新人教出版小学数学16年级重要资料全.docx

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新人教出版小学数学16年级重要资料全

小学数学知识整理

第一部分：

数与代数

一、数的认识

（一）整数

【1】我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。

自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。

自然数的单位是1。

自然数和0都是整数。

连续自然数相差1。

【2】像…，-3，-2，-1，0，1，2，3…这样的数统称整数。

整数的个数是无限的。

【3】一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

 每相邻两个计数单位之间的进率都是10，这样的计数法叫做十进制计数法。

整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。

计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

一个整数含有数位的个数叫做位数。

最小的一位数是1。

【4】整数的读法：

从高位到低位，一级一级地读。

读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。

每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。

（例如）10250200050读作：

一百零二亿五千零二十万零五十。

【5】整数的写法：

从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

（例如）七十亿零三百万四千写作：

7003004000。

【6】准确数：

在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。

改写后的数是原数的准确数。

（例如）把1254300000改写成以“万”做单位的数是125430万；改写成以“亿”做单位的数12.543亿。

【7】近似数：

根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。

（例如）1302490015省略“亿”后面的尾数约是13亿。

【8】四舍五入法：

要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。

（例如）省略345900“万”后面的尾数约是35万；省略4725097420“亿”后面的尾数约是47亿。

【9】整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。

（例如）6÷3=2（或2×3=6），那么我们就说6能被3整除（或6能被2整除），或3能整除6（或2能整除6）。

【10】如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的约数）。

倍数和约数是相互依存的。

（例如）6÷3=2（或2×3=6），那么6就是3和2的倍数，2和3就是6的因数（或a的约数）。

【11】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

一个数最小的倍数等于它最大的约数。

（例如）9的最小的因数是1，最大的因数是9，最小的倍数是9。

【12】个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。

（例如）2758的个位是8，所以2758能被2整除。

个位上是0或者5的数，都能被5整除。

（例如）975的个位是5，所以975能被5整除。

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

（例如）2748的各位和2＋7＋4＋8=21，因为21能被3整除，所以2748就能被3整除。

【13】一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

（例如）2745的各位和2＋7＋4＋5=18，因为18能被9整除，所以2745就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

（例如）10316的末两位是16，因为16能被4整除，所以10316就能被4整除；1350的末两位是50，因为50能被25整除，所以1350就能被25整除。

一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。

（例如）10816的末三位是816，因为816能被8整除，所以10816就能被8整除；7250的末三位是250，因为250能被125整除，所以7250就能被125整除。

【14】能被2整除的数叫做偶数。

0也是偶数。

最小的偶数是0。

连续偶数相差2。

不能被2整除的数叫做奇数。

最小的奇数是1。

连续奇数相差2 。

【15】一个数，如果只有1和它本身两个因数，叫做质数（或素数）。

（例如）因为37只有1和37这两个因数，所以37是质数。

最小的质数是2。

100以内的质数有：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

既是质数又是偶数的数只有2。

一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，叫做合数。

（例如）因为91除了有因数1和91外，还有因数7、13，所以91是合数。

最小的合数是4。

1既不是质数也不是合数。

【16】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（例如）把48分解质因数：

48=2×2×2×2×3。

把一个合数分解质因数，通常用短除法。

先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

【17】几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。

其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

【18】公因数只有1的两个数是互质数。

一定是互质数的情况有：

①1和任何自然数；②相邻的两个自然数；③两个不同的质数。

如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

【19】自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数；自然数按约数的个数分为质数、合数和1。

【20】如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1，最小公倍数是它们的乘积；（例如）3和5因为是互质数，所以3和5的最大公因数是1，最小公倍数是3×5=15。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数，较小数就是这两个数的最大公因数。

（例如）24和6因为24是6的倍数，所以24和6的最大公因数是6，最小公倍数是24。

【21】求几个数的最大公因数的方法是：

先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数。

【22】求几个数的最小公倍数的方法是：

先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。

（二）小数

【1】把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……

【2】一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。

数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数是整数部分，从右向左依次分别是个位、十位、百位、千位……；小数点右边的数是小数部分，从左向右依次分别是十分位、百分位、千分位……

