第十九讲 几何图形的计数问题Word文件下载.docx

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　　解以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF共5个；

以OB为一边的三角形还有4个（前面已计数过的不再数，下同），它们是△OBC，△OBD，△OBE，△OBF；

以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；

以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；

以OE为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形

5+4+3+2+1=15（个）．

　　说明其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点（包括两端点）时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+（n-1）+…+2+1=n（n+1）/2.

　　例3

（1）图1－67中一共有多少个长方形？

（2）所有这些长方形的面积和是多少？

　　解

（1）图中长的一边有5个分点（包括端点），所以，长的一边上不同的线段共有

1+2+3+4=10（条）．

　　同样，宽的一边上不同的线段也有10条．

　　所以，共有长方形

10×

10=100（个）．

（2）因为长的一边上的10条线段长分别为

5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，

　　宽的一边上的10条线段长分别为

2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．

　　所以，所有长方形面积和为

（5×

2+5×

6+…+5×

3）

+（17×

2+17×

6+…+17×

+…+（1×

2+1×

6+…+1×

=（5+17+…+1）×

（2+6+…+3）

=144×

86=12384．

　　例4图1－68中共有多少个三角形？

　　解显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：

最大的三角形1个（即△ABC），

　　第二大的三角形有1+2=3（个），

　　第三大的三角形有1+2+3=6（个），

　　第四大的三角形有1+2+3+4=10（个），

　　第五大的三角形有1+2+3+4+5=15（个），

　　最小的三角形有

1+2+3+4+5+6+3=24（个）．

　　我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形（左、右、下各一个），所以最小的三角形不是21个而是24个．

　　于是尖向上的三角形共

1+3+6+10+15+24=59（个）．

　　图中共有三角形

59×

2=118（个）．

　　例5图1－69中有多少个等腰直角三角形？

　　解图1－69中有

5×

5+4×

4=41

个点．在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数．因此，共有等腰直角三角形

4×

8+5×

16+6×

4+10×

4+8×

4+11×

4+16×

1

=268（个）．

　　例6

（1）图1－70（a）中有多少个三角形？

（2）图1－70（b）中又有多少个三角形？

　　解

（1）图1－70（a）中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．

从6条直线中选3条，有

种选法（见说明），每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1－70（a）中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有

20-3=17

个三角形．

（2）图1－70（b）中有7条直线，从7条直线中选3条，有

7×

6×

5/6=35

种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．

　　图1－70（b）中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1－70（b）中的三角形个数是

35-2-4=29（个）．

　　说明从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6×

5种选法．但是每一种被重复算了一次，例如l1l2与l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是6×

5÷

2=15种．

　　从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有6×

4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×

4/6=20种．

　　下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题．

　　例7问8条直线最多能把平面分成多少部分？

　　解1条直线最多将平面分成2个部分；

2条直线最多将平面分成4个部分；

3条直线最多将平面分成7个部分；

现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图1－71，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．

　　完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；

6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；

7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；

8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．

　　所以，8条直线最多将平面分成37个部分．

　　说明一般地，n条直线最多将平面分成

个部分．

　　例8平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？

　　解1个圆最多能把平面分成2个部分；

2个圆最多能把平面分成4个部分；

3个圆最多能把平面分成8个部分；

现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．

　　同样道理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．

　　所以，5个圆最多将平面分成22个部分．

　　说明用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为

2+2×

2+…+（n-1）×

2

　　　　　　　　　　　　　　　　=2+2［1+2+…+（n-1）］

　　　　　　　　　　　　　　　　=n2-n+2．

　　例9平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？

　　解首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分．现在加入一条直线．由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5个圆最多有10个交点．10个点把这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条射线在圆外．9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了9个部分；

两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分．所以，总共增加了10个部分．

　　因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成22+10=32个部分．

　　例10平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？

　　解首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分．

　　现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与5条直线最多有10个交点．这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10段圆弧又把原来的部分增加了10个部分．

　　因此，5条直线和一个圆，最多能把平面分成16+10=26个部分．

　　例11三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？

　　解设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1个小三角形，我们考虑新增加一个点Pn之后的情况：

（1）若点Pn在某个小三角形的内部，如图1－73（a），则原小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；

（2）若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图1－73（b）．则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．

　　所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为

an=an-1+2．

　易知a0=1，于是

a1=a0+2，a2=a1+2，…，an＝an-1+2．

　将上面这些式子相加，得

an=2n+1．

　所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×

1999+1=3999个小三角形．

练习十九

　　1．填空：

（1）在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出______条．

（2）已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形_____个．

　　（3）三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有_____个．

　　（4）以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是_______．

　　（5）平面上10条直线最多能把平面分成_____个部分．

　　（6）平面上10个圆最多能把平面分成_____个区域．

　　2．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？

　　3．图1－74中有多少个三角形？

　　4．图1－75中有多少个梯形？

　　5．在等边△ABC所在平面上找到这样一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？

　　6．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4

条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？

它们最多能把平面分成多少个部分？