec（B）的性质,我们发现

然后，由性质（A⊗C）（D⊗B）=AD⊗CB,我们得到

或

其中矩阵m1∈R8m*8m和m1∈Rm*m分别定义为m1=Mmf⊗S˜+Tf（Mm⊗C˜）m2=TfMm。

既然cost函数（43）是一个向量（De）的函数，为了找到最坏情况的干扰来最小化J，我们要满足下面的必要条件

方程（43）中最坏情况的干扰

将（45）带入方程（43），我们得到

类似的，方程（46）的右边变成一个vec（F）的函数，然后通过最小化方程（46）求vec（F），在次优控制和次优状态轨迹系数间的代数关系可获得如下

于是我们有

所以，如果对于矩阵不等式

存在主动范围,那么不等式（32）是可推出的。

从关系式（28）（29）（36）（47），我们在一些矩阵计算F0得到vec（X）和vec（F）的次优向量

最后，基于哈尔小波的次优轨道？

和次优控制可分别由方程（30）和

f（t）=_Tm（t）vec（F）逼近得到。

记录3值得注意的是，在上面的关系式中，参数r和次优H。

控制器相适应，这个结果可通过求解下面的优化问题Minr到（49）再来表示作为优化H∞控制器。

记录4.我们用哈尔小波提供一种新的计算方法来计算二阶微分方程的H控制。

换句话说，根据第三部分的必要条件1和2，现在的方法是[18]中结果的扩展。

记录5因为在每一个m时间区间内，向量_m（σ）是不变的，逼近的优化次优轨道？

和次优控制可表述如下：

有常量矩阵{Gi,Gˉi}∈R4*4m,{Fi,Fˉi}∈R1*4m.其中每一个时间区间

i/m≤σi

记录6常系数矩阵是运用分段的，像常量基本函数哈尔小波或Walsh函数，不能通过像Legendre或Laguerre多项式的平顺函数设置来实现。

相比于Walsh函数，哈尔小波在计算效果上有另外的优势，当然，哈尔小波在更多方面比其他基本函数有优势。

6数字结果

在这部分，建议的计算方法应用于汽车发动机及机体振动系统[15]中，这样，外部干扰de（t）可假定为一个sin（.）函数。

在频率为10赫兹的低频范围。

用作设计和模拟的系统的参数，在附录的表1，2中给出。

附录A中的表给出了汽车发动机体振动系统的八阶模型的零极位置?

.可以很清楚的看到，汽车发动机体振动系统不稳定，没有最小状态属性。

我们的目标是找到底盘的优化布置和在有限时间区间[0,1）利用哈尔小波，根据H的性质找出次优输入的力。

而且，在控制的输出z（t）中的矩阵{S1,S1}∈R4*4,向量C1,C2，标尺C3可这样选择S1=S2=04,C1=[0,1,1,2],C2=[3,−1,0,1]C3=1.

为了比较由哈尔小波得到的逼近解X2（t）f（t）与由附录B中的定理1得到的解析解，我们选择给弹跳性能和resolution参数分别赋值3.15和5：

γ=3.15和j=5。

时间曲线标示在图5.6上。

可以清楚看到，发动机干扰的影响和输出一样衰减到底盘。

换句话说，f（t）补偿传递给底盘的振动。

比较基于哈尔小波的解和运用微分Riccati方程求得的连续解，二者均可表述逼近解（50）（51），优化控制f（t）和状态？

x（t）,通过求解线性代数方程而不是求解非线性微分Riccati方程获得，状态逼近的精确性&mi=1（x2（ti）−ˆx2（ti））2ti=i/m有i=0,1,...,m−1,对于输入力有&mi=1（f（ti）−fˆ（ti））2,可以轻松的通过增加resolution参数J改进，见表4.

图6比较由参数j=5时的哈尔小波和解析解得到的输入力

图板1两个参数时的容错值

7结论

本段讲述了运用哈尔小波对汽车发动机体振动机构的弹跳俯仰振动的建模与控制。

基于哈尔小波的用于发动机体系统降振的优化控制在计算上是发展着的。

引入哈尔小波的性质，并运用它找出优化的解，并通过求解一次代数方程而不是Riccati微分方程来逼近。

现用列出的结果来说明此方法的优势。

附录A

图板2汽车车体参数

参数数值

图板3发动机参数

参数数值

图板48自由度模型的零极位置

极？

零？

附录B

定理1（状态返回）[9]考虑动态系统

假定值是（A,B1,C）稳定的.如果r>0，微分的Reccati方程为

有一个主动的半定义解X（t），这样A-（B1BT1−γ−2B2BT2）X（t）是稳定的。

然后，控制规律u（t）=−BT1X（t）x（t）:

=K（t）x（t）满足_z（t）_2<γ_w（t）_2.

鸣谢作者感谢亚历山大·凡提供这项研究的支持，作者同时想在文章中感谢帮助他们的同事以及他们的有价值的建议。

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