【3】小数的读法：

读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

【4】小数的写法：

写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。

【5】在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。

小数部分的最高位是十分位；整数部分的最低位是个位。

【6】数位顺序表：

整数部分

小

数

点

小数部分

…

亿级

万级

个级

数位

…

千亿位

百亿位

十亿位

亿

位

千万位

百万位

十万位

万

位

千

位

百

位

十

位

个

位

十分位

百分位

千分位

万分位

…

计数单位

…

千亿

百亿

十亿

亿

千万

百万

十万

万

千

百

十

一（个）

十分之一

百分之一

千分之一

万分之一

…

【7】小数的分类（有限小数和无限小数）

（1）小数的小数部分的位数是有限的，就叫做有限小数（纯小数和带小数）。

①、整数部分是零的小数，叫做纯小数。

②、整数部分不是零的小数，叫做带小数。

（2）小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数（无限循环小数和无限不循环小数）。

①、一个小数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做（无限）循环小数（纯循环小数和混循环小数）。

Ⅰ：

循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。

Ⅱ：

循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

②、一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。

【8】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。

写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。

如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。

【9】小数的性质：

小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。

10、小数点的移动引起小数的大小变化：

小数点向右移动一位、二位、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍……；小数点向左移动一位、二位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍……

（三）分数

【1】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数，表示其中的一份的数，叫做分数单位。

【2】在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

【3】分数的读法：

读分数时，先读分母，再读“分之”，然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。

【4】分数的写法：

先写分数线，再写分母，最后写分子。

【5】两个整数相除，它们的商可以用分数表示。

即：

a÷b＝

（b≠0）

【6】分数的分类（真分数和假分数）

（1）分子比分母小的分数叫做真分数。

真分数小于1。

（2）分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。

假分数大于或等于1。

①、分子是分母倍数的假分数，可以化成整数。

②、分子不是分母倍数的假分数，可以化成带分数（假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数）。

【7】把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。

约分的方法：

用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

【8】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

通分的方法：

先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

【9】分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数。

【10】表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数（也叫做百分率或百分比）。

百分数通常用"%"来表示。

【11】百分数的读法：

读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。

【12】百分数的写法：

百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

【13】分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数大小不变。

【14】商店降价出售商品，叫做打折扣出售，统称“打折”。

几折表示十分之几或者百分之几十。

打几折表示按原价的百分之几十出售。

如：

八五折就是原价的85%。

【15】农业收入，经常用“成数”来表示，几成就表示十分之几或者百分之几十。

（四）正数和负数

【1】像-16，-

，-0.4,…这样的数叫做负数。

负数有负整数、负小数、负分数……

【2】像16，

，0.4，…这样的数叫做正数。

正数前面可以加上“＋”号，也可以省去“＋”号。

正数有正整数、正小数、正分数……

【3】０既不是正数，也不是负数。

（五）数的互化

【1】小数化成分数：

原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。

【2】分数化成小数：

用分母去除分子。

能除尽的就化成有限小数，除不尽的，一般按“四舍五入”法，保留三位小数。

一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

【3】小数化成百分数：

只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

【4】百分数化成小数：

把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

【5】分数化成百分数：

通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。

【6】百分数化成分数：

把百分数写成分数形式。

能约分的要约成最简分数。

（六）数的大小比较

【1】比较整数大小：

比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。

【2】比较小数的大小：

先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……

【3】比较分数的大小：

分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。

分数的分母和分子都不相同的，先通分，再按同分母（或同分子）分数比较大小的方法比较大小。

【5】整数、小数、分数、百分数的混合比较：

一般先统一化成小数，再比较大小。

5、负数都比０小，而正数都比０大。

负数都比正数小。

二、数的运算

（一）四则运算的意义

【1】加法（一级运算）：

把两个数合并成一个数的运算。

关系式：

加数＋加数＝和       一个加数＝和－另一个加数

【2】减法（一级运算）：

己知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

关系式:

被减数－减数＝差     减数＝被减数－差      被减数＝差＋减数

【3】乘法（二级运算）：

求几个相同加数的和的简便运算。

关系式:

因数×因数＝积       一个因数＝积÷另一个因数

【4】除法（二级运算）：

已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

关系式:

