因式分解法解一元二次方程教案Word格式.docx

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发现与理解分解因式的方法。

教学过程

复习预习

1．复习提问

如果a×

b=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．即a=0或者b=0。

2．复习：

将下列各式分解因式。

（1）5X2-4X

（2）X2-4X+4（3）4X（X-1）-（X-1）

（4）X2-4（5）X2+4X+3（6）X2-3X+2

一、知识讲解

考点1

提公因式法：

一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

考点2

运用公式法：

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

考点3

平方差公式：

三例题精析

【例题1】

【题干】 

解方程x-2＝x（x-2）

【答案】 

x1＝2，x2＝1．

【解析】解：

原方程可化为

x-2-x（x-2）＝0．

（x-2）（1-x）＝0

∴ 

x-2＝0或1-x＝0．

【例题2】

【题干】

（2011•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（　　）

A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2

【答案】C

【解析】考点：

解一元二次方程－因式分解法。

专题：

计算题。

分析：

利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．

解答：

解：

∵x2=2x，

∴x2﹣2x=0，

∴x（x﹣2）=0，

∴x=0或x﹣2=0，

∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．

故选C．

点评：

此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．

【例题3】

【题干】（2011湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（　　）

A、（x－2）2+3B、（x+2）2－4C、（x+2）2－5D、（x+2）2+4

【答案】C．

配方法的应用．

配方法．

根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．

x2+4x－1=x2+4x+4－4－1=x+22－5，

本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．

【例题4】

【题干】（2011•柳州）方程x2﹣4=0的解是（　　）

A、x=2B、x=﹣2C、x=±

2D、x=±

4

解一元二次方程－直接开平方法。

方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±

2．

x2=4，

∴x=±

本题考查了直接开平方法解一元二次方程：

先把方程变形为x2=a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解．

三、课堂运用

【基础】

1、（2011•湘西州）小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（　　）

A、x=4B、x=3C、x=2D、x=0

【答案】D

把原方程的左边利用提取公因式的方法变为两个一次因式乘积的形式，根据两因式积为0，两因式中至少有一个为0，得到两个一元一次方程，求出两方程的解即为原方程的解，进而得到被漏掉的根．

x2﹣x=0，

提公因式得：

x（x﹣1）=0，

可化为：

x=0或x﹣1=0，

解得：

x1=0，x2=1，

则被漏掉的一个根是0．

故选D．

此题考查了解一元二次方程的一种方法：

因式分解法．一元二次方程的解法还有：

直接开平方法；

公式法；

配方法等，根据实际情况选择合适的方法．

2.（2011，台湾省，29,5分）若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？

（　　）

A、1B、8C、16D、61

【答案】．B

利用平方根观念求出x，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c的最小值即可．

（3x﹣c）2﹣60=0（3x﹣c）2=60

3x﹣c=±

3x=c±

x=

又两根均为正数，且

＞7．

所以整数c的最小值为8

故选B．

本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，要根据方程的特点选择适当的方法．

3、（2011山东淄博10，4分）已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则

的值为（　　）

A.

B.

C.﹣1D.1

【答案】．D

分式的化简求值；

一元二次方程的解。

先化简

，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，再整体代入即可．

原式=

=

，

∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，

∴a2+a﹣1=0，

即a2+a=1，

∴原式=

=1．

本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．

[巩固]

1.（2011四川眉山，10，3分）已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（　　）

A．1＜L＜5B．2＜L＜6C．5＜L＜9D．6＜L＜10

【答案】D．

解一元二次方程－因式分解法；

三角形三边关系。

先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6=0，得到x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长L的取值范围．

∵x2﹣5x+6=0，

∴（x﹣2）（x﹣3）=0，

∴x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，

∴第三边a的取值范围是：

1＜a＜5，

∴该三角形的周长L的取值范围是6＜L＜10．

本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：

把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系：

三角形任意两边之和大于第三边．

2．（2011•南充，6，3分）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（　　）

A、2B、3C、﹣1，2D、﹣1，3

先移项得到（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，然后利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可．

（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，

∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，即（x+1）（x﹣3）=0，

∴x+1=0，或x﹣3=0，

∴x1=﹣1，x2=3．

本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：

利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．.

3.（2011•黔南，13，4）分三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（　　）

A、11B、13C、11或13D、不能确定

【答案】B

计算题；

因式分解。

先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．

（x﹣2）（x﹣4）=0

x﹣2=0或x﹣4=0

∴x1=2，x2=4．

因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长为4，

周长=3+6+4=13．

本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长．

[拔高]

1.（2011年湖南省湘潭市，7，3分）一元二次方程（x－3）（x－5）=0的两根分别为（　　）

A、3，－5B、－3，－5C、－3，5D、3，5

解一元二次方程－因式分解法．

计算题．

由（x－3）（x－5）=0得，两个一元一次方程，从而得出x的值．

∵（x－3）（x－5）=0，

∴x－3=0或x－5=0，

解得x1=3，x2=5．

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

2.（2011辽宁本溪，4，3分）一元二次方程

的根（）

A．

B．

C．

D．

解一元二次方程－配方法。

运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可．

原方程左边配方，得

∴

此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

3.一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（　　）

A、－1B、2C、1和2D、－1和2

【解析】解一元二次方程－因式分解法．

先移项得到x（x－2）+（x－2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．

x（x－2）+（x－2）=0，∴（x－2）（x+1）=0，∴x－2=0或x+1=0，

∴x1=2，x2=－1．故选D．

【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：

利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．

四、课程小结

本节课我们学习了哪些知识？

因式分解法解一元二次方程的步骤是学习过程中用了哪些数学方法？

本节课我们学习了应用因式分解法接一元二次方程，整个过程让学生自己进行，以培养学生的归纳、概括的能力。

1．分解因式法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”

