偏微分方程数值解法的MA AB源码Word格式文档下载.docx
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M-沿x轴的等分区间数
N-沿t轴的等分区间数
C-系数,默认情况下C=1
%应用举例:
%uX=1;
uT=0.2;
M=15;
N=100;
C=1;
%phi=inline('
sin(pi*x)'
);
psi1=inline('
0'
psi2=inline('
%[Uxt]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);
%设置参数C的默认值
ifnargin==7
end
%计算步长
dx=uX/M;
%x的步长
dt=uT/N;
%t的步长
x=(0:
M)*dx;
t=(0:
N)*dt;
r=C*dt/dx/dx;
%步长比
r1=1-2*r;
ifr>
0.5
disp('
r>
0.5,不稳定'
)
%计算初值和边值
U=zeros(M+1,N+1);
fori=1:
M+1
U(i,1)=phi(x(i));
forj=1:
N+1
U(1,j)=psi1(t(j));
U(M+1,j)=psi2(t(j));
%逐层求解
N
fori=2:
M
U(i,j+1)=r*U(i-1,j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j);
U=U'
;
%作出图形
mesh(x,t,U);
title('
古典显式格式,一维热传导方程的解的图像'
xlabel('
空间变量x'
ylabel('
时间变量t'
zlabel('
一维热传导方程的解U'
return;
古典显式格式不稳定情况
古典显式格式稳定情况
2、古典隐式格式求解抛物型偏微分方程(一维热传导方程)
function[Uxt]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)
%古典隐式格式求解抛物型偏微分方程
%[Uxt]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)
M=50;
N=50;
%[Uxt]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);
Diag=zeros(1,M-1);
%矩阵的对角线元素
Low=zeros(1,M-2);
%矩阵的下对角线元素
Up=zeros(1,M-2);
%矩阵的上对角线元素
M-2
Diag(i)=1+2*r;
Low(i)=-r;
Up(i)=-r;
Diag(M-1)=1+2*r;
%逐层求解,需要使用追赶法(调用函数EqtsForwardAndBackward)
b1=zeros(M-1,1);
b1
(1)=r*U(1,j+1);
b1(M-1)=r*U(M+1,j+1);
b=U(2:
M,j)+b1;
U(2:
M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b);
古典隐式格式,一维热传导方程的解的图像'
此算法需要使用追赶法求解三对角线性方程组,这个算法在上一篇帖子中已经给出,为了方便,再给出来
追赶法解三对角线性方程组
functionx=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)
%追赶法求解三对角线性方程组Ax=b
%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)
%x:
三对角线性方程组的解
%L:
三对角矩阵的下对角线,行向量
%D:
三对角矩阵的对角线,行向量
%U:
三对角矩阵的上对角线,行向量
%b:
线性方程组Ax=b中的b,列向量
%应用举例:
%L=[-1-2-3];
D=[2345];
U=[-1-2-3];
b=[61-21]'
%检查参数的输入是否正确
n=length(D);
m=length(b);
n1=length(L);
n2=length(U);
ifn-n1~=1||n-n2~=1||n~=m
输入参数有误!
'
x='
%追的过程
n
L(i-1)=L(i-1)/D(i-1);
D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1);
x=zeros(n,1);
x
(1)=b
(1);
x(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1);
%赶的过程
x(n)=x(n)/D(n);
fori=n-1:
-1:
1
x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i);
古典隐式格式
在以后的程序中,我们都取C=1,不再作为一个输入参数处理
3、Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程
需要调用追赶法的程序
function[Uxt]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N)
%Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程
%[Uxt]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N)
u_t=u_xx0<
%[Uxt]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N);
r=dt/dx/dx;
Diag(i)=1+r;
Low(i)=-r/2;
Up(i)=-r/2;
Diag(M-1)=1+r;
B=zeros(M-1,M-1);
B(i,i)=1-r;
B(i,i+1)=r/2;
B(i+1,i)=r/2;
B(M-1,M-1)=1-r;
b1
(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2;
b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2;
b=B*U(2:
Crank-Nicolson隐式格式,一维热传导方程的解的图像'
Crank-Nicolson隐式格式
4、正方形区域Laplace方程Diriclet问题的求解
需要调用Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法求解线性方程组
function[Uxy]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type)
%正方形区域Laplace方程的Diriclet边值问题的差分求解
%此程序需要调用Jacobi迭代法或者Guass-Seidel迭代法求解线性方程组
%[Uxy]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type)
u_xx+u_yy=0?