被除数÷除数＝商除数=被除数÷商被除数=商×除数

【5】加法和减法互为逆运算；乘法和除法互为逆运算。

（二）运算定律

【1】加法交换律：

两数相加交换加数的位置，和不变。

字母表示：

a＋b=b＋a

【2】加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。

字母表示：

（a＋b）＋c=a＋（b＋c）

【3】乘法交换律：

两数相乘，交换因数的位置，积不变。

字母表示：

a×b=b×a

【4】乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。

字母表示：

（a×b）×c=a×（b×c）

【5】乘法分配律：

两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

字母表示：

（a＋b）×c=a×c＋b×c

【6】减法的性质：

从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个减数的和。

字母表示：

a－b－c=a－（b＋c）

【7】除法的性质：

（1）一个数连续除以几个数，等于这个数除以这几个除数的积。

用字母表示为：

a÷b÷c=a÷（b×c）

（2）被除数和除数同时乘以（或除以）相同的数（0除外），商不变。

用字母表示为：

a÷b=（a×c）÷（b×c）或a÷b=（a÷c）÷（b÷c）

【8】加法的性质：

一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数减去（或加上）相同的数，和不变。

字母表示：

a＋b＝（a＋c）＋（b－c）

【9】乘法的性质：

一个因数乘以（或除以）不为0的数，另一个因数除以（或乘以）相同的数，积不变。

字母表示：

a×b＝（a×c）×（b÷c）（c≠0）

【10】有趣的括号：

括号前面是减号（或除号），去掉括号，括号里面的数所带符号变为逆运算符号；括号前面是加号（或乘号），去掉括号，括号里面的数所带符号不变。

字母表示为：

a－（b－c）=a－b＋c或a÷（b÷c）=a÷b×c

a＋（b－c）=a＋b－c或a×（b÷c）=a×b÷c

（三）计算法则

【1】整数加、减法：

把相同数位对齐，再把相同计数单位上的数相加或相减，哪一位满十就向前一位进一。

【2】小数加、减法：

把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。

（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。

）

【3】整数乘法：

从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对个因数的哪一位对齐；然后把几次乘得的数加起来。

（整数末尾有0的乘法：

可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0。

）

【4】小数乘法：

按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点。

（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉）。

【5】整数除法：

从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小。

【6】小数除法：

（1）除数是整数的小数除法法则：

按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。

（2）除数是小数的小数除法法则：

先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足；然后按照除数是整数的小数除法来除。

【7】分数加、减法：

同分母的分数相加、减，只把分子相加（或相减），分母不变。

异分母的分数相加、减，先通分，然后按同分母分数加、减方法计算。

计算结果能约分的要约分。

异分母分数不能直接相加减，是因为它们的分数单位不同。

【8】分数乘法：

（1）分数乘整数（表示求几个几分之几是多少？

）：

分子与整数能约分的先约分，然后用分子与整数的乘积做分子，分母不变。

（2）一个数乘分数（表示求一个数的几分之几是多少？

）：

①、整数乘分数：

整数与分子能约分的先约分，然后用分子与整数的乘积做分子，分母不变。

②、分数乘分数：

能约分的先约分，然后用分数分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

③、小数乘分数：

把小数化成分数（或者把分数化成小数，也可以让小数与分母同时除以不为0的数进行化简），然后再乘。

【9】分数除法：

甲数乘以乙数（乙数≠0）等于甲数乘以乙数的倒数。

【10】乘积是1的两个数互为倒数。

分数的倒数：

把原分数的分子、分母调换位置；整数的倒数：

用整数做分母，分子是1的分数；小数的倒数：

先把小数化成分数，然后按求分数倒数的方法找。

百分数的倒数：

先把百分数改写成分数形式，然后按求分数倒数的方法找。

（四）混合运算

【1】在四则运算中，加、减法叫做第一级运算，乘、除法叫做第二级运算。

【2】在一个没有括号的算式里，如果含有同一级运算，要从左往右依次计算（有时为了计算简便，可以改变运算顺序，但必须遵循“数字带着运算符号移”的原则，例如：

172＋39－72=172－72＋39=100＋39=139）；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。