2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：

（1）化方程为一般形式；

（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；

（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

但要具体情况具体分析．

3．分解因式的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

课后作业

1、（2011福建福州，7，4分）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

【答案】A

根的判别式；

先把原方程变形为：

x2﹣2x=0，然后计算△，得到△=4＞0，根据△的含义即可判断方程根的情况．

原方程变形为：

x2﹣2x=0，∵△=（﹣2）2﹣4×

1×

0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；

当△=0，原方程有两个相等的实数根；

当△＜0，原方程没有实数根．

2.（2011福建龙岩，10，4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：

3★5=33﹣3×

3+5，若x★2=6，则实数x的值是（　　）

A.﹣4或﹣1B.4或﹣1

C.4或﹣2D.﹣4或2

解一元二次方程－因式分解法.

根据新定义a★b=a2﹣3a+b，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解．

依题意，原方程化为x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，

分解因式，得（x+1）（x﹣4）=0，

解得x1=﹣1，x2=4．

本题考查了因式分解法解一元二次方程．根据新定义，将方程化为一般式，将方程左边因式分解，得出两个一次方程求解．

3.（2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程

时，原方程应变形为（）

C．

D．

解一元二次方程－配方法．

配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

由原方程移项，得x2－2x=5，

方程的两边同时加上一次项系数－2的一半的平方1，得x2－2x+1=6∴（x－1）2=6．

【巩固】

1、（2011广西百色，13，4分）关于x的方程x2+mx﹣2m2=0的一个根为1，则m的值为（　　）

A．1B．

C．1或

D．1或﹣

一元二次方程的解．

根据关于x的方程x2+mx﹣2m2=0的一个根为1，可将x=1代入方程，即可得到关于m的方程，解方程即可求出m值．

把x=1代入方程可得1+m﹣2m2=0，

∴2m2﹣m﹣1=0，

m=

m=1或﹣

．

故选：

D．

此主要考查了方程的解的意义和一元二次方程的解法．熟练运用公式法求得一元二次方程的解是解决问题的关键．

2.（2011•恩施州4,3分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；

当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：

x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（　　）

A、x1=1，x2=3B、x1=﹣2，x2=3

C、x1=﹣3，x2=﹣1D、x1=﹣1，x2=﹣2

换元法解一元二次方程。

换元法。

首先根据题意可以设y=2x+5，方程可以变为y2﹣4y+3=0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．

（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，

设y=2x+5，

方程可以变为y2﹣4y+3=0，

∴y1=1，y2=3，

当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；

当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，

所以原方程的解为：

x1=﹣2，x2=﹣1．

此题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．

2.（2011浙江嘉兴，2，3分）方程x（x﹣1）=0的解是（　　）

A．x=0B．x=1C．x=0或x=1D．x=0或x=﹣1

【答案】

解一元一次方程．

一元二次方程转化成两个一元一次方程x=0或x﹣1=0，求出方程的解即可．

x（x﹣1）=0，x=0或x﹣1=0，x1=0或x2=1，故选C．

本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

3.（2011浙江舟山，2，3分）方程x（x－1）＝0的解是（　　）

A．x＝0B．x＝1C．x＝0或x＝1D．x＝0或x＝－1

解一元一次方程。

一元二次方程转化成两个一元一次方程x＝0或x－1＝0，求出方程的解即可．

x（x－1）＝0，

x＝0或x－1＝0，

x1＝0或x2＝1，

本题主要考查对解一元二次方程－因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

【拔高】

1.（2011江苏淮安，13，3分）一元二次方程x2－4=0的解是.

【答案】x=±

方程思想。

式子x2﹣4=0先移项，变成x2=4，从而把问题转化为求4的平方根．

移项得x2=4，

故答案是：

x=±

本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；

ax2=b（a，b同号且a≠0）；

（x+a）2=b（b≥0）；

a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：

要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

2.（2011江苏南京，19，6分）解方程x2﹣4x+1=0．

【答案】x1=2+

，x2=2﹣

；

解一元二次方程－配方法；

解一元二次方程－公式法。

将原方程转化为完全平方的形式，利用配方法解答或利用公式法解答．

（1）移项得，x2﹣4x=﹣1，

配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，

（x﹣2）2=3，

由此可得x﹣2=±

x1=2+

（2）a=1，B=﹣4，c=1．

B2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×

1=12＞0．

x=

=2±

此题考查了解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．

（1）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

（2）选择公式法解一元二次方程时，找准a、B、c的值是关键．

3.（2011山东济南，18，3分）方程x2﹣2x=0的解为　　．

【答案】x1=0或x2=2．

把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或x﹣2=0，求出方程的解即可．

x2﹣2x=0，

x（x﹣2）=0，

x=0或x﹣2=0，

x1=0或x2=2．

本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．