0<
=x,y<
=ub
u(0,y)=phi1(y)
u(ub,y)=phi2(y)
u(x,0)=psi1(x)
u(x,ub)=psi2(x)
U-解矩阵,第一行表示y=0时的值,第二行表示第y=h时的值……
x-横坐标
y-纵坐标
ub-变量边界值的上限
phi1,phi2,psi1,psi2-边界函数,定义为内联函数
M-横纵坐标的等分区间数
type-求解差分方程的迭代格式,若type='
Jacobi'
,采用Jacobi迭代格式
若type='
GS'
,采用Guass-Seidel迭代格式。
默认情况下,type='
%ub=4;
M=20;
%phi1=inline('
y*(4-y)'
phi2=inline('
sin(pi*x/4)'
%[Uxy]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,'
ifnargin==6
type='
%步长
h=ub/M;
%横纵坐标
M)*h;
y=(0:
%差分格式的矩阵形式AU=K
%构造矩阵A
M2=(M-1)^2;
A=zeros(M2);
M2
A(i,i)=4;
M2-1
ifmod(i,M-1)~=0
A(i,i+1)=-1;
A(i+1,i)=-1;
M2-M+1
A(i,i+M-1)=-1;
A(i+M-1,i)=-1;
U=zeros(M+1);
%边值条件
U(i,1)=psi1((i-1)*h);
U(i,M+1)=psi2((i-1)*h);
U(1,i)=phi1((i-1)*h);
U(M+1,i)=phi2((i-1)*h);
%构造K
K=zeros(M2,1);
M-1
K(i)=U(i+1,1);
K(M2-i+1)=U(i+1,M+1);
K
(1)=K
(1)+U(1,2);
K(M-1)=K(M-1)+U(M+1,2);
K(M2-M+2)=K(M2-M+2)+U(1,M);
K(M2)=K(M2)+U(M+1,M);
K((M-1)*(i-1)+1)=U(1,i+1);
K((M-1)*i)=U(M+1,i+1);
x0=ones(M2,1);
switchtype
%调用Guass-Seidel迭代法求解线性方程组AU=K
case'
X=EqtsJacobi(A,K,x0);
X=EqtsGS(A,K,x0);
otherwise
差分格式类型输入错误'
%把求解结果化成矩阵型式
forj=2:
U(j,i)=X(j-1+(M-1)*(i-2));
mesh(x,y,U);
五点差分格式Laplace方程Diriclet问题的解的图像'
x'
y'
Laplace方程Diriclet问题的解U'
正方形区域Laplace方程五点差分格式
5、一阶双曲型方程的差分方法
function[Uxt]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type)
%一阶双曲型方程的差分格式
%[Uxt]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type)
%方程:
u_t+C*u_x=0?
=uT,0<
=uX
%初值条件:
%输出参数:
U-解矩阵,第一行表示初值,第二行表示第2个时间层……
t-纵坐标,时间
%输入参数:
uX-变量x的上界
uT-变量t的上界
M-变量x的等分区间数
N-变量t的等分区间数
C-系数
phi-初值条件函数,定义为内联函数
psi1,psi2-边值条件函数,定义为内联函数
type-差分格式,从下列值中选取
-type='
LaxFriedrichs'
,采用Lax-Friedrichs差分格式求解
CourantIsaacsonRees'
,采用Courant-Isaacson-Rees差分格式求解
LeapFrog'
,采用Leap-Frog(蛙跳)差分格式求解
LaxWendroff'
,采用Lax-Wendroff差分格式求解
CrankNicolson'
,采用Crank-Nicolson差分格式求解,此格式需调用追赶法
求解三对角线性方程组
h=uX/M;
%变量x的步长
k=uT/N;
%变量t的步长
r=k/h;
N)*k;
%初值条件
%U(1,j)=NaN;
%U(M+1,j)=NaN;
%Lax-Friedrichs差分格式
ifabs(C*r)>
|C*r|>
1,Lax-Friedrichs差分格式不稳定!
U(i,j+1)=(U(i+1,j)+U(i-1,j))/2-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2;
%Courant-Isaacson-Rees差分格式
ifC<
C<
0,采用前差公式'
ifC*r<
-1
Courant-Isaacson-Lees差分格式不稳定!
U(i,j+1)=(1+C*r)*U(i,j)-C*r*U(i+1,j);
else
C>
0,采用后差公式'
ifC*r>
U(i,j+1)=C*r*U(i-1,j)+(1-C*r)*U(i,j);
%Leap-Frog(蛙跳)差分格式
phi2=input('
请输入第二层初值条件函数:
psi2='
1,Leap-Frog差分格式不稳定!
%第二层初值条件
U(i,2)=phi2(x(i));
U(i,j+1)=U(i,j-1)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j));
%Lax-Wendroff差分格式
1,Lax-Wendroff差分格式不稳定!
U(i,j+1)=U(i,j)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2+C^2*r^2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j))/2;
%Crank-Nicolson隐式差分格式,需调用追赶法求解三对角线性方程组的算法
Diag(i)=4;
Low(i)=-r*C;
Up(i)=r*C;
Diag(M-1)=4;
B(i,i)=4;
B(i,i+1)=-r*C;
B(i+1,i)=r*C;