【3】在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

（五）特殊数字的计算

【1】“0”的计算：

0＋A=A，A－0=A，0×A=0，0÷A=0

【2】“1”的计算：

1×A=A，A÷1=A

【3】同数（A≠0）的计算：

A×A=

，A÷A=1，A＋A=2A，A－A=0

（六）计算中的大小变化

【1】加法（或乘法）中：

一个加数（或因数）不变，另一个加数（或因数）越大，和（或积）越大；另一个加数（或因数）越小，和（或积）越小。

【2】减法（或除法）中：

减数（或除数）不变，被减数（或被除数）越大，差（或商）越大；被减数（或被除数）越小，差（或商）越小。

被减数（或被除数）不变，减数（或除数）越大，差（或商）越小；减数（或除数）越小，差（或商）越大。

【3】乘法中：

一个因数＞1，积＞另一个因数；一个因数＜1，积＜另一个因数

【4】除法中：

除数＞1，商＜被除数；除数＜1，商＞被除数

三、式与方程

【1】含有未知数的等式叫做方程。

方程一定是等式，但等式不一定是方程。

【2】用字母表示数可以简明地表达数量关系，运算定律和计算公式。

（1）数与字母相乘，可以省略乘号，数字写在字母的前面，

（例如）a×3可以简写成：

a·3或3a；

（2）字母与字母相乘，可以省略乘号，也可以写成乘号的简写法，

（例如）不同字母相乘：

a×b可以简写成：

a·b或ab；

相同字母相乘：

a×a可以简写成：

a·a或a

（读作：

“a的平方”或“a的二次方”）；

（3）注意：

数与数相乘不能省略乘号。

【3】使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

【4】求方程的解的过程，叫做解方程。

解方程不一定是解比例，但解比例是解方程。

【5】当n表示任何一个自然数时：

2n表示偶数；2n＋1表示奇数。

【6】等式的性质：

等式两边同时乘以（或除以、或加上、或减去）一个相同的数（0除外），等式仍然成立。

【7】比较2a和a

（1）2a表示两个a相加（也就是2乘a），即表示：

a＋a

（2）a

表示两个ａ相乘，即表示：

ａ×ａ

（3）比较大小

①、当ａ＜２，2a＞a

；如ａ＝１时，2a＝2×１＝２，a

=1×1=1，2＞1。

②、当ａ=２，2a=a

；如ａ＝2时，2a＝2×2＝4，a

=2×2=4，4=4。

③当ａ＞２，2a＜a

；如ａ＝3时，2a＝２×3＝6，a

=3×3=9，6＜9。

【8】解方程及检验方程（举例）

（1）2x＋4=16

（2）12－3x=9

2x＋4－4=16－43x=12－9（依据“减数=被减数－差”）

2x=123x=3

2x÷2=12÷2x=3÷3

X=6x=1

（3）4x－x=9（4）18÷2x=3

（4－1）x=92x=18÷3（依据“除数=被除数÷商”）

3x=92x=6

X=9÷3x=6÷2

X=3x=3

检验：

把x=3代入原方程，检验：

把x=3代入原方程，

左边=4x－x=4×3－3=12－3=9，左边=18÷2x=18÷（2×3）=18÷6=3，

右边=9，右边=3

左边=右边，左边=右边，

所以x=3是方程4x－x=9的解。

所以x=3是方程18÷2x=3的解。

四、常见的量

（一）名数及改写

【1】把计量得到的数和单位名称合起来叫做名数。

【2】只带有一个单位名称的叫做单名数。

【3】带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数。

【4】名数的改写方法：

高级单位的名数改写成低级单位的名数，乘进率；低级单位的名数改写成高级单位的名数，除以进率。

（例如）

（1）12千米=（12000）米。

想：

要把高级单位改写成低级单位，即：

12×1000=12000米。

（2）40分=（

）时。

想：

要把低级单位改写成高级单位，即：

40÷60=

时。

（3）50吨70千克=（50070）千克。

想：

先把50吨改写成50×1000=50000千克，再用70千＋50000千克=50070千克，即：

50×1000＋70=50070千克。

（4）50吨70千克=（50.07）吨。

想：

先把70千克改写成70÷1000=0.07吨，再